Главные вкладки

    Подготовка к ЕГЭ
    материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

    Тимралиева Наиля Салиховна

    Задания части В и С

    Скачать:


    Предварительный просмотр:

    Шар-В13

    1. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

                                       http://reshuege.ru/get_file?id=842

    2. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на http://reshuege.ru/formula/52/522359592d78569a9eac16498aa7a087p.png.

                                    http://reshuege.ru/get_file?id=843

    3. Около куба с ребром http://reshuege.ru/formula/91/91a24814efa2661939c57367281c819cp.png  описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на http://reshuege.ru/formula/52/522359592d78569a9eac16498aa7a087p.png.

                                         http://reshuege.ru/get_file?id=871

    4. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей.

                                  http://reshuege.ru/get_file?id=878

    5.  Объем шара равен 288 http://reshuege.ru/formula/52/522359592d78569a9eac16498aa7a087p.png. Найдите площадь его поверхности, деленную на http://reshuege.ru/formula/52/522359592d78569a9eac16498aa7a087p.png.

    6.  Вершина http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29p.png куба http://reshuege.ru/formula/3d/3dcbf64aebe65200503211a8fc5a3518p.png со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку http://reshuege.ru/formula/e2/e283f48f6f3d4077546b2b697c3eebadp.png. Найдите площадь http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546ep.png части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину .

    7.  Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь http://reshuege.ru/formula/5d/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546ep.png части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите .

                                                         http://reshuege.ru/get_file?id=3409

    8. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

     

                                                        http://reshuege.ru/get_file?id=3413

    9. Куб вписан в шар радиуса http://reshuege.ru/formula/91/91a24814efa2661939c57367281c819cp.png. Найдите объем куба.

     



    Предварительный просмотр:

    Шар-В10

                                       http://reshuege.ru/get_file?id=763

    1. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

                                    http://reshuege.ru/get_file?id=777

    1. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

                                                http://reshuege.ru/get_file?id=803

    1. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

                                        http://reshuege.ru/get_file?id=870

    1. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


    Предварительный просмотр:

                                         С-5. Неравенства с параметрами.

    C 5 . Найдите все значения http://reshuege.ru/formula/3d/3ded2184a3e467984dba5788f82cc430.png при каждом из которых множеством решений неравенства http://reshuege.ru/formula/ae/ae09075763ba51f5f96dc8c3d295abdd.png является отрезок.

                                  Решение.

    Перепишем неравенство в виде

     

    http://reshuege.ru/formula/d8/d878dc22417aca1d38c325e9186f9778.png

    Нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства.

                              http://reshuege.ru/get_file?id=7024

    Из рисунка видно, что график правой части неравенства лежит выше левой при http://reshuege.ru/formula/1f/1f7162902a62c89773bf904cbcce9788.png Заметим, что при http://reshuege.ru/formula/02/020f6abc06df90156f8009e83a8636ed.pngрешением кроме отрезка будет еще и точка http://reshuege.ru/formula/01/01d6abb4ab366510dadec03cf49cafc6.png что противоречит условию.

    Рассмотрим случай касания:

     

    http://reshuege.ru/formula/47/47291a978efc99e2ac93591f83e641f2.png

     

    тогда

     

    http://reshuege.ru/formula/ef/ef5fa25d38cd7efa0702fe7072823a87.png

     

    Итак, интервал http://reshuege.ru/formula/7b/7b324c225c3b08a72723efd5a9ebedaa.png не удовлетворяет условию задачи.

     

                              Ответ: http://reshuege.ru/formula/33/33fd16cee828d5be30f13bd79184fef8.png

    C 5 . Найдите все значения http://reshuege.ru/formula/3d/3ded2184a3e467984dba5788f82cc430.png при каждом из которых наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/5b/5b58cb0d9765a403e3b6b9f97f7f7ceb.png больше, чем http://reshuege.ru/formula/3a/3ae369b96fccda2434f5e5d2fbefb85d.png

                                         

                                           Решение.

    1. Функция имеет вид:

     

    a) При http://reshuege.ru/formula/22/2230366d93959241114e678061ef966b.png

     

    http://reshuege.ru/formula/a0/a01622c6aa752f9a1e93d907985fad25.png

     

    а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии http://reshuege.ru/formula/77/77ea4e9a164b7393b25e4e202db45e05.png

     

    б) При http://reshuege.ru/formula/68/68ceae0cb49d3fadebf158a66d2db3b8.png

     

    http://reshuege.ru/formula/11/1110405303292a5dc99fa41d5d480b7d.png

     

    а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

     

    2. Если http://reshuege.ru/formula/94/94a100ea70392fbb0e482762611eec99.png принадлежит отрезку http://reshuege.ru/formula/48/48dd7bab3bffb1642d34c30ec790e8ce.png то наименьшее значение функция может принимать только в точках http://reshuege.ru/formula/a2/a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png и http://reshuege.ru/formula/f3/f37e32882c606521f8d0dd99fbce38be.png Если http://reshuege.ru/formula/94/94a100ea70392fbb0e482762611eec99.png http://reshuege.ru/formula/3a/3a31ead01a40c1c28ce1d6e9b6bab741.png — то еще и в точке http://reshuege.ru/formula/77/77ea4e9a164b7393b25e4e202db45e05.png

     

    3. Наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png больше -24 тогда и только тогда, когда либо

     

    http://reshuege.ru/formula/76/76989c69e7cf7a2a6848be1d7754a2e5.png

    либо

    http://reshuege.ru/formula/ea/ea65322ae59b15d8405637432f0040d1.png

    Решим первую систему:

     

     

    http://reshuege.ru/formula/c2/c20cc2ee4a2cdba1e3a819ee5719ba46.png http://reshuege.ru/formula/c7/c770eeb11bc40fd789600b6e83a87fb2.png

    Решим вторую систему:

     

     

    http://reshuege.ru/formula/d3/d3d679ece29151b8042afc6f8e8d230a.png

     

    http://reshuege.ru/formula/f2/f26f253128c61f470e77ff8ce524d3e3.png или http://reshuege.ru/formula/70/70b1658a41b4a98f27ab9e02a1aaccc6.png

     

     

                           Ответ: http://reshuege.ru/formula/83/83a2a3436caa0d6aaf27f890c6c6533c.png

    C 5 . Найдите все значения http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png , при каждом из которых наименьшее значение функции

    http://reshuege.ru/formula/0a/0aa45dce7d2f2517e29d2ced205f4d5a.png больше, чем http://reshuege.ru/formula/6c/6ccf8e1f5b78690e0915858735c388b5.png

                                                  Решение.

    1. Функция имеет вид:

    a) при http://reshuege.ru/formula/86/86c1e84bb4dd51e332381f6f923ceb1f.png

     

    http://reshuege.ru/formula/5a/5ab6eb00843c5468d27232b20c81396a.png

    а ее график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии http://reshuege.ru/formula/64/645fabb9de78b00b5b634984487eb788.png

    б) при http://reshuege.ru/formula/a6/a67ed1a5abf787dc8cf7ff857b165dcc.png

     

    http://reshuege.ru/formula/7d/7d99743d832cd7a90aff76c557668be9.png

     

    а её график представляет собой часть параболы с ветвями, направленными вниз.

     

    2. Если http://reshuege.ru/formula/b8/b8b66ab87e2f3c72481d32750970fb1f.png принадлежит отрезку http://reshuege.ru/formula/89/896ba8d6205adb6b0952def69fbaf72e.png то наименьшее значение функция может принимать

    только в точках http://reshuege.ru/formula/58/5870bb658ee9e8a6900c138365d64c80.png и http://reshuege.ru/formula/da/dad1533ece96bb22f10da231df9680a5.png Если http://reshuege.ru/formula/b8/b8b66ab87e2f3c72481d32750970fb1f.png http://reshuege.ru/formula/6c/6ccc963378c4ffbc9bbe074732358864.png — то еще и в точке http://reshuege.ru/formula/35/35d2ccea74f5eb8d5fe8d03944b0dfc0.png

     

    3. Наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png больше http://reshuege.ru/formula/8d/8dfcb89fd8620e3e7fb6a03a53f307dc.png тогда и только тогда, когда либо

     

     

    http://reshuege.ru/formula/d8/d8b589450b41b9c11df39a74535b0276.png

    либо

     

    http://reshuege.ru/formula/db/db35934a399745402fe37756865cf2ee.png

    Решим первую систему:

     

    http://reshuege.ru/formula/ad/ad7716274d07bd6fdfc206513a94a890.png http://reshuege.ru/formula/c7/c770eeb11bc40fd789600b6e83a87fb2.png

    Решим вторую систему:

     

    http://reshuege.ru/formula/b2/b2288d7481991865877d46c1dcb09f06.png

    http://reshuege.ru/formula/39/39e007479a24065df8400f411dcb6012.png или http://reshuege.ru/formula/5f/5f5a9d2a66adf398363d1a78dc6e9c6e.png

     

                                    Ответ: http://reshuege.ru/formula/e4/e4a75c382e24719ef9609a62294b25e6.png

    C 5 . Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/61/61e72d0f00eb35d5099088908e5df1d4.png на множестве http://reshuege.ru/formula/c9/c9ecf7d2790c4f47d52b544ffed6a325.png не менее 6.

