Решение заданий ЕГЭ части С (обновленные 2019 г.)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля.

Слайд 2

27.10.2014 2 Необходимые умения. Уметь решать рациональные неравенства методом интервалов. Понимать значение понятий: система, совокупность. Уметь решать системы и совокупности. http://ta-shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s3/s3_1_reshenie_racionalnykh_neravenstv_metodom_intervalov/15-1-0-85 http://ta-shah.ucoz.ru/load/egeh/egeh_s3/s3_2_sistemy_i_sovokupnosti/15-1-0-86

Слайд 3

27.10.2014 3 Универсальный способ (по определению модуля) Методы решения. Метод интервалов (обобщение метода по определению) Использование альтернативных схем Использование свойств модулей Метод рационализации (замены множителей)

Слайд 4

27.10.2014 4 Универсальный способ (по определению модуля) = > если под знаком модуля находится функция от х, которая может принимать как отрицательные, так и неотрицательные значения, то необходимо рассмотреть два варианта раскрытия для каждого из модулей. Пример 1. 1 случай. 2 случай. Решением неравенства является объединение решений всех случаев.

Слайд 5

27.10.2014 5 Универсальный способ (по определению модуля) = > если под знаком модуля находится функция от х, которая может принимать как отрицательные, так и неотрицательные значения, то необходимо рассмотреть два варианта раскрытия для каждого из модулей. Пример 2. 1 случай. 2 случай. Решением неравенства является объединение решений всех случаев.

Слайд 6

27.10.2014 6 Универсальный способ (по определению модуля) = > если под знаком модуля находится функция от х, которая может принимать как отрицательные, так и неотрицательные значения, то необходимо рассмотреть два варианта раскрытия для каждого из модулей. Пример 3. 1 случай. 2 случай. Ø Решением неравенства является объединение решений всех случаев.

Слайд 7

27.10.2014 7 Универсальный способ (по определению модуля) = > если под знаком модуля находится функция от х, которая может принимать как отрицательные, так и неотрицательные значения, то необходимо рассмотреть два варианта раскрытия для каждого из модулей. Пример 4. 1 случай. 2 случай. Решением неравенства является объединение решений всех случаев.

Слайд 8

27.10.2014 Универсальный способ (по определению модуля) Можно доказать, что решения рассмотренных неравенств могут быть записаны при помощи следующих альтернативных схем : Не пытайтесь запомнить данные равносильные переходы без понимания их смысла. Сначала выработайте навык используя предыдущую форму записи. Назад

Слайд 9

Универсальный способ (по определению модуля) Пример 5. 1 случай. 2 случай. 3 случай. Ø 4 случай. Ø Представьте, что модулей в неравенстве три (или пять)! Решением неравенства является объединение решений всех случаев.

Слайд 10

Метод интервалов. Если модулей в задаче несколько, то решение предыдущим способом может оказаться очень перегруженным. Рассмотрим более удобный для такого случая метод. 1) На числовой прямой отметить нули подмодульных выражений. 2) Определить знак каждого выражения на каждом числовом промежутке (например, по какому-нибудь значению х из промежутка, кроме концевых точек). 3) Раскрыть модули на каждом из промежутков и решить полученное неравенство. 4) Из полученных решений выбрать те, которые данному промежутку принадлежат. 5) Объединить ответы из всех промежутков. Назад

Слайд 11

27.10.2014 11 Нули подмодульных выражений: Метод интервалов. Пример 6. 1 случай. Замечание: концевые точки (нули подмодульных выражений) не обязательно включать в промежутки именно таким образом. Это можно сделать и по другому. Главное, чтобы каждая точка попала в один из рассматриваемых промежутков. Алгоритм

Слайд 12

27.10.2014 12 Нули подмодульных выражений: Метод интервалов. Пример 6. 2 случай. Алгоритм

Слайд 13

27.10.2014 13 Нули подмодульных выражений: Метод интервалов. Пример 6. 3 случай. Алгоритм

Слайд 14

27.10.2014 14 Нули подмодульных выражений: Метод интервалов. Пример 6. 4 случай. Алгоритм

Слайд 15

27.10.2014 15 Метод интервалов. Пример 6. Алгоритм Решением неравенства является объединение решений всех случаев.

Слайд 16

27.10.2014 16 Нули подмодульных выражений: Метод интервалов. Пример 7. 1 случай. 2 случай. - верно при любом х Алгоритм

Слайд 17

27.10.2014 17 Нули подмодульных выражений: Метод интервалов. Пример 7. 3 случай. Алгоритм

Слайд 18

27.10.2014 18 Нули подмодульных выражений: Метод интервалов. Пример 7. 4 случай. 5 случай. Ø Ø Алгоритм

Слайд 19

27.10.2014 19 Метод интервалов. Пример 7. Рассмотрим возможные неприятности, которые могут возникнуть при использовании метода интервалов. Алгоритм Решением неравенства является объединение решений всех случаев.

