самостоятельная работа по тригонометрии
учебно-методический материал по алгебре (10 класс) на тему

Cамостоятельная работа по теме:  

« Простейшие тригонометрические уравнения»

Сведения для справки:

        1 вариант                                              2 вариант

I  уровень

Решите уравнения:                                                  Решите уравнения:

№1                                                                            №1

cos  (3x - )  = 0;                                        sin (2x-) = -1;                

№2                                                                            №2

2 sin (10x -) = 0;                                 tg (3x + ) -3 =0;

№3                                                                            №3

 tg (x +) = 1;                                2 cos (2x - ) = 1;

№4                                                                            №4

Укажите наибольший отрицательный                Укажите наименьший положительный корень уравнения                                                корень уравнения

2cos x +=0;                                        2 sin x +1 =0;

№5                                                                            №5

2cos( x + x+ 1) = 3;                        sin (x+ x) = ;

II уровень

  Решите уравнения:                                               Решите уравнения

№1                                                                            №1    

tg(7x + 11) = 43;                                        ctg (6x+2009) = 0;

№2                                                                             №2

sin (2x+ ) = -;                                2 cos (- x) =0;

№3                                                                             №3

Укажите те корни уравнения, для которых        Укажите те корни уравнения, для которых

 cos x больше 0:                                         tgx больше 0:

sin x = -;                                                sin x = - ;

№4                                                                              №4

Решите уравнение                                                    Решите уравнение

sin 3x=0.5;                                                 cos 3x=- 0.5;

№5                                                                              №5

Решите уравнение                                                    Решите уравнение

cos (2 x + ) = 1 на отрезке [0; ];        sin ( 3 x +) = 1    на  на отрезке [0; ];

III   уровень

№ 1                                                                             №1

Множество А состоит из точек, задаваемых         Множество А состоит из точек, формулами:                                                               задаваемых формулами:

А:  X =   + 2n, nZ,                                           А:  X =   + 2n, nZ,      

      X =   + 2n, nZ.                                               X =  + 2n, nZ.

Множество В – из точек, задаваемых                     Множество В – из точек, задаваемых

соотношением:                                                          соотношением:

B:    X =   + n, nZ.                                           B:    X =(-1) + n, nZ.

Cовпадают ли эти  множества?                               Cовпадают ли  

мноножества?                                    

№ 2                                                                             № 2

Укажите число корней уравнения                         Укажите число корней уравнения

sin 2x = x,                                                cos x = 10 x,

принадлежащих промежутку                        принадлежащих промежутку

[-2 ; 0].                                                [-;].

№ 3                                                                            № 3

Решите уравнение                                                   Решите уравнение

=0;                                                tg x = +2;

№ 4                                                                            № 4

Решите уравнение                                        Решите уравнение

4  cos x = x+4;                                        sin(+x) = 3x+1;

№ 5                                                                            № 5

Укажите наименьшее целое значение а,               Укажите наименьшее натуральное        

при котором уравнение                                  значение а, при котором  уравнение        

sin x = - 4 имеет хотя бы одно решение.        cos x =  не имеет решений.

Приложения.

                                Решение самостоятельной работы

I  уровень

№ 1 ( 1в )    

3x - =  + n;  x=  (n+);

Ответ: x = (+n),  nZ.

№ 1  ( 2в )

2x-=-+2n;  x=(2n-);

Ответ: x = (2n-),  nZ.

№ 2  ( 1в )    

10x -=(-1) arcsin +n; x=(n+(-1)+);

x=(n+(-1)+),  nZ.

№  2  ( 2в )

3x + =arctg  + n; x=(-+n)= (+n);

Ответ: x  = (+n), nZ.

№ 3 ( 1в )    

x +=arctg + n; x= arctg + n-=-+n=+n;

Ответ:  x = n+,  nZ.

№ 3  ( 2в )

2x - =±arccos +2n=±+2n; 2x=±+2n;x=(±+2 n);

Ответ:  x =  ±+n,  nZ.

№ 4  ( 1в )    

x =±arccos (-) + 2n=±arccos (-) + 2n=±+2n;

Ответ: наибольший отрицательный корень  - ;№ 4  ( 2в )

x= (-1) +n;

Ответ: наименьший положительный корень ;

№ 5  ( 1в )    

Поскольку 3 > 2,  решений нет.