                                                     Решение.

    Графиком функции http://reshuege.ru/formula/17/17c511f4fa2cc498945ef4320243f008.png является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты http://reshuege.ru/formula/5c/5ca70cd1037d9ce0c67673f4ac9ca52f.png. Значит, минимум функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png на всей числовой оси достигается при http://reshuege.ru/formula/68/68d85dc9bf426672c95429cb3fd0c92b.png.

    На множестве http://reshuege.ru/formula/c9/c9ecf7d2790c4f47d52b544ffed6a325.png эта функция достигает наименьшего значения либо в точке http://reshuege.ru/formula/68/68d85dc9bf426672c95429cb3fd0c92b.png, если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек http://reshuege.ru/formula/3b/3b8de766d75cf294b894f6db4211ecf0.png.

    Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

     

    http://reshuege.ru/formula/66/6628f258344e564552814e81e419722c.png

    http://reshuege.ru/formula/2d/2deb42e02b85e4b993661a1472c0f37a.png

    откуда получаем систему неравенств

     

    http://reshuege.ru/formula/4b/4b47da9520f0f4b6ed4d5d293188909c.png

    решениями которой являются http://reshuege.ru/formula/8e/8e9abde66a8be7533faf38962837b957.png.

    При http://reshuege.ru/formula/e2/e23484044cc8f6285ccb655df058dd02.png имеем: http://reshuege.ru/formula/05/052bc0c3df32cea7519df4ae45d3d8a8.png, значит наименьшее значение функции достигается в точке http://reshuege.ru/formula/68/68d85dc9bf426672c95429cb3fd0c92b.png

     и http://reshuege.ru/formula/5d/5d6e9a86a554cfc6732a82276aa9f1b3.png, что удовлетворяет условию задачи.

    При http://reshuege.ru/formula/de/ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png имеем: http://reshuege.ru/formula/7e/7ee7c3ca068c36c0277f77da56abf0c1.png, значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек http://reshuege.ru/formula/3b/3b8de766d75cf294b894f6db4211ecf0.png, в которых значение функции не меньше 6.

    При http://reshuege.ru/formula/e9/e9c9d103694401d9a629a614c3a88400.png имеем: http://reshuege.ru/formula/fb/fbe0f314012d0f4e19c301228d397d6f.png, значит, наименьшее значение функции достигается в точке http://reshuege.ru/formula/68/68d85dc9bf426672c95429cb3fd0c92b.png

     и http://reshuege.ru/formula/a5/a56316e8a10866aa38083ad124941aa4.png, что не удовлетворяет условию задачи.

     

                                             Ответ: http://reshuege.ru/formula/26/26d96f69d7a1eedb1f6e95f443513215.png.

    C 5. Найдите все значения http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png при каждом из которых наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/3e/3eca327569a9620367d55c441c87445e.png на множестве http://reshuege.ru/formula/3f/3f59efce5511233dbb25782acd685333.png не менее 6.

                                            Решение.

    Графиком функции http://reshuege.ru/formula/23/23cc4cc184381bb928298ddf71d08177.png является парабола, ветви которой направлены

    вверх, а вершина имеет координаты http://reshuege.ru/formula/8a/8a68a2ad0d61dca128db2a2dd31d2295.png Значит, минимум функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png на всей число

    вой оси достигается в вершине при 

    На множестве http://reshuege.ru/formula/3f/3f59efce5511233dbb25782acd685333.png эта функция достигает наименьшего значения либо в точке http://reshuege.ru/formula/21/21cc63dfc41d88668bb9320bd7775583.png если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек http://reshuege.ru/formula/ab/abb749f762501efa4689784239e61870.png

    Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

     

    http://reshuege.ru/formula/12/128074a4eb9ed08934fbe9aed8096baa.png

     

    http://reshuege.ru/formula/2d/2da833644a63fe0864e6aa097111ff40.png

    откуда получаем систему неравенств

     

    http://reshuege.ru/formula/99/99771c1f8b934852513d5369d5f98145.png

    решениями которой являются http://reshuege.ru/formula/c0/c023fb7139c6390d03795ae28a7de914.png

    При http://reshuege.ru/formula/31/3136b74db69af597fcbe904bbe596f0c.png имеем: http://reshuege.ru/formula/6d/6d51f75817db30f39829b693b88fa733.png, значит, наименьшее значение функции достигается в точке http://reshuege.ru/formula/9f/9f13e905e202d83e2ec7b4643e173e71.png

     и http://reshuege.ru/formula/d7/d7c27f6b7751ea3a94e702680a196415.png, что не удовлетворяет условию задачи.

    При http://reshuege.ru/formula/de/ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png имеем: http://reshuege.ru/formula/f1/f179cc43bed21c846d4d031b6c1ac24c.png значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек http://reshuege.ru/formula/fa/fa1983ce149d2b4d886619a596ffbd18.png в которых значение функции не меньше 6.

    При http://reshuege.ru/formula/8e/8ea17b7b12e4e66e0632b4730671e9f7.png имеем: http://reshuege.ru/formula/02/02adac030ebc683a98afed243978d89d.png значит, наименьшее значение функции достигается в точке http://reshuege.ru/formula/9f/9f13e905e202d83e2ec7b4643e173e71.png 

    и http://reshuege.ru/formula/f9/f992b9732f729ff8122f1556ff500cc9.png, что удовлетворяет условию задачи.

     

                                             Ответ: http://reshuege.ru/formula/df/dff72f9bc79091b63bff915b4b707537.png

    C 5 . Найдите все значения http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png, при каждом из которых неравенство

     

    http://reshuege.ru/formula/04/04698653e192ed1123b7dd78c01aaffc.png

    выполняется при всех http://reshuege.ru/formula/fd/fd3500a59568ee1c126a5e50c6bc8b91.png

                                  Решение.

    Поскольку http://reshuege.ru/formula/6d/6d0845f74b3e88c134274f2075831b76.png для всех значений http://reshuege.ru/formula/0e/0e503e6ba8df74a61723be29415bcdc5.png получаем:

    Решим полученное неравенство:

     

    http://reshuege.ru/formula/af/afc7643e19c272380782e7604e895a97.png

    Для того, чтобы любое значение http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

     

    http://reshuege.ru/formula/64/64ba11238be7fc1ebc7bc620271339af.png

                                Ответ: http://reshuege.ru/formula/76/76a86a2e507f09b31dcd4c99ecc3e863.png

    C 5 . Найдите все значения http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png, при каждом из которых неравенство

     

    http://reshuege.ru/formula/04/04698653e192ed1123b7dd78c01aaffc.png

    выполняется при всех http://reshuege.ru/formula/fd/fd3500a59568ee1c126a5e50c6bc8b91.png

                                          Решение.

    Поскольку http://reshuege.ru/formula/6d/6d0845f74b3e88c134274f2075831b76.png для всех значений http://reshuege.ru/formula/0e/0e503e6ba8df74a61723be29415bcdc5.png получаем:

     

    http://reshuege.ru/formula/a8/a81a38b534cf2efeac02cd76b47d825f.png

    Решим полученное неравенство:

     

    http://reshuege.ru/formula/af/afc7643e19c272380782e7604e895a97.png

    Для того, чтобы любое значение http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png удовлетворяло этой системе неравенств, нужно, чтобы каждое из неравенств системы было верным для любого значения http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png, то есть дискриминанты левых частей этих неравенств должны быть отрицательными:

     

    http://reshuege.ru/formula/64/64ba11238be7fc1ebc7bc620271339af.png

                                                            Ответ: http://reshuege.ru/formula/76/76a86a2e507f09b31dcd4c99ecc3e863.png

    C 5 . Найдите все значения http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png, при каждом из которых наименьшее значение функции

     

    http://reshuege.ru/formula/86/86cb7afdf06ec1bb2432749beea28431.png

    на множестве http://reshuege.ru/formula/3f/3f59efce5511233dbb25782acd685333.png не меньше 6.

                                             Решение.

