разработка урока по теме "Свойства функций"
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Государственное общеобразовательное учреждение

гимназия № 271

Красносельского района  ул. Кузнецова, 25 к.3,4

Методическая разработка урока

по теме:

«Свойства функций»

9 класс (общеобразовательный)

Учитель: Нечаева Ирина Юрьевна

контактный телефон: 8 962 717 38 06

Цели урока:

1. Обучающие:

• Обобщить и систематизировать знания по теме «Функции»
• Формировать

• навык работы с тестами различных видов
• умение самопроверки и самооценки
• умение грамотно и чётко выражать собственную мысль с применением математических терминов
• умение «читать» графики функций

2. Развивающие:

• Развивать:

• умение слушать, задавать корректные вопросы по теме
• умение сравнивать, обобщать, классифицировать, анализировать
• сообразительность, алгебраическую интуицию, память, внимание, аккуратность
• уверенность в собственных силах

3. Воспитательные:

• Воспитывать ответственное отношение к делу, уважение друг к другу

Содержание учебного материала:

Понятие функции, способы задания функций, область определения функции, множество значений функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значение функции, линейная функция, её график, квадратичная функция, её график, парабола, координаты вершины параболы, обратная пропорциональность, её график, гипербола, нули функции, чётные и нечётные функции, промежутки знакопостоянства, линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения и неравенства, системы неравенств.

Используемая технология:  технология коммуникативного обучения

Методы, используемые на уроке:

• Беседа (по внешним признакам деятельности преподавателя и учащихся)
• Словесные, наглядные (по источнику получения знаний)
• Репродуктивный, частично-поисковый (по степени активности познавательной деятельности учащихся)
• Аналитический (по логичности подхода)
• Закрепления знаний (по дидактической цели)

Средства, используемые на уроке:

Дидактические материалы, раздаточный материал, компьютерная презентация, цветные ручки

Этапы урока:

1. Организационный момент
2. Постановка домашнего задания
3. Устная и письменная работа, фронтальная и индивидуальная работа
4. Тестирование (индивидуальная работа)
5. Подведение итогов урока, оценивание учащихся (рефлексия)

При подготовке к уроку учитель руководствовался принципами: доступности изложения учебного материала, его научности, учёта психолого-возрастных особенностей учащихся, важности учебного материала

Ход урока:

Слайд 1 (приложение 3)

Учитель: Здравствуйте. Тема урока «Свойства функций». Сегодня мы вспоминаем понятие функции, виды функций, их свойства, а также графики. Перед тем, как мы начнём работу, запишите домашнее задание. Каждому выдана карточка со своим вариантом (приложение 1)

Учитель: Сформулируйте определение функции.

Ученик: Если каждому значению х из некоторого множества чисел поставлено в соответствие единственное число у, то на этом множестве задана функция у(х).  

Учитель: Какой из чертежей может служить графиком функции и почему?

Слайд 2   (приложение 3)

Ученик:  2 и 5, т.к. на 1, 3 и 4 чертеже найдётся такое значение х, которому соответствует 2 значения у, что противоречит определению функции.

Проверка по слайду 3  (приложение 3)

Учитель: Сейчас я вам предлагаю заполнить пустые графы в таблице. Работаете самостоятельно. (У каждого ученика на парте лежит незаполненная таблица).

Учитель:  Проверяем. Если верно, ставите +, если неверно, то исправляете.

Слайд 4  (приложение 3)

Учитель: Теперь, когда мы вспомнили названия функций, формулы, их задающие,  и  название графиков функций, поговорим  о свойствах функций. Какие свойства функций вы знаете? (ученики перечисляют)

Слайд 5  (приложение3)

Учитель: Запишите в тетрадь названия всех свойств функций. Что называется областью определения функции?

Ученик: Областью определения функции у(х)  называется множество значений,

которые может принимает независимая переменная х (аргумент).

Слайд 6 (приложение3)

Учитель:  Найдите области определения данных функций. Ответы запишите кратко без пояснений.   К доске  вызывается ученик для записи ответов:

1) R;       2) R;       3) х≠0;        4) х≥-1;       5) х≠2        6) х>5        в) R

Учащиеся проверяют, ставят + или исправляют, задают вопросы ученику, который работал у  доски.

Ученик: Как записать ответ на 5-ый вопрос, используя промежутки?

Ответ:  (-∞;2);(2;+∞)

Учитель:  Верно, молодец. Отметка  5.  А теперь вам предлагается письменное задание на нахождение области определения функции. Вариант 1 выполняет задание 1, вариант 2 –задание 2. К доске пойдут два ученика, которые первыми выполнят задание.

