Решение показательных уравнений, неравенств.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Елисеева Татьяна Феоктистовна
Опубликовано 14.11.2014 - 22:21 - Елисеева Татьяна Феоктистовна

Методические рекомендации для студентов по работе с показательными уравнениями и неравенствами.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл rekomendazii_dli_studentov_1.docx483.72 КБ

Предварительный просмотр:

Профессиональный конкурс работников образования

ВСЕРОССИЙСКИЙ ИНТЕРНЕТ-КОНКУРС ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА

(2012/13 учебный год)

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ БРЯНСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БРЯНСКИЙ ТЕХНИКУМ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И СФЕРЫ УСЛУГ»

 (ГБОУ СПО «БТПТиСУ»)

(241027, г. Брянск, ул. Почтовая, д.100)

Номинация конкурса:

Педагогические идеи и технологии

Рекомендации для студентов

Тема:  Решение показательных уравнений и неравенств

Авторы:  Елисеева   Татьяна  Феоктистовна,

                                                                   Ковардакова Ольга Николаевна.

                       

                                                           г.Брянск.

2013 год

Показательные уравнения и неравенства

Чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно их решать.                                                                                                                                                               Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, вспомните некоторый теоретический материал.

Показательная функция

Что такое показательная функция?

Функцию вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = ax:

Свойство

a > 1

0 < a < 1

Область определения

D(f) = (-∞; +∞)

D(f) = (-∞; +∞)

Область значений

E(f) = (0; +∞)

E(f) = (0; +∞)

Монотонность

Возрастает

Убывает

Непрерывность

Непрерывная

Непрерывная

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

Экспоненты, графики показательной функции, графики функции y = a^x

Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение af(x) = ag(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

    \[ \fbox{\begin{array}{l} a>0,\, b>0: \\ a^0 = 1, 1^x = 1; \\ a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k} \, (k\in Z,\, n\in N);\\ a^{-x} = \frac{1}{a^x}; \\ a^x\cdot a^y = a^{x+y}; \\ \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}; \\ (a^x)^y = a^{xy}; \\ a^x\cdot b^x = (ab)^x; \\ \frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x.\\ \end{array}} \]

Решите уравнение 1 :

Алгоритм решения:

  1. Получим степени с основаниям 2.
  2. Используя свойства степени, упростим выражение.
  3. Перейдем к равенству показателей степени.
  4. Решим уравнение с модулем.
  5. Запишем ответ.

Решите уравнение 2 :

Алгоритм решения:

  1. Найти ОДЗ.
  2. Ввести замену
  3.  Решить полученное уравнение, найти у.
  4. Вернуться к замене, решить уравнения относительно х.
  5. Записать ответ.

Решите уравнение 3 :

Алгоритм решения:

  1. Разделим обе части уравнения на .
  2. Получим равносильное уравнение.
  3. Введем замену
  4. Решим полученное квадратное уравнение.
  5. Вернемся к замене, решим уравнения относительно х.
  6. Решим и запишем ответ.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2.   Если a > 1, то неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af(x) > ag(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) < g(x).

Решите неравенство 1:

16^x-2\cdot 12^x\leqslant 3^{2x+1}.

Решение: представим исходное неравенство в виде:

4^{2x}-2\cdot 4^x\cdot 3^x-3\cdot 3^{2x}\leqslant 0.

Разделим обе части неравенства на 32x, при этом знак неравенства не изменится:

\left(\frac{4}{3}\right)^{2x}-2\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^x-3\leqslant 0.

Воспользуемся подстановкой:

t=\left(\frac{4}{3}\right)^x.

Получим:

~t^2-2t-3\leqslant 0.

Решение неравенства t^2-2t-3<0

Решением неравенства является промежуток:

-1\leqslant t\leqslant 3,

Вернёмся к подстановке:

-1\leqslant \left(\frac{4}{3}\right)^x \leqslant 3.

Левое неравенства в выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

\left(\frac{4}{3}\right)^x \leqslant \left(\frac{4}{3}\right)^{\log_{\frac{4}{3}}3}.

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

x\leqslant \log_{\frac{4}{3}}3.

Получаем ответ:

x\in(-\mathcal{1};\log_{\frac{4}{3}}3].

Решите неравенство 2:

\frac{7^x-30}{7^{x-1}+1}\leqslant -14.

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

\frac{7^x-30}{\frac{1}{7}\cdot 7^x+1}\leqslant -14.

Введем новую переменную: ~t=7^x. Получим:        

\frac{t-30}{\frac{1}{7}\cdot t+1}+14\leqslant 0\Leftrightarrow

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

\frac{7t-210}{t+7}+14\leqslant 0\Leftrightarrow

\frac{21t-112}{t+7}\leqslant 0\Leftrightarrow \frac{3t-16}{t+7}\leqslant 0.

Числовой промежуток, соответствующей решению неравенства (3t-16)/(t+7) <= 0

Неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

-7\leqslant t\leqslant \frac{16}{3}.

Возвращаясь к подстановке, получаем:

7\leqslant 7^x\leqslant \frac{16}{3}.           

7^x\leqslant 7^{\log_7 \frac{16}{3}}.

Т.к. основание  больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет следующее неравенство:

x\leqslant \log_7 \frac{16}{3}.

Ответ:

x\in\left(-\mathcal{1};\log_7 \frac{16}{3}\right].

Ответы и решения:

№18405.  (в среднем)  

 http://educontest.net/component/content/category/52-2.html

№18413 (в проф)

http://educontest.net/component/content/category/53-3.html

C:\Documents and Settings\Admin\Рабочий стол\2013-05-09_165007.jpg

№18402

http://educontest.net/component/content/category/60-10.html

C:\Documents and Settings\Admin\Рабочий стол\2013-05-09_170949.jpg


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Модульная программа "Решение показательных уравнений и неравенств"

В процессе работы над учебными элементами ребята должны:знатьосновные определения по теме « Показательная функция», «Показательные уравнения », "Показательные неравенства". уметь творчески п...

конспект урока по теме: "Решение показательных уравнений и неравенств". алгебра 11 класс

Используется дифференцированный метод обучения....

Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств

Обобщение и закрепление знаний основных свойств показательной функции и применение их при решении задач...

Обобщающий урок по теме "Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств."

Урок проводится с использованием компьютера и мультимедийного проектора. В ходе урока проводится тест "Показательная функция" с самопроверкой, работа по вариантам, работа по рядам с проверкой консульт...

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ».

РАЗРАБОТКА ОСВЕЩАЕТ СЛЕДУЮЩИЕ ВОПРОСЫ:1.Вступление.2.Историческая справка.3.Структура и место темы в учебном курсе.4. Теоретические основы преподавания темы.5.Тематическое планирование темы.6.Основные...

Урок-семинар на тему: "Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ"

Конспект открытого урока-семинара, проведенного в 10 классе, на тему: Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ". Предоставленный материал дает возм...

Презентация к уроку алгебры в 10 классе на тему "Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ"

Презентация на тему "Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ" является иллюстрацией к одноименному уроку-семинару по алгебре и началам анализа, пр...