    Графиком функции http://reshuege.ru/formula/ab/abc4cb1403fed843101ee3c45cde4d43.png является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина имеет координаты http://reshuege.ru/formula/57/577e185f7f42d357a237b73a4512ea64.png Значит, минимум функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png на всей числовой оси достигается при 

    На множестве http://reshuege.ru/formula/3f/3f59efce5511233dbb25782acd685333.png эта функция достигает наименьшего значения либо в точке http://reshuege.ru/formula/ac/ac5f0901f00baaeeebb6c7b323509104.png если эта точка принадлежит множеству, либо в одной из граничных точек http://reshuege.ru/formula/55/55254bb628f4c0769a48667dadebea38.png

    Если наименьшее значение функции не меньше 6, то и всякое значение функции не меньше 6. В частности,

     

    http://reshuege.ru/formula/0e/0eeb63dd37ce46327edf8e65592b16a2.png

     

    http://reshuege.ru/formula/07/07289da859dc1c6a9b6d84933f435ac5.png

    откуда получаем систему неравенств

     

    http://reshuege.ru/formula/cd/cdf2a05e4901f77855e1a27dd54dcafb.png

    .

    решениями которой являются http://reshuege.ru/formula/88/884cc19089496cedc985da8d8a74ac54.png

    При http://reshuege.ru/formula/31/3136b74db69af597fcbe904bbe596f0c.png имеем: http://reshuege.ru/formula/ff/ff9b08f71a34cff23bbaea58f46eb251.png значит, наименьшее значение функции достигается в точке http://reshuege.ru/formula/9f/9f13e905e202d83e2ec7b4643e173e71.png

     и http://reshuege.ru/formula/55/55ec8e3c81fc32ca2cdfd138a2d9dd99.png что не удовлетворяет условию задачи.

    При http://reshuege.ru/formula/7b/7bc35d81cadc0b8656640c98c9e29fd0.png имеем: http://reshuege.ru/formula/f1/f179cc43bed21c846d4d031b6c1ac24c.png значит, наименьшее значение функции достигается в одной из граничных точек http://reshuege.ru/formula/84/845549bdb37a1f9bd14adce358dc280c.png в которых значение функции не меньше 6.

    При http://reshuege.ru/formula/8e/8ea17b7b12e4e66e0632b4730671e9f7.png имеем: http://reshuege.ru/formula/02/02adac030ebc683a98afed243978d89d.png значит, наименьшее значение функции достигается в точке http://reshuege.ru/formula/9f/9f13e905e202d83e2ec7b4643e173e71.png

     и http://reshuege.ru/formula/82/829af5d4fb2fb3917267175d085cd0e0.pngчто удовлетворяет условию задачи.

                                                             Ответ: http://reshuege.ru/formula/35/358789a1550b1fa5d09283f1c1065770.png

    C 5 . Найдите все значения параметра http://reshuege.ru/formula/0c/0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png, при каждом из которых наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/f8/f84d8d40b870e0dd5ebdab137c081af4.png больше http://reshuege.ru/formula/1d/1d41e6f55521cdba4fc73febd09d2eb4.png

                                              Решение.

    1. Функция http://reshuege.ru/formula/8f/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png имеет вид:

    а) при http://reshuege.ru/formula/a1/a1d83d3f22e947b43c1575463b3cf94b.png а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии http://reshuege.ru/formula/49/49a48dc556b22b8e7a5e03cd4bdcf743.png

    б) при http://reshuege.ru/formula/9d/9da002eee848c4cb78ee1d388f4b29f7.png а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

     

    Все возможные виды графика функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png показаны на рисунках:

    http://reshuege.ru/get_file?id=6567

    http://reshuege.ru/get_file?id=6568

    2. Наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/50/50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png может принять только в точках http://reshuege.ru/formula/a2/a255512f9d61a6777bd5a304235bd26d.png или http://reshuege.ru/formula/9a/9a4540c5e070d085d799e52faf124375.png а если http://reshuege.ru/formula/87/87bddcd94cb939efb5ee2362d0d463d6.png то в точке http://reshuege.ru/formula/6f/6f7595444c7e866aa999d2b5c244f640.png

    3. Наименьшее значение функции http://reshuege.ru/formula/8f/8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.png больше 1 тогда и только тогда, когда

     

    http://reshuege.ru/formula/db/db9b755ad6c0e35251afdeac0267ec34.png

     

    http://reshuege.ru/formula/87/872f0241fa90465c697b9a2f167c5068.png

     

                                         Ответ: http://reshuege.ru/formula/26/26a9b3758a638eb6657171668765d870.png

    C 5 . Найдите все значения параметра http://reshuege.ru/formula/3d/3ded2184a3e467984dba5788f82cc430.png при каждом из которых на интервале http://reshuege.ru/formula/46/46588ca818ca11f6285202307b8bfec5.png существует

    хотя бы одно число http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.pngне удовлетворяющее неравенству http://reshuege.ru/formula/cb/cbfa77073ff6c249e8a9cf2262cfb1d5.png

                                           

                                                       Решение.

    Преобразуем неравенство:

     

     

                                                      http://reshuege.ru/formula/ab/ab880312db6ed226b023090b046b8d3f.png

     

     

    http://reshuege.ru/formula/62/62ba44dc8ef52620d0a43c9e7e1f6bfd.png

     

     

    http://reshuege.ru/formula/be/be4e032a4d6715ab342f058bd2a0ba51.png

                                                                  http://reshuege.ru/get_file?id=6840

    Неравенство http://reshuege.ru/formula/2c/2c99766f8ce2f04d0e21af6c6cf94200.png определяет на плоскости http://reshuege.ru/formula/70/700ddd4262c40d7429a992ce3b8aa860.png полосу, заключенную между прямыми http://reshuege.ru/formula/e1/e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png и http://reshuege.ru/formula/54/54d244f1d0fd2eaa82a2f1c074d2f6da.png Неравенство http://reshuege.ru/formula/1d/1d4d6bc310e1e4f2d75cbe562a9dc6b2.png задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.

     

     На рисунке видно, что на интервале http://reshuege.ru/formula/46/46588ca818ca11f6285202307b8bfec5.png есть http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png, не удовлетворяющие неравенству, только если 

     

                                            Ответ: http://reshuege.ru/formula/44/440a0b8ba6d19a4abc0b01edd9dbca02.png

     5 . Найдите все значения параметра http://reshuege.ru/formula/3d/3ded2184a3e467984dba5788f82cc430.png при каждом из которых на отрезке http://reshuege.ru/formula/b8/b8b4326ebb88870f8cc97ab3f59a0867.png существует хотя бы одно число http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png, удовлетворяющее неравенству http://reshuege.ru/formula/5c/5cd26572e178fa2f40abc96ad2498945.png

                                               

                                                    Решение.

    Преобразуем неравенство:

     

     

    http://reshuege.ru/formula/ab/abcb0c57bf19136ce09fee96f0591e44.png

     

     

    http://reshuege.ru/formula/11/11aa341ac502e318b2de9d3e66eb3a5a.png

     

                                                                  http://reshuege.ru/formula/16/161798739a85e5399262346caba4dd43.png

                                       

                                                         http://reshuege.ru/get_file?id=6844

    Неравенство http://reshuege.ru/formula/2c/2c99766f8ce2f04d0e21af6c6cf94200.png определяет на плоскости http://reshuege.ru/formula/70/700ddd4262c40d7429a992ce3b8aa860.png полосу, заключенную между прямы

    ми http://reshuege.ru/formula/e1/e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png и http://reshuege.ru/formula/54/54d244f1d0fd2eaa82a2f1c074d2f6da.png Неравенство http://reshuege.ru/formula/6c/6c7e6039a91e8b3d065c3c5194e8bd4f.png задаёт часть плоскости, ограниченную сверху параболой.

     

     

    На рисунке видно, что на интервале http://reshuege.ru/formula/b8/b8b4326ebb88870f8cc97ab3f59a0867.png есть http://reshuege.ru/formula/9d/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png, удовлетворяющие неравенству, только если http://reshuege.ru/formula/ed/ed1b48046c59ef0e3bb2cfd106c7a5f4.png

     

                                    Ответ: http://reshuege.ru/formula/de/de87421fed1c4b11efe68e0bb16c2990.png



    Предварительный просмотр:

                                                                      С-4

    C 4 В прямоугольнике http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png со сторонами http://reshuege.ru/formula/c3/c35e42752132cf7a443d853ea352cc3b.png и http://reshuege.ru/formula/80/80793ad7f49788cbf2d60ba3a70caa40.png на стороне http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png расположены точки http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png иhttp://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png таким образом, что http://reshuege.ru/formula/23/23316fd82ca4630dc1a60348b42ff680.png при этом http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png — точка пересечения прямых http://reshuege.ru/formula/fc/fc37fbde490e37c1258738a18b9aa4c7.png и http://reshuege.ru/formula/70/707354872d4e8210a2a573b99721b1fb.png. Площадь треугольника http://reshuege.ru/formula/b9/b9d2a4133c595f02b0ca277c3497e4a7.pngравна http://reshuege.ru/formula/c4/c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png. Найдите длину отрезка, соединяющего точки http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png и http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png.

                                                        Решение.

