Конические сечения и свойства их касательных
статья по алгебре (9, 10, 11 класс)

Опубликовано 17.11.2014 - 16:36 - Морозов Владимир Владимирович

В работе изучаются конические сечения – парабола, гипербола, окружность и эллипс – как огибающие семейства прямых. В связи с этим изучаются некоторые свойства конических сечений. В частности, в работе доказано, что точка пересечения высот треугольника является фокусом эллипса, вписанного в этот треугольник, другим фокусом является центр описанной окружности, а главная ось симметрии этого эллипса является прямой Эйлера для треугольника.

В этой работе мы получили описание каждого конического сечения – параболы, гиперболы, окружности, эллипса – как огибающей семейства прямых. Описание каждого семейства прямых показало не только отличительные черты, инварианты каждого вида конических сечений, но и нечто общее, что объединяет все конические сечения.

Работа интересна учителям математики и учащимся, осуществляющим исследовательскую деятельность по математике.

Скачать:

Вложение	Размер
Конические сечения и свойства их касательных	661.06 КБ
Упакованный исходный код программы в среде Delphi. Информационная иллюстрации статьи	654.12 КБ
Упакованная презентация с иллюстрациями к статье	2.24 МБ

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Конические сечения и свойства их касательных
М0(x0;y0)
М2(x02;y02)
М1(x01;y01)
B2
B1
М2(x02;y02)
М1(x01;y01)
М0(x0;y0)
P
B2
B1
М2(x02;y02)
М1(x01;y01)
М0(x0;y0)
P
Утверждение 1:
Следствие 1. Если точка М0 лежит на оси ординат, то
B2
B1
М2(x02;y02)
М1(x01;y01)
М0(x0;y0)
P
Следствие 2. Огибающей семейства прямых
является парабола
У
О
Х
О
У
Х
Следствие 3. Пусть прямые, касающиеся параболы в точках M1 и M2 пересекаются в точке M0. Тогда средняя линия треугольника M1M2M0, параллельная M1M2, касается параболы
М0(x0;y0)
М2(x02;y02)
М1(x01;y01)
B2
B1
P
Пусть B1B2 – средняя линия треугольника M1M2M0. Тогда
М0(x0;y0)
М2(x02;y02)
М1(x01;y01)
B2
B1
P
Следствие 4. Прямая М0Р является медианой треугольника M1M2M0 и параллельна оси ординат
М0(x0;y0)
М2(x02;y02)
М1(x01;y01)
B2
B1
P
Следствие 5. В данный неразвёрнутый угол можно вписать единственную параболу, касающуюся сторон угла в двух данных (отличных от вершины) точках.
Задача. Останется ли параболоид после обгорания или обледенения параболоидом, сохранится ли оптическое свойство параболоида фокусировать отражённые лучи в одной точке – фокусе?
Следствие 6. Параболическая поверхность после обгорания, обледенения или покраски теряет свойства фокусировать отражённые лучи в одной точке.
М1
М2
Утверждение 2. Касательная к гиперболе в произвольной точке отсекает от асимптот отрезки, произведение которых постоянно и не зависит от выбора точки касания.
М1
М2
Утверждение 3. Периметр треугольника MCD постоянен и не зависит от выбора точки касания Е.
Утверждение 4. эллипс является огибающей семейства треугольников, вписанных в одну и ту же окружность с центром в одном фокусе эллипса, а точки пересечения высот каждого из этих треугольников – второй фокус эллипса
A
B
C
F
B2
B1
М2(x02;y02)
М1(x01;y01)
М0(x0;y0)
P
A
B
C
F