Слайд 7  (приложение 3)

Решение, выполненное  первым учеником  на доске:

1) ≥0;    х²-5х+4=0;

   х = 1; х = 4 (сумма коэффициентов уравнения равна 0)

  -          +          -                 +                

                                                             х             0 ≤ х<1; х>4

       0        1                 4                                                                 Ответ: 0 ≤ х<1; х>4

 Решение, выполненное вторым учеником:

2) 2 – 13х – 7х² > 0;            2 – 13х – 7х² = 0;         -7х² - 13х + 2 = 0

                                                        ;      

     -                +                        -        

            -2                                               х                      -2<х<         Ответ:

Учитель: (обращаясь к учащимся класса)

Какие вопросы вы хотите задать ребятам?

Учащиеся: Вопросы ученику, выполнявшему задание №1:

1) Почему на луче две точки, соответствующие числам  1 и 4  выколоты, а точка, соответствующая числу  0 заштрихована? (Т.к. 1 и 4 обращают знаменатель в 0, а он равным быть 0 не может).

2) Как называется способ решения неравенства? ( Неравенство решено методом интервалов)

Учащиеся: Вопросы ученику, выполнявшему задание №2:

1) Почему решаешь строгое неравенство? ( Т.к. квадратный корень стоит в знаменателе, то подкоренное выражение должно быть строго положительно)

2) Как расставлял знаки на промежутках? (На правом промежутке знак совпадает со знаком старшего коэффициента квадратного трёхчлена. Старший коэффициент отрицательный (-7). Далее знаки чередуются)

Учитель ставит отметки за решение на доске и даёт по 1 баллу тем ученикам, которые задавали вопросы.

Учитель: Что называется множеством значений функции?

Ученик: Множеством значений функции у(х) называется множество значений,    которые может принимать зависимая переменная у.

Слайд 8  (приложение 3)

Учитель:  Вариант 1 выполняет задания 1 и 3, а вариант 2 – задания 2 и 4. Ученики работают самостоятельно.

Слайд 9  (приложение 3)

Учитель:  Проверяем. Если выполнили верно, ставим карандашом +, если неверно, то исправляем.

Учитель:  Дайте определение возрастающей и убывающей функции.

Ученик: Функция у(х) называется возрастающей на промежутке, если для всех и  из этого промежутка, таких, что < выполняется неравенство у()<у(), т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции.  Функция называется убывающей на промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Слайд 10   (приложение3)

Ученик: Первая функция линейная. Она возрастает на всей области определения. Вторая функция квадратичная. Она убывает при х≤1, возрастает при х ≥1. Третья функция задаёт обратную пропорциональность. Она убывает на всей области определения, т.е. при х≠0.

Учитель: Верно. (Ученик получает 1 балл  за правильный ответ).

Слайд 11  (приложение3)

Ученики работают в тетрадях, выписывают номера функций.

Учитель: Проверка..

Слайд 12  (приложение3)    

Учитель: Почему функции 4 и 8 не вошли в ответ?

Ученик: Это квадратичные функции. Они не являются возрастающими или убывающими на всей области определения.

Учитель:  Выберите линейные функции.

Ученик:  1, 2, 3, 5, 7, 10.

Учитель: От чего зависит возрастает линейная функция или убывает?

Ученик: От знака коэффициента. Если к>0, то линейная функция возрастает, а если к <0, то она убывает.

Учитель:  Верно. (Ученик получает 1 балл). Как называются функции, которые  вы ещё выписали в ответ? И от чего зависит возрастание и убывание этих функций?

Ученик: Функции, задающие обратную пропорциональность – 6 и 9. если к>0, то функция убывающая, если к <0, то функция возрастающая.

Учитель: Правильно. (Ученик получает 1 балл).  А теперь поговорим о чётности и нечётности функций. Дайте определение чётной функции.

Ученик: Функция у(х) называется чётной, если её область определения симметрична относительно 0 и для любого х из области определения выполняется равенство у(-х) = у(х).

Учитель:   Правильно. (Ученик получает 1 балл). В чём отличие нечётной функции от чётной?

Ученик: В  равенстве у(-х) = - у(х) для нечётной функции.

Учитель. Верно. (Ученик получает 1 балл). Вспомните, как по графику определить чётность функции.

Слайд 13 (приложение3)

Ученик: Если график функции симметричен относительно оси Оу, то функция является чётной, если график симметричен относительно начала координат, то функция нечётная. На 1 и 4 рисунках изображены  графики чётных функций, а на 3 рисунке – график нечётной функции.