    В зависимости от порядка расположения точек http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png и http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png на http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png есть 2 случая:

     

    Случай первый. http://reshuege.ru/formula/a5/a5bd00868c3bf779cf3f48b31825f0bb.png, где http://reshuege.ru/formula/7b/7b9a1ae31d7be254c3c1554d5541a470.pnghttp://reshuege.ru/formula/02/029790afd6e8970146bdcf6966819946.png.

     

    Тогда http://reshuege.ru/formula/cb/cbedeef5ac6be9868a1530402647a33a.png.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1550

    Случай второй. http://reshuege.ru/formula/a5/a5bd00868c3bf779cf3f48b31825f0bb.png, где http://reshuege.ru/formula/75/75d628400e4fdb5f9c4c4c322a9f526b.pnghttp://reshuege.ru/formula/02/029790afd6e8970146bdcf6966819946.png.

     

    Тогда http://reshuege.ru/formula/74/74b9f3dd14ac82dd4c75c13c29a24305.png.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1552

               Ответ: 2 или 2,5.

    C 4  В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и Nтак, что http://reshuege.ru/formula/12/12520714c0bea042c49cf0efd5041968.png. Найдите BC если http://reshuege.ru/formula/2d/2d4c051086e3b9660c0d445731d7905f.png.

                               Решение.

    Пусть E — точка пересечения биссектрис, BM=xMN=y NC=z. Так как http://reshuege.ru/formula/1d/1ddffaa4743497fcbf1699ac05d67c1b.png, то точка M лежит между точками B и N возможны 2 случая.

     

    1. Точка E — внутри параллелограмма. Треугольники ABN и DMC равнобедренные, http://reshuege.ru/formula/7d/7d9fb3650a2707c79abf5ac963803035.png следовательно, http://reshuege.ru/formula/2a/2a50b59521fc926e5e9ced82cdd88f45.png, откуда, http://reshuege.ru/formula/de/de8c6b5c583a3e473d29c087fcbe525f.png.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1582

    2. Точка E — вне параллелограмма. Тогда http://reshuege.ru/formula/58/58fac0c9bf349efed6d9dc60d207eb38.png, откуда http://reshuege.ru/formula/14/1438ba73f6215efaf6ddd2eae54469a8.png.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1587

    Ответ: 16 или 48.

    C 4  Основание равнобедренного треугольника равно http://reshuege.ru/formula/94/94f0c4e42210fcbf4992009f62c3c3ce.png косинус угла при вершине равен http://reshuege.ru/formula/ea/ea8e142ce0cc29591726d65edaae9570.png Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

                                               

                                               Решение.

    Пусть вершины http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png и http://reshuege.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png прямоугольника http://reshuege.ru/formula/6f/6fb585055d26d304979faf8440885033.png лежат на основании http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png равнобедренного треугольника (точка http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png — между http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png и http://reshuege.ru/formula/d2/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png), а вершины http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png и http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png — на боковых сторонах http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png и http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png соответственно.

    Обозначим http://reshuege.ru/formula/4c/4c57c414cdd4cc7c3377fc7042237307.png

    Тогда http://reshuege.ru/formula/92/92f2e871cb96787814f32fee0ddcc5b4.png     

    Предположим, что сторона http://reshuege.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638f.png прямоугольника вдвое больше его стороны http://reshuege.ru/formula/aa/aa2b36dabd254260f584015a9e0c5c98.png Поло

    жим http://reshuege.ru/formula/86/862ec200e19e61865cf3e3d083ffb08b.png Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/cf/cfdf07b5f4edb0801204cce3892f5730.png находим, что http://reshuege.ru/formula/fc/fcbbb6d347cb308fad3f9f3a18c3376a.png 

    Тогда http://reshuege.ru/formula/49/49ad426516b4957738cf840ba349d3f1.png а так как http://reshuege.ru/formula/44/443496c4a5cfed564a542be3bbb34e9b.pngто http://reshuege.ru/formula/b3/b3648e046dd5b78e2abe5d38bd54b9c1.png

    Откуда http://reshuege.ru/formula/72/72d3d1b3d9e283d3d66aea309168ef3a.png Тогда http://reshuege.ru/formula/a3/a3154e0f7c35f5cfefa09f3dca8fdbf0.png

    Следовательно, http://reshuege.ru/formula/6c/6ca07874f9884194587d5c95bd70b2de.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1596

    Пусть теперь сторона http://reshuege.ru/formula/aa/aa2b36dabd254260f584015a9e0c5c98.png прямоугольника вдвое больше его стороны http://reshuege.ru/formula/45/45c91fd18f42506b20013996891fe6c6.png Положим http://reshuege.ru/formula/7d/7daa0f4d15ee00e8ca4dd9fdb6bfaf90.png Из прямоугольного треугольника находим, что http://reshuege.ru/formula/97/9747fe826f911bcb017a2a198eca3aa9.png. Тогда http://reshuege.ru/formula/f2/f2a9846c35fe0c61ce6477567dcd37c5.png а так как http://reshuege.ru/formula/bb/bb3f8c4c87812d72582a5671b0a42694.png то

     

    http://reshuege.ru/formula/3f/3faec59226847d26b86b61d2a336be6c.png

    откуда http://reshuege.ru/formula/12/128efc8ba014ef216c821666ecd7638a.png. Тогда http://reshuege.ru/formula/13/13f5954e9cd9039219fe637d6ab22a90.png Следовательно, http://reshuege.ru/formula/ee/ee741fc5282d604dc659df1841786f38.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1595

    Ответ: 512 или 800.

    C -4.  На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.

                         Решение.

                                                                   http://reshuege.ru/get_file?id=1625

    Пусть точки http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png и http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png лежат по одну сторону от прямой http://reshuege.ru/formula/41/4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png. Треугольник http://reshuege.ru/formula/a7/a771a5a37055ebcd81f69ccb77ac9a9b.png — равнобедрен

    ный http://reshuege.ru/formula/3c/3ceb4dc2287f13fdfb03d75d44be87d2.png, поэтому

     

    http://reshuege.ru/formula/4a/4aa70eb3ffc559e2626f73c0d1179011.png.

    Пусть http://reshuege.ru/formula/ff/ff7a7d0ea68cf95f3d4b14e3f2a30767.png — высота треугольника http://reshuege.ru/formula/a7/a771a5a37055ebcd81f69ccb77ac9a9b.png. Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/b5/b509760041ff834932d2500df46ffd88.pngнаходим, что

     

    Пусть теперь точки http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png и http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png лежат но разные стороны от прямой http://reshuege.ru/formula/41/4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png (рис. 2).

    Треугольник http://reshuege.ru/formula/a7/a771a5a37055ebcd81f69ccb77ac9a9b.png — равнобедренный http://reshuege.ru/formula/3c/3ceb4dc2287f13fdfb03d75d44be87d2.png, поэтому                                             http://reshuege.ru/get_file?id=1626

     

    http://reshuege.ru/formula/4c/4ca060b9e9cb6e1ff673c84366978263.png.

    Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/b5/b509760041ff834932d2500df46ffd88.png находим, что

     

    http://reshuege.ru/formula/f4/f422babaf7bc4b52b39897ea82864680.png.

                Ответ: http://reshuege.ru/formula/1e/1ea8b5dafcb373774114865a3b990ca3.png или http://reshuege.ru/formula/57/57025578a150a96c481012657978c3cc.png.

    Примечание.

    На наш взгляд, в ответе можно было оставить выражения http://reshuege.ru/formula/c1/c13668e4c7c746c003cdcecbf97ca1a7.png и http://reshuege.ru/formula/21/21383eb0eac9bf9fa3d985c3af4f8abf.png. Тем не менее, на примере вычисления значения http://reshuege.ru/formula/21/21383eb0eac9bf9fa3d985c3af4f8abf.png укажем два способа нахождения этих величин:

     

    http://reshuege.ru/formula/2e/2e2f3c13dba7fb968bd25c8278839b97.png

     

    или, используя формулу половинного угла:

     

    http://reshuege.ru/formula/bf/bfa5368ba5c51d76248b413fc0008b84.png.

     

    Заметим, кстати, что одно из возможных доказательств равенства полученных выражения сводится к выделению полного квадрата из-под знака корня:

     

    http://reshuege.ru/formula/d7/d7334f2ef6c7a226fdd596d2c23cdcbc.png

     

     C 4   На прямой, содержащей медиану http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png с прямым углом http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png, взята точка http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png, удаленная от вершины http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника http://reshuege.ru/formula/42/42451d370b188bc4ed2a312be0bd3c49.png, если http://reshuege.ru/formula/e6/e6c50d2f3b61d0165c173df194e858c6.pnghttp://reshuege.ru/formula/24/24b8e7358e876badcba4c52b065ee416.png.

                                        Решение.

                                                              http://reshuege.ru/get_file?id=4626

    По теореме Пифагора http://reshuege.ru/formula/99/9968baa623c8f66563d5fbbf55ee4eb3.png. Тогда http://reshuege.ru/formula/50/5025b1c988fe041e49cdee043d6b93d9.png.

     

    Пусть точка http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png лежит на луче http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png. Медиана http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png длиннее http://reshuege.ru/formula/ea/ea8a1a99f6c94c275a58dcd78f418c1f.png, и точка http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png лежит внутри треугольника http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png.

     

    Опустим из точки http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png перпендикуляр http://reshuege.ru/formula/2c/2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png на прямую http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png и рассмотрим подобные прямоугольные треугольники http://reshuege.ru/formula/82/822dd494b3e14a82aa76bd455e6b6f4b.png и http://reshuege.ru/formula/52/52a8b954485e8bf8ebe32865d17563a6.png. Из подобия треугольников находим:

     

     

    http://reshuege.ru/formula/38/38db9c6ffe3e4e0f925b1723727dcfdf.png

                                             http://reshuege.ru/get_file?id=4627

    Следовательно, http://reshuege.ru/formula/06/06d866d085506d202401c0d6012fb3a5.png.

     

    Пусть теперь точка http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png лежит между http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png и http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png. В этом случае http://reshuege.ru/formula/68/68b581602a9b3e133aa7705f974ec0b4.png и http://reshuege.ru/formula/59/5980ce6af84cf6ddfe3a01628c60a262.png. Тогда http://reshuege.ru/formula/33/33d6aae0a7fd6809df6fe10949336208.png.

     

                           Ответ: 2,4; 21,6.

    C 4.  Расстояния от точки http://reshuege.ru/formula/fa/fab9008ec85fe816503590b7f640c41b.png расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 3 и 6. Через точку http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.

                                                      Решение.

    Пусть http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png — вершина данного угла, http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png и http://reshuege.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png — проекции точки http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png на стороны угла, http://reshuege.ru/formula/9b/9b7cc66056dddbde1af9c0e15b80ce1f.png http://reshuege.ru/formula/6e/6e8666e8bcf129353ba761ba37ef8349.png и http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png — точки, в которых прямая, проходящая через точку http://reshuege.ru/formula/fa/fab9008ec85fe816503590b7f640c41b.png пересекает стороны соответственно http://reshuege.ru/formula/74/7457cdd15d09bfc6c4dbb5d2b6f87390.png и http://reshuege.ru/formula/16/167a3b2baacd621cc223e2793b3fa9d2.png данного прямого угла.

    Обозначим http://reshuege.ru/formula/9c/9cdbf1386f5be4d39b54f6e797394a45.png Тогда http://reshuege.ru/formula/59/59728589f4c6d9002ba8f3cbea5ac0db.png

                                                         

                                                                               http://reshuege.ru/get_file?id=7008

    С другой стороны,

     

    http://reshuege.ru/formula/63/63e46f2779f9ef856b855f8ed3105439.png

    Из системы уравнений

     

    http://reshuege.ru/formula/41/417c6b7c3d58ce9e56fe5fcfd2dc898d.png

    Находим, что http://reshuege.ru/formula/66/66338e5a034b54b4b34f19cb62eab7e9.png или http://reshuege.ru/formula/f1/f1fc30da8024c38416592c4520941075.png Следовательно,

     

    http://reshuege.ru/formula/62/629139cd16f76fc6e5372e0cb5cdca20.png

    или

     

    http://reshuege.ru/formula/60/60e9931f978435d1f8e051f09559c28d.png

                                 Ответ: http://reshuege.ru/formula/d4/d40a1bb04e22088172012d3395716b70.png

    C 4 .  Из вершин острых углов B и C треугольника ABC проведены две его высоты ― BM и CN, причем прямые BM и CN пересекаются в точке H. Найдите угол BHC, если известно, что http://reshuege.ru/formula/47/473c37ebbae25a213ff91c729d450146.png

                                           Решение.

                                                http://reshuege.ru/get_file?id=7337

    Случай 1. Угол A ― острый (см. рисунок 1).

     

    Имеем: http://reshuege.ru/formula/10/10bd248d843eea5c0889fa7d6f0f2fd0.png откуда

    http://reshuege.ru/formula/23/23e6464bf8e9e6026ee9f498a8a01b46.png Далее находим:

    а) из прямоугольного треугольника ABMhttp://reshuege.ru/formula/3b/3b60c371ae397c2518cb7a6dbabffd75.png

    б) из четырехугольника AMHNhttp://reshuege.ru/formula/b1/b18052f454c5b7e1061218d7e59af710.png

     

     

     

                                       http://reshuege.ru/get_file?id=7336

    Случай 2. Угол A ― тупой (см. рисунок 2).

     

    Аналогично случаю 1 имеем:

     

    а) http://reshuege.ru/formula/91/914ca1e1a1a508a3b327e83d07648f89.png

    б) http://reshuege.ru/formula/87/87bb1c07162a7424d6761bd81e688806.png

    в) http://reshuege.ru/formula/bd/bdad953dbb279798a2044f296be12071.png

                                                        Ответhttp://reshuege.ru/formula/b2/b250961396ab8c0801d96b5a60291d53.png или http://reshuege.ru/formula/ba/ba3c9485b7476c49fe7bea02e57bf0db.png

      C 4 . Дан треугольник АВС. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ, площадь которого равна 14, ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что http://reshuege.ru/formula/96/96b69fce6f978d4c6e5428753e36f0a0.png и http://reshuege.ru/formula/8f/8fc64b9b4450e038aa5c26a6d2d58f19.png.

                                               Решение.

    Введем следующие обозначения: http://reshuege.ru/formula/90/909ad7a773c0fca7aa9009e2598c3944.pnghttp://reshuege.ru/formula/83/83f7a977ac2f3d354444d4b444caed2e.pnghttp://reshuege.ru/formula/24/24055197cfc56eccf5ea588a09c0c613.png.

     

                                                        http://reshuege.ru/get_file?id=3463

    1 случай (точка E лежит между точками A и С, см. рис. 1).

     

    1. Треугольник АВЕ ― равнобедренный, поэтому http://reshuege.ru/formula/04/0440cb7f442436c9c6795a8dfe274a80.png, а значит, http://reshuege.ru/formula/0c/0c33da0914e221a2b1f6e8c506141041.png.

     

    2. Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны. Следовательно,

     

    http://reshuege.ru/formula/f3/f3418e1309b6435b0cd634c265da1400.png,

    откуда

     

    http://reshuege.ru/formula/7b/7b0f55ae30e157689651ab9648fe18fb.png http://reshuege.ru/formula/82/82fcd893e5442faf9a50a0f2a1dc50bf.png.

     

    3. Поскольку

     

    http://reshuege.ru/formula/38/383f9ccc3a635f8453abaa44ae502d3b.png,

     

    получаем:

     

    http://reshuege.ru/formula/7b/7b0f55ae30e157689651ab9648fe18fb.png http://reshuege.ru/formula/55/556d3894a262d8e3534cc235e8fb6de8.png.

     

    4. Окончательно находим:

     

    http://reshuege.ru/formula/b0/b0d061dd08a002a8d91587e951d777ca.png.

     

     

                                                              http://reshuege.ru/get_file?id=3464

    2 случай (точка A лежит между точками E и С (см. рис. 2).

     

    Аналогично случаю 1 находим

     

    http://reshuege.ru/formula/44/44033d97f4084422fbece72d045863ae.png http://reshuege.ru/formula/f0/f0c6814081ed8037647a9eaab5fcb580.png http://reshuege.ru/formula/ae/ae5c1981dd016550e32b824923aea432.png http://reshuege.ru/formula/79/793ceccb2050800df7d64cf0fdc4a59b.png.

     

     

    Ответ: 25 или 39.

    C 4 . Площадь трапеции http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png равна 810. Диагонали пересекаются в точке http://reshuege.ru/formula/5f/5f4238afbd8792f5826e919e4ef8e1bd.png Отрезки, соединяющие середину http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png основания http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png с вершинами http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png и http://reshuege.ru/formula/b8/b89e5a133abfb103cd888ed2cad06dc5.png пересекаются с диагоналями трапеции в точках http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.pngи http://reshuege.ru/formula/2c/2c45f80c650c95d1b2dc2b9115fe543b.png Найдите площадь треугольника http://reshuege.ru/formula/cc/cc7dbec560f89c57fa7e82a9d2dfa016.png если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

                                                     Решение.