Слайд 20

27.10.2014 20 Метод интервалов (неприятности). Пример 8. 1 случай. Как сравнить?

Слайд 21

21 Метод интервалов (неприятности). Пример 8. 2 случай. Как сравнить?

Слайд 22

27.10.2014 22 Метод интервалов (неприятности). Часто требуется более точная оценка! Сравнить нельзя! Назад

Слайд 23

В данном случае сложностей в сравнении неудобных чисел можно избежать, если использовать рассмотренную ранее альтернативную схему. 27.10.2014 23 Пример 8. Схемы Использование альтернативных схем.

Слайд 24

27.10.2014 24 Использование альтернативных схем. Пример 9. Предыдущее неравенство, хоть и с трудностями, но все же вполне решаемо методом интервалов. Рассмотрим неравенство, которое маловероятно решить этим методом. Схемы

Слайд 25

Использование свойств модулей. Свойства модулей, которые могут значительно упрощать решение некоторых задач. Пример 10. (5 свойство) (2 свойство) Пример 11. (1 свойство) Если , то неравенство выполнено - решения Если , то можно обе части неравенства разделить на положительный множитель сохранив знак неравенства.

Слайд 26

Использование свойств модулей. Свойства модулей, которые могут значительно упростить решение задач. Пример 12. (3 свойство) (5 свойство) Если , то неравенство выполнено - решения Если , то можно обе части неравенства разделить на положительный множитель сохранив знак неравенства.

Слайд 27

Использование свойств модулей. Свойства модулей, которые могут значительно упростить решение задач. Пример 13. (4 свойство) Введем переменную: Ø Схемы

Слайд 28

Метод замены множителей. Пример 14. Теорема : неравенство f ( x ) ≥ g ( x ) при f ( x ) ≥0 и g ( x ) ≥0 равносильно неравенству f ²( x ) ≥ g ²( x ), т.е. неравенство f ( x ) - g ( x ) ≥ 0 равносильно неравенству f ²( x ) - g ²( x ) ≥ 0. Очевидно, что свойства модулей нам в данном случае не помогут. Решать методом интервалов страшновато. Хотя долгая и кропотливая работа безусловно даст результат. Но, чем больше действий вам придется выполнить, тем больше вероятность устать и допустить ошибку. Существует более простое и красивое решение. Другими словами: знак выражения f(x)-g(x) при условии, что f ( x )≥0 и g ( x )≥0 совпадает со знаком выражения f 2 (x)-g 2 (x) .

Слайд 29

Метод замены множителей. Множитель Замена Несколько примеров замены множителей при решении неравенств с модулями.

Слайд 30

Метод замены множителей. Пример 14.

Слайд 31

Метод замены множителей. Пример 15. 1 способ (использование альтернативных схем). Схемы

Слайд 32

Метод замены множителей. Пример 15. 2 способ (замены множителей). В рассмотренной задаче метод замены множителей не упростил решение. Вывод: старайтесь использовать те или иные методы разумно!

Слайд 33

Метод замены множителей. А если g(x)<0? (Вполне возможно при решении задач.) В этом случае можно считать верной замену: В этом случае имеем сумму неотрицательного и положительного выражений. Неотрицательный множитель не влияет на знак произведения = > на него можно разделить обе части неравенства не меняя его знак. Для простоты – 1. А вообще – любое положительное число. Пример 16. Выражение в скобке может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Следовательно необходимо рассмотреть два случая с разными заменами.

Слайд 34

Метод замены множителей. 1 случай. при g(x)<0 при g(x)≥0 Пример 16. 2 случай. Ø Ответ – объединение решений первого и второго случая.

Слайд 35

Тренировочные упражнения.

Слайд 36

Источники А. С. Зеленский, И. И. Панфилов «Решение уравнений и неравенств с модулем» http://narod.ru/disk/11487224001/%D0%97%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9%2C%20%D0%9F%D0%B0%D0%BD%D1%84%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B2.%20%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D0%B8.djvu.html КИМ ЕГЭ 2013 года http://alexlarin.net/ege/2013/c3_2013.html П. Н. Севрюков, А. Н. Смоляков «Уравнения и неравенства с модулями и методика их решения» http://alexlarin.com/viewtopic.php?f=27&t=8605