Учитель:   Согласна. (1 балл) Но мы должны уметь выяснять чётная функция или нечётная не только в случае графического способа  задания функции, но и  в случае аналитического способа задания. Какой способ называется аналитическим?

Ученик: Аналитический способ задания функции – задание формулой.

Слайд 14 (приложение 3)

Учитель: К доске идёт ученик, выписывает соответствие, которое у него получилось и даёт необходимые объяснения.

Ученик: 1 – А       2 – В     3 - Б     Т.к. область определения  последней функции не симметрична относительно 0, то она не является чётной и не является нечётной функцией. Области определения первой и второй функций  симметричны относительно 0. Исследуем их на чётность и нечётность.

1)  у(-х) =у(х), значит функция чётная (1 – А)

2) у(-х) = 3(-х)³ + 5(-х) = -3х³ - 5х = - (3х³+5х) = -у(х), значит функция нечётная (2 – В)

Учитель: Молодец, отметка 5. Какое свойство функции мы ещё сегодня не повторили?

Ученик: Промежутки знакопостоянства.

Учитель: Вы знаете, чтобы найти промежутки знакопостоянства, надо найти, при каких значениях х функция принимает значения одинакового знака. К доске

Найдите, при каких значениях х функция у=            принимает неотрицательные значения.

      Решение, приведённое учеником на доске:    

                                     +                          -                  +                    -

                 ≥0;                                                                                                х

                                               -3                           1                 3                    

       Ответ:  (- ∞; -3); (1;3)

Учитель:  Какие есть замечания по решению?

Ученик:  Почему выколоты точки -3 и 3? Ведь знак неравенства нестрогий, а эти числа обращают числитель в 0.

Учитель: Верно. Выйди, пожалуйста, к доске и исправь ошибку.

Ученик:

              +                        -                           +                 -                  Ответ:     (- ∞; -3]; (1;3]

                       -3                          1                            3           х

Учитель:  Правильно, молодец, получаешь 1 балл. Ещё есть вопросы?

Ученик:  Можно ответ записать не промежутком, а неравенством?

Учитель:   Можно. Выйди к доске, напиши свой вариант ответа.

Ученик:    х≤-3; 1<х≤3.

Слайд 15  (приложение 3)

Учитель:  Хорошо. А теперь поработаем с графиками функций. Колонка 1 работает

по графику 1, средняя колонка – по графику 2, колонка у окна – по графику 3.

Учитель: От каждого  варианта вызывается к доске ученик, который записывает ответ.

Ученик 1:  у>0 при х>0;   у<0  при х<0,   у = 0 ни при каких значениях х.

Ученик 2:  у>0 при х<3;   у<0  при х>3,   у = 0  при х = 3.

Ученик 3:  у>0 при х<-4, х>2;   у<0  при -4<х<2,   у = 0  при х = -4. х = 2.

Учитель: Проверили. Поставили + или исправили ошибки.(Ученики у доски получают по 1 баллу). Как для второй функции называется число 3, а для третьей числа  -4 и2?

Ученик: Нули  функции.

Учитель: Кто может сформулировать определение нуля функции?

Ученик: Нулём функции называется значение х, при котором функция принимает значение, равное 0.

Учитель: Молодец. Верно. Сейчас вам предлагается выполнить небольшой тест. Время работы – 5 минут. За 5 верно выполненных заданий отметка 5, за 4 задания отметка 4, за 3 задания отметка 3. (Приложение 2)

Учитель:  Работы сдаём. Результаты теста вы узнаете на следующем уроке.

Сегодня мы с вами вспомнили свойства функций, поработали с функциями, которые заданы и аналитически, и графически. Дома в процессе выполнения задания вы ещё раз повторите материал этого и предыдущих уроков. Возьмите цветные ручки и подведите черту под вашей работой в тетради красным цветом, если сегодня на уроке вы чувствовали себя комфортно, если вам было понятно то, о чём мы говорили, синим цветом -  если вы испытывали некоторые неудобства или в темпе урока, или в решении заданий или в объяснении и чёрным цветом – если вам было очень трудно и вы считаете, что вам эти знания не пригодятся. Урок окончен. Спасибо за работу.

Приложение 1

Домашнее задание по теме «Функции. Свойства функций»

Вариант 1

1.  Найти область определения функции:

   а) у=х²-5х+4 ;               б) ;                   в) .

2. Найти нули функции: у=6-5х²-х.