                             http://reshuege.ru/get_file?id=2712

    Пусть http://reshuege.ru/formula/13/139db80006869fef54fe324c0eeefa24.png (рис. 1). Четырехугольники http://reshuege.ru/formula/ee/eed591327569f1e8584911bb3b5801fc.png и http://reshuege.ru/formula/62/62deb26a0834de35223b910eba09af5c.png — параллелограммы, поэтому http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.pngи http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png— середины http://reshuege.ru/formula/96/96d4cdff8ed57e93e3b3d843cffe3af7.pngи http://reshuege.ru/formula/ea/ea93922fb145aa51410ba77e8fb16788.png значит, http://reshuege.ru/formula/70/707354872d4e8210a2a573b99721b1fb.png и http://reshuege.ru/formula/fc/fc37fbde490e37c1258738a18b9aa4c7.png — медианы треугольника http://reshuege.ru/formula/01/01cbf73604f37c6a60caaed79353abbc.png Пусть http://reshuege.ru/formula/25/2510c39011c5be704182423e3a695e91.png — высота трапеции. Положим http://reshuege.ru/formula/70/70d8f9fa61cdb813bf7c0969fe299182.png Тогда

     

     

    http://reshuege.ru/formula/fc/fc64c6304bb57386da994c3857975855.png

    а http://reshuege.ru/formula/07/07e3dd65ce8c56edb5e2a8fd40981d16.png т. к. http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png — точка пересечения медиан треугольника http://reshuege.ru/formula/ce/ceb9c6d889d173dfc290d288f0f3e3f9.png поэтому

     

     

    http://reshuege.ru/formula/81/81b3dd9f9b5a777801de08cff8d8e3ce.png

     

    Аналогично, http://reshuege.ru/formula/ff/ffa26fa32d1c830cc52decfae1848cd2.png значит, треугольник http://reshuege.ru/formula/b8/b8a17e8439000d1794cd35a7793e0824.png подобен треугольнику http://reshuege.ru/formula/51/5156155c837896ea6f477674f0d26e23.png с коэффициентом http://reshuege.ru/formula/70/70ed374872bf9487f14139fd6da9e84b.png Заметим, что поскольку треугольники AOD и BOC подобны с коэффициентом 2, высота треугольника AOD вдвое больше высоты треугольника BOC и составляет две трети высоты трапеции. Имеем:

     

     

    http://reshuege.ru/formula/4e/4e948db356a91b275cfd999682f19a42.png

                                         http://reshuege.ru/get_file?id=2713

    Рассмотрим случай, когда http://reshuege.ru/formula/20/206f512a39832b0fd81156be081d4d97.png (рис. 2) Пусть http://reshuege.ru/formula/25/2510c39011c5be704182423e3a695e91.png — высота трапеции. Положим http://reshuege.ru/formula/3e/3e6ce5f5b9d9f2c247c73025cdef920c.png Тогда http://reshuege.ru/formula/4d/4d623c3e15f6cc56d02f81f57f7c33d2.png

     

    Треугольник http://reshuege.ru/formula/51/5156155c837896ea6f477674f0d26e23.png подобен треугольнику http://reshuege.ru/formula/b3/b3682f5721419442850f1e969f9f0a63.png с коэффициентом http://reshuege.ru/formula/93/93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png, а треугольник http://reshuege.ru/formula/9c/9c37cba6d8907746452b1fb10c11ab1b.png – треугольнику http://reshuege.ru/formula/ff/ff551277b7714e6052e5b2d5c6851117.png с коэффициентом http://reshuege.ru/formula/bc/bc0eeb3762c3b29cbde940bb34b854bd.png Тогда

     

     

    http://reshuege.ru/formula/00/00c000f19093ecf2e7c3d1a4b9fa2559.png

     

    значит, http://reshuege.ru/formula/67/67ecf2de049005d7eb59ea20e8de4bf1.png Аналогично, http://reshuege.ru/formula/d2/d2c9c8b6d264262330c6d7c485b002e4.png Следовательно,

     

     

    http://reshuege.ru/formula/a2/a29fbec6cf341ce3419ed5b8a33a9d65.png

     

                                                   Ответ: http://reshuege.ru/formula/d2/d2b9843c7373427c8e768d95a8cad430.png или http://reshuege.ru/formula/5d/5d091977c0eca7dfacb3ecb807179626.png

    С-4. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и Nтак, что http://reshuege.ru/formula/12/12520714c0bea042c49cf0efd5041968.png. Найдите BC если http://reshuege.ru/formula/2d/2d4c051086e3b9660c0d445731d7905f.png.

                                                          Решение.

    Пусть E — точка пересечения биссектрис, BM=xMN=y NC=z. Так как http://reshuege.ru/formula/1d/1ddffaa4743497fcbf1699ac05d67c1b.png, то точка M лежит между точками B и N возможны 2 случая.

     

    1. Точка E — внутри параллелограмма. Треугольники ABN и DMC равнобедренные, http://reshuege.ru/formula/7d/7d9fb3650a2707c79abf5ac963803035.png следовательно, http://reshuege.ru/formula/2a/2a50b59521fc926e5e9ced82cdd88f45.png, откуда, http://reshuege.ru/formula/de/de8c6b5c583a3e473d29c087fcbe525f.png.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1582

    2. Точка E — вне параллелограмма. Тогда http://reshuege.ru/formula/58/58fac0c9bf349efed6d9dc60d207eb38.png, откуда http://reshuege.ru/formula/14/1438ba73f6215efaf6ddd2eae54469a8.png.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1587

    Ответ: 16 или 48.

     C 4  На прямой, содержащей медиану http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png с прямым углом http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png, взята точка http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png, удаленная от вершины http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника http://reshuege.ru/formula/42/42451d370b188bc4ed2a312be0bd3c49.png, если http://reshuege.ru/formula/e6/e6c50d2f3b61d0165c173df194e858c6.pnghttp://reshuege.ru/formula/24/24b8e7358e876badcba4c52b065ee416.png.

                                        Решение.

                                                            http://reshuege.ru/get_file?id=4626

    По теореме Пифагора http://reshuege.ru/formula/99/9968baa623c8f66563d5fbbf55ee4eb3.png. Тогда http://reshuege.ru/formula/50/5025b1c988fe041e49cdee043d6b93d9.png.

     

    Пусть точка http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png лежит на луче http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png. Медиана http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png длиннее http://reshuege.ru/formula/ea/ea8a1a99f6c94c275a58dcd78f418c1f.png, и точка http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png лежит внутри треугольника http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png.

     

    Опустим из точки http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png перпендикуляр http://reshuege.ru/formula/2c/2c9b682412689d6723e3b31653b5774c.png на прямую http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png и рассмотрим подобные прямоугольные треугольники http://reshuege.ru/formula/82/822dd494b3e14a82aa76bd455e6b6f4b.png и http://reshuege.ru/formula/52/52a8b954485e8bf8ebe32865d17563a6.png. Из подобия треугольников находим:

     

     

    http://reshuege.ru/formula/38/38db9c6ffe3e4e0f925b1723727dcfdf.png

                                                                    http://reshuege.ru/get_file?id=4627

    Следовательно, http://reshuege.ru/formula/06/06d866d085506d202401c0d6012fb3a5.png.

     

    Пусть теперь точка http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png лежит между http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png и http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png. В этом случае http://reshuege.ru/formula/68/68b581602a9b3e133aa7705f974ec0b4.png и http://reshuege.ru/formula/59/5980ce6af84cf6ddfe3a01628c60a262.png.

    Тогда http://reshuege.ru/formula/33/33d6aae0a7fd6809df6fe10949336208.png.

     

                                                    Ответ: 2,4; 21,6.

     



    Предварительный просмотр:

                                             С-4.    Окружность и треугольники.

    C 4  В треугольнике http://reshuege.ru/formula/5d/5d5b1eb9f1c9d513435d53987d994855.png Точка D лежит на прямой BC причем http://reshuege.ru/formula/11/11d4daadd86c4a079f05a2be90645a04.png. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB касаются стороны AD в точках E иF. Найдите длину отрезка EF.

     

                                                     Решение.

    Пусть http://reshuege.ru/formula/32/322e52e3ae96679a56ba973246cd1a73.pnghttp://reshuege.ru/formula/45/457ac206684322f19dd55a94a857b35f.pnghttp://reshuege.ru/formula/65/6527957470b96fac39119c39c0c96c23.png. Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников

     

    http://reshuege.ru/formula/bc/bcd1af50b82c4de727cce73c35016079.png

    Откуда получаем: http://reshuege.ru/formula/f0/f05e163574d697235ade812a73d24a49.png Аналогично, http://reshuege.ru/formula/c9/c9c83823474d1a02393b84ea511d2952.png

    Тогда http://reshuege.ru/formula/52/5213620d58efc806a6fda8a0a0c54d8e.png

    Возможны два случая:

    1. Точка http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png лежит на отрезке http://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646f.png Тогда http://reshuege.ru/formula/0d/0df2a24424d0564c83bbc0480fa71451.png значит http://reshuege.ru/formula/15/1507830caaffeefa06c8c2e44e322882.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1570

    2. Точка D лежит вне отрезка http://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646f.png Тогда http://reshuege.ru/formula/ea/eaa6c783fdd09521dbeb2031e08665c9.png значит http://reshuege.ru/formula/cf/cf344f5152ae3aa249320802ff889fa7.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1571

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/ca/ca957a986c01641bda28980c24a58a13.png или http://reshuege.ru/formula/18/18fdbd6f6758a6398e27ed3ec6d3145a.png

    C 4  В треугольнике http://reshuege.ru/formula/85/855dca7658d52534235524020c281de0.png Точка http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png лежит на прямой http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png причем http://reshuege.ru/formula/42/42beaffb5e2687dcfa3000baf144abd4.png Окружности, вписанные в треугольники http://reshuege.ru/formula/72/72c1bba79e6502c017bd14bc00a68491.png и http://reshuege.ru/formula/11/1180214aaa473661d2ded5bf02abc75b.png касаются стороны http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png в точках http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png и http://reshuege.ru/formula/e3/e347164d8cc774b623f63491e4f16ebf.png Найдите длину отрезка http://reshuege.ru/formula/5b/5b048bf2b97861705a632299ec97b7d5.png

                                                    Решение.