 Ответ:  решений нет.

№ 5  ( 2в )

Поскольку > 1,  решений нет.

 Ответ:  решений нет.

II  уровень

№ 1  ( 1в )    

7x + 11=arctg 43+n; x= (arctg 43+n -11) / 7;

Ответ: x= (arctg 43+n -11) / 7,  nZ.

№ 1 ( 2в )

6x+2009=arcctg 0+n; x=(+n) /6;

Ответ:    x =  (+n) /6,  nZ.

№ 2  ( 1в )    

sin (2x+ ) = - sin 2x= -;

2x= (-1) arcsin () +  n=(-1)( ) + n;

 Ответ:    x = (-1)  + , nZ.

№ 2  ( 2в )

cos (- x) = - cos x =0;

 x=±arccos 0 + 2 n=±+2 n;

можно короче х= + n,   nZ.

№ 3  ( 1в )    

x=  (-1) + n;

Четные n дают решения у которых cos положителен, нечетные – отрицателен.

Ответ: x = - + 2 n; nZ

№ 3  ( 2в )

x= (-1)+ n;

Четные n дают решения у которых tg  отрицателен, нечетные – положителен.

Ответ:  + (2 n+1) ,  nZ.

№ 4  ( 1в )    

3x=(-1)  + n; x= [(-1)  + n]/( 3); n можно брать только неотрицательное целое.

Ответ:

x= ±, где А=[(-1)  + n]/( 3) n= 0,1,2, …  

№ 4  ( 2в )

3x=(-1)  + n; x= [(-1) + n]/( 3); n можно брать только натуральное.

Ответ:

x= ±, где А=[(-1)  + n]/( 3),      n= 1, 2, 3, …  

№ 5  ( 1в )    

2 x + =2n; x=n-; Подходит только n=1, x=;

Ответ: x=;

№ 5  ( 2в )

3 x += + 2n; x=  + ;  Подходят n = 0, 1;

Ответ:  ; ;

III   уровень

№ 1  ( 1в )    

Поскольку   + 2n=  + +2n= +(2 n +1), объединение двух серий множества А дает как раз множество В.

Ответ:  множества одинаковы.

№ 1 ( 2в )

Множества одинаковы, так как оба представляют собой два варианта записи решений уравнения   sin x = 0.5.

Ответ:  множества одинаковы.

№ 2  ( 1в )    

Нарисовав эскизы графиков функций y=sin 2x и y=x, убеждаемся в 2-х общих точках функций : х=0 и корня, принадлежащего [-;-];

Ответ:  2 решения.

  № 2  ( 2в )

Нарисовав эскизы графиков функций y=cos  x и y=10x, убеждаемся в 2-х общих точках

функций: х=0 и корня, принадлежащего  [0; ];

Ответ:  2 решения.

№ 3  ( 1в )    

Числитель равен 0 при :  х =   + 2n, nZ       и при х = + 2n, nZ. Однако первая серия обращает знаменатель в 0.

Ответ: х  = + 2n, nZ

№ 3 ( 2в )

tg x =  + 2=+2=--2+2=-; x=arctg (-)+n=-+ n;

Ответ:  x =-+ n, nZ.

№ 4 ( 1в )    

4≥ 4 cos x=x+4 ≥4;

Отсюда cos x=1 и x =0.

Ответ:  x =0.

№ 4  ( 2в )

1≥sin ()=3 x+1≥1; Единственное возможное значение x=0.

Ответ: х=0.

№ 5 ( 1в )    

Имеем  -1 ≤  - 4 ≤ 1. Отсюда   3 ≤  ≤ 5,    6 ≤ a ≤10 ;≤ a ≤ , либо  -≥  a≥  -; Два целых числа (3 и -3) удовлетворяют неравенствам.

Ответ:  -3.  

№ 5 ( 2в )    

Имеем  > 1,  либо  <  - 1. То есть либо  a > 2,  

либо  a < - 2,

последнее неравенство несовместно, значит, а= 2, 3, ….

Ответ: 2.