3. Построить график функции у=0,5х+4. При каких значениях х  значения функции отрицательны? Возрастает или убывает функция? Проверить, является ли функция чётной или нечётной.

Вариант 2

1.  Найти область определения функции:

   а) ;         б) ;                  в) .

2. Найти нули функции:  у=х³+3х²-4х.

3. Не выполняя построения графика, найти множество значений функции

    у=-х²-4х-5.

4. Построить график функции . Определить, при каких значениях х    значения функции положительны. Найти область определения и множество значений функции. Доказать, что функция является нечётной. Найти промежутки убывания функции.

Вариант 3

1.  Найти область определения функции:

   а)   ;             б) ;                   в) .

2. Построить график функции у= -х²-6х-5. Определить по графику множество значений функции, промежутки возрастания, убывания, промежутки знакопостоянства. Найти нули функции.

3. Является ли чётной или нечётной функция  .

4. Принадлежит ли точка А(-2;-1) графику функции ?

Вариант 4

1.  Найти область определения функции:

   а)    ;                     б)  ;               в) .

2. Найти нули функции: .

3. Найти наибольшее или наименьшее значение функции у=4-х², не выполняя построения графика.

4. Построить график функции  на промежутке [-8;4] Указать множество значений функции, промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства функции.

Вариант 5

1. Найти область определения функции:

    а) ;     б)  ;

          в) .

2. Не выполняя построения графика функции у=(4-х)²+3, найти множество её значений.

3. Исследовать функцию на чётность и нечётность  .

4. Построить график функции

. По графику определить множество значений функции, промежутки возрастания, убывания. Найти, при каких значениях х значения функции отрицательны.

Приложение 2

Тест по теме «Свойства функций»               Вариант 1

А1. Функция у(х) – убывающая. Сравните у(5) и у(-4)

1) у(5)<у(-4)             2) у(5)>у(-4)            3) у(5)=у(-4)         4) невозможно сравнить

А2. Укажите функцию, которая имеет наибольшее значение

1) у = 5х-7                 2) у = 3х - х²                 3) у = 2х²+9                    4) у =      

С1. Укажите соответствие между формулой, задающей функцию и областью определения этой функции

1) у =;   2) у =;    3) у =                   А) х≠-3;      Б) х≥-3;   В) х>-3

А3. Пользуясь графиком функции, определите, при каких значениях х функция возрастает                                                                                                                        

1) (-∞; -3]                                                                                  2                                                                        

       2) (-∞; -1]                                                                                                                          

3) (-∞; 2]    

       4) [-1; + ∞)                                           -3            -1     0       1              х

А4. Пользуясь графиком функции к заданию А3, определите, при каких значениях х значения функции отрицательны

1) (-∞; -3];[1;+ ∞)                2) (-3;1)                3) [-3;1]                4) (-∞; -3);(1;+ ∞)                    

Тест по теме «Свойства функций»            Вариант 2

А1. Функция у(х) – возрастающая. Сравните у(-3) и у(2)

1) у(-3)<у(2)             2) у(-3)>у(2)            3) у(-3)=у(2)         4) невозможно сравнить

А2. Укажите функцию, которая имеет наименьшее значение

1) у = 6х+2                  2) у = 6 -4х²                 3) у = 5х²-9х                    4) у =      

С1. Укажите соответствие между формулой, задающей функцию и областью определения этой функции

1) у =;   2  у =;    3) у =                   А) х>5;          Б) х≠5;        В) х≥5

А3. Пользуясь графиком функции, определите, при каких значениях х функция убывает

       1) (-∞; 1]                                                                   у

       2) (-∞; -1]          

       3) (-2;+∞)    

       4) [1; + ∞)                                                     -1             1          3                    х

                                                                                 -2                                                                                                                            А4. Пользуясь графиком функции к заданию А3, определите, при каких значениях х значения функции положительны

1) (-∞; -1];[3;+ ∞)                2) (-1;3)                3) [-1;3]                4) (-∞; -1);(3;+ ∞)    

Литература:

1. Гребенюк О.С., Гребенюк Т.Б. Теория обучения – М., 2003
2. Харламов И.Ф. Педагогика – М., 2004
3. Крайнева Л.Б. Сборник тестовых заданий для тематического и обобщающего контроля. Алгебра 9 класс – М., 2007
4. Зив Б.Г., Гольдич В.А. Дидактические материалы по алгебре для 9 класса – С.-Петербург, 2004
5. Алимов Ш.А. Учебник по алгебре для 9 класса – М., 2005