    Пусть http://reshuege.ru/formula/08/089b5d5ccb550090aaeedf16fc59e14f.png Используя свойства касательных, подсчитаем разными способами периметры треугольников

     

    http://reshuege.ru/formula/a0/a0d2c644bba65ab45f1d923de41e0d62.png

    Откуда получаем: http://reshuege.ru/formula/23/23145024ad863aecf527622a67f53d2a.png Аналогично, http://reshuege.ru/formula/cc/cc96c5e8ebf21ee5997e2cb5f2912c13.png

    Тогда http://reshuege.ru/formula/79/7963fe179e8bd236d6c2ab636e88b476.png

    Возможны два случая:

    1. Точка http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png лежит на отрезке http://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646f.png Тогда http://reshuege.ru/formula/27/27c6a6a47fb6a3398168bdc70d7d2b8c.png значит, http://reshuege.ru/formula/78/78b583d0f35be76e712bd1f6483085a6.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1570

    2. Точка http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png лежит вне отрезка http://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646f.png Тогда http://reshuege.ru/formula/e1/e12a63260f2c8521d4b9f638ba48f676.png значит, http://reshuege.ru/formula/50/50320877d95f278fdfcd507b51873e96.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1571

    Ответ: 4,5 или 6.

     

    C-4.  Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, равна 9, а радиус вписанной в треугольник окружности равен 4. Найдите радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжении двух его сторон.

                                                            Решение.

    Пусть http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png — высота равнобедренного треугольника http://reshuege.ru/formula/14/14b1ad51ec1c47b47bee445bd306a51b.png опущенная на его основание http://reshuege.ru/formula/9c/9ce0f9c74bf61a9eee299747e44fc28f.png — центр вписанной окружности, http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png — точка ее касания с боковой стороной http://reshuege.ru/formula/0c/0c6ed112a9eb109891082295b6e83622.png

    Тогда

     

    http://reshuege.ru/formula/91/91d166ce340494e4bbd8ece5b114a9e6.png

    Обозначим http://reshuege.ru/formula/51/51c26105a204dfaee78e8496853caeec.png Из прямоугольного треугольника находим, что http://reshuege.ru/formula/13/13a0fbc3572eaf5ea4721b907d78c1ad.png

    Тогда http://reshuege.ru/formula/ef/ef46c4f64e2103cfe020a3cff994b65a.png

    Пусть окружность с центром http://reshuege.ru/formula/31/31b6eb924de49df799c3016cfea5a36b.png и радиусом http://reshuege.ru/formula/ba/baf606802b02a2603db47ea634c06429.png касается продолжения боковых сторон http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png и http://reshuege.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png в точках http://reshuege.ru/formula/80/800618943025315f869e4e1f09471012.png и http://reshuege.ru/formula/df/dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png соответственно, а также основания http://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646f.png Тогда http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png — точка касания, поэтому

     

    http://reshuege.ru/formula/3b/3bcbab254db3321ea1723836065425c0.png

    Следовательно, http://reshuege.ru/formula/41/418e87c4e23f85cda66ce86feed784cc.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1605

    Пусть теперь окружность с центром http://reshuege.ru/formula/49/49e4fe93c55ea5f2b7bf970512cbc408.png радиуса http://reshuege.ru/formula/99/9968fc4470c99482a3c991158a8e9448.png касается боковой стороны http://reshuege.ru/formula/0e/0ece6084c14c4498d927715935731914.png продолжения основания http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png в точке http://reshuege.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png и продолжения боковой стороны http://reshuege.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png в точке http://reshuege.ru/formula/57/57fbc7ee0cc06365d39eabde4079c0ef.png Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому http://reshuege.ru/formula/47/473161f2a895a4359ebfcec50f5243f8.png и http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png — биссектрисы смежных углов http://reshuege.ru/formula/30/303b1c69d70d75ee14d0c7a4454c9396.png и http://reshuege.ru/formula/ac/ac4a6b385d74792d45100caab953c132.png значит, http://reshuege.ru/formula/11/114872ea7dbab3b07985dab7df06323b.png. Тогда http://reshuege.ru/formula/db/dbd31028acd18ff6088d6ed14fcb02eb.png — прямоугольник. Следовательно, http://reshuege.ru/formula/04/04e2938cf5fe398ce85633007b9df9f1.png. Радиус окружности, касающейся боковой стороны http://reshuege.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png и продолжений основания http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png и боковой стороны http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png также равен 9.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1606

                 Ответ: 9 или 36.

    C 4  Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок прямой, заключённый внутри треугольника, равен http://reshuege.ru/formula/16/1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png, а отношение боковой стороны треугольника к его основанию равно http://reshuege.ru/formula/a0/a08f6fd5ee7f72ac3ffbec2809ed9df9.png.

                                                        Решение.

    Обозначим данный треугольник http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.pnghttp://reshuege.ru/formula/26/269be8d75c78a2e96ccaa6157aa109f9.png — основание, http://reshuege.ru/formula/70/702879e428b3138e4191bdfe315530b7.png. Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник http://reshuege.ru/formula/4b/4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61feb.png Пусть http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png — её центр, а http://reshuege.ru/formula/3a/3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png — точка касания с основанием http://reshuege.ru/formula/90/90b425c2898f0ee7d2629aad1e09646f.png

    Обозначим http://reshuege.ru/formula/5c/5cfabc240fdd2396223a35bb67b90c97.png

    Так как http://reshuege.ru/formula/7b/7b60a39fc2a49bbac1b3426abb5ada4b.png — биссектриса треугольника http://reshuege.ru/formula/90/903313b86cfb89682d191d1a6469e398.png, то http://reshuege.ru/formula/13/135bc31a6b87870a7f6f3e6224fd4858.png следовательно, http://reshuege.ru/formula/45/451bf8960f1d05cced8c088cad44204e.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1634

     

    Первый случай. Пусть прямая http://reshuege.ru/formula/94/943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png перпендикулярная http://reshuege.ru/formula/0e/0ece6084c14c4498d927715935731914.png касается окружности, пересекает http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png в точке http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png, а http://reshuege.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png в точке http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png (рис. 1). Тогда http://reshuege.ru/formula/72/721dc2615f3f8dc728ce11eac8906f26.png

    http://reshuege.ru/formula/92/92f99c72a83e5e98e4b9fbeaab376510.png

    В треугольнике http://reshuege.ru/formula/88/8818c923c16a17fb5da4e07a809b8d87.png имеем http://reshuege.ru/formula/01/0131e921ce88523170c0e58f8b112508.png

    У описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны:

     

    http://reshuege.ru/formula/f9/f95107c0326858d622a6f448815a6557.png

    откуда находим: http://reshuege.ru/formula/c3/c3180a08b15293579e0dd382a54e9baa.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1635

     

    Второй случай.Пусть прямая http://reshuege.ru/formula/94/943afaf25ac17fe7bc39fdaae916e3a4.png перпендикулярная http://reshuege.ru/formula/0e/0ece6084c14c4498d927715935731914.png касается окружности, пересекает http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png в точке http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png, а http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png в точке http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png (рис. 2). В прямоугольном треугольнике http://reshuege.ru/formula/bb/bb89d026953a95b644b55689ccabee5e.png 

    имеем http://reshuege.ru/formula/78/78a5cb3d24dd530ac70e7255aad857a4.png

    У описанного четырёхугольника http://reshuege.ru/formula/e6/e620e988ce9352d63b3c5fd2930059fe.png суммы противоположных сторон равны:

     

    http://reshuege.ru/formula/95/958ba7989bc8cdd6fccdf0f6da3ecb1a.pnghttp://reshuege.ru/formula/40/40245dcf47bea219a096160c6202ebf6.png

    откуда находим: http://reshuege.ru/formula/26/26b3a0c2a89f477573b2feb2b47c070f.png

     

                            Ответ: http://reshuege.ru/formula/fe/fe6726f46f877a9be45ab402ebb5889b.png или http://reshuege.ru/formula/01/01fe38bc26d95ab9a4063e310d02b825.png.

    C 4 Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен http://reshuege.ru/formula/46/463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png.

                                                          Решение.

     Обозначим данный треугольник ABChttp://reshuege.ru/formula/5f/5f1cf61758cb4e24b8136787fe2b13cd.pnghttp://reshuege.ru/formula/b7/b7b058b4d3b0d18c5d298c2cb715266f.png, — гипотенуза, http://reshuege.ru/formula/8e/8ef9afd4c61fd9b990a200187a89c12b.png

     http://reshuege.ru/formula/1a/1a23349a909e13e30aea22f917391453.png. Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник ABC. Пусть О — её центр, а D иЕ — точки касания с катетами АС и ВС соответственно. Тогда, так как ODCE — квадрат, радиус этой окружности

     

    http://reshuege.ru/formula/b1/b1c14811cb01bd355543a23bcf630399.png.

    Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а АС в точке N (рис. 1). Прямоугольный треугольник ANM подобен треугольнику ABC. В нём http://reshuege.ru/formula/01/01db08f83669618cebc29bb42143750f.pnghttp://reshuege.ru/formula/a6/a69beb431a291104b2a5686cd07dc59f.pnghttp://reshuege.ru/formula/34/34b44ee8b78b31cb729e36385bae6dc3.png.

     

    У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:

     

    http://reshuege.ru/formula/ef/efd164efb76eb4b7d16212d94f2baf98.pnghttp://reshuege.ru/formula/83/83df49aadfdd40fdc0a152921dcd238e.png, откуда находим: http://reshuege.ru/formula/11/115f56d072ef0db3cfb4fddc6f534e13.png.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1636

    Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а ВС в точке N (рис. 2). Прямоугольный треугольник NBM подобен треугольнику ABC. В нём http://reshuege.ru/formula/01/01db08f83669618cebc29bb42143750f.pnghttp://reshuege.ru/formula/56/569a889c48a577a38efbac0224a23cfa.pnghttp://reshuege.ru/formula/bb/bb619318d1b620285767115f444ffe7f.png. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:

     

    http://reshuege.ru/formula/95/958ba7989bc8cdd6fccdf0f6da3ecb1a.pnghttp://reshuege.ru/formula/85/85b39fe8378df82c0a58027a1f7635eb.png,   откуда находим: http://reshuege.ru/formula/02/02fa9b11ec99323b86aeb27d72edb1ee.png.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1637

    Ответ: 8 или 9.

     

    C -4. Точка M лежит на отрезке AB. На окружности с диаметром AB взята точка C, удаленная от точекA, M и B на расстояния 20, 14 и 15 соответственно. Найдите площадь треугольника BMC.

                                                              Решение.

                                                            http://reshuege.ru/get_file?id=2990

    Точка http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png лежит на окружности с диаметром http://reshuege.ru/formula/0e/0ece6084c14c4498d927715935731914.png поэтому http://reshuege.ru/formula/53/531bf13fa919f353ab385c07e6c41347.png По теореме Пифагора

     

    http://reshuege.ru/formula/3c/3cad9ea805395f2a52d2239e51f49634.png

    Пусть http://reshuege.ru/formula/41/4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png — высота треугольника http://reshuege.ru/formula/4b/4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61feb.png Тогда:

     

    http://reshuege.ru/formula/db/db3ffb9f88683fbda158ae859fea3b4e.png.

     

    Отсюда

    http://reshuege.ru/formula/e4/e40b17191d8979ad4fc9e3abb3f22ac5.png

     

    Из прямоугольного треугольника находим:

     

    http://reshuege.ru/formula/e0/e0d7d4b215e2dd70cb30c616709e29ce.png

    Если точка http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png лежит между точками http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png и http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png, то http://reshuege.ru/formula/9d/9d31aa47850b3971d02ba9d93c2e1dd0.png

    Следовательно,

     

    http://reshuege.ru/formula/e1/e1c87fc3f388dae2ad38ffc17929afee.png

                                                                http://reshuege.ru/get_file?id=2991

    Если точка http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png лежит между http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png и http://reshuege.ru/formula/e1/e14181e6d130ce861cf7b8fd3c47e695.png то http://reshuege.ru/formula/41/41ea8b858e6552e8287bbd0f2fb541c6.png  Следовательно,

    http://reshuege.ru/formula/7b/7b4ec92e0b0ea9bad8f9c794e90e2d74.png

     

                             Ответ: http://reshuege.ru/formula/7f/7f904d3ff6920e6d25b1b3565b2666c2.png

    C -4.  Точка http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png лежит на отрезке http://reshuege.ru/formula/0c/0c6ed112a9eb109891082295b6e83622.png На окружности с диаметром http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png взята точка http://reshuege.ru/formula/b8/b89e5a133abfb103cd888ed2cad06dc5.png удаленная от точекhttp://reshuege.ru/formula/46/4675773653557201b63811ae89973c60.png http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png и http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png на расстояния 40, 29 и 30 соответственно. Найдите площадь треугольника http://reshuege.ru/formula/c3/c35d74f509577c810b253b17d41bc769.png

                                                         Решение.

                                                     http://reshuege.ru/get_file?id=2995

    Точка http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png лежит на окружности с диаметром http://reshuege.ru/formula/0e/0ece6084c14c4498d927715935731914.png поэтому http://reshuege.ru/formula/7c/7c24c04d957b4d71ce1e389be0d5ae8c.png

    По теореме Пифагораhttp://reshuege.ru/formula/d8/d82740a4d321fb42305151a3ad4ebe12.png Пусть http://reshuege.ru/formula/41/4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png — высота треугольника http://reshuege.ru/formula/4b/4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61feb.png Тогда:

     

    http://reshuege.ru/formula/5a/5a25c6efe01142957248b989c6c44488.png   http://reshuege.ru/formula/68/68e7cd0381b906d7b496452225394d36.png

    Из прямоугольного треугольника находим:

     

    http://reshuege.ru/formula/de/de65a5287a30472665e1ca10e8e8398b.png

     

    Если точка http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png лежит между точками http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png и http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png, то http://reshuege.ru/formula/51/51a06e1a7b6591aedc5f94c0dbc9f605.png

    Следовательно,

    http://reshuege.ru/formula/bf/bfd3f04d2e1ada6dee1c79ad9e937513.png

                                                             http://reshuege.ru/get_file?id=2996

    Если точка http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png лежит между http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png и http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png , то http://reshuege.ru/formula/2f/2fb5442a0241d8e61200d470f2346a1f.png.

    Следовательно,

     

    http://reshuege.ru/formula/fd/fd5bd83152ff9f91f3dd5d4d55882435.png

     

                                         Ответ: http://reshuege.ru/formula/e9/e91e32b0299fcc67af466041e536a355.png

    C 4  Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 40, а отношение катетов треугольника равно http://reshuege.ru/formula/e2/e294e131aaa314bf7affbc03cd8ab68c.png

                                         Решение.

    Обозначим треугольник http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png. Предположим, что отрезок http://reshuege.ru/formula/e0/e0f3dba3248a6ccb26950955635d93e2.png отсекает от треугольника http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png треугольник http://reshuege.ru/formula/ab/abf479b84576c493005b5c1534e3b781.png

    http://reshuege.ru/get_file?id=10739

    Обозначим точки касания окружности и прямых http://reshuege.ru/formula/be/be9f2b0a91bb0578488a91a25b77180f.png Так как http://reshuege.ru/formula/2c/2c5ab55b351f55019f5797e0e54d1355.png и http://reshuege.ru/formula/e5/e569948d4c9e312ba8c7d093e1d8a3ac.png — квадраты, http://reshuege.ru/formula/e2/e2181d3a0e0714a1c7b328aaaf316fa4.png где http://reshuege.ru/formula/4b/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png — радиус окружности. Кроме того, http://reshuege.ru/formula/fc/fcd7f52c775c82f360dc20ce7a072598.png Значит, http://reshuege.ru/formula/ab/ab6eaabaeab1609322f3cc6f0c922ceb.png — биссектриса угла http://reshuege.ru/formula/4b/4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61feb.png

    Треугольники http://reshuege.ru/formula/62/6228af6dceeb0aa4adfffbfff33f8263.png и http://reshuege.ru/formula/3e/3eec97a2548c0131e759dbe3d1b7e9a4.png равны по гипотенузе и катету. Пусть http://reshuege.ru/formula/c6/c60a1b44b38435bafcc8fc9a728e6e1f.png а http://reshuege.ru/formula/2c/2c2e33ae521d92760f6974b803110541.pngПо теореме Пифагора http://reshuege.ru/formula/ca/ca7f0db937e91a0f8ebbeec825186303.png Тогда http://reshuege.ru/formula/4d/4dce0fff858de59c109a4c843e1b1f73.png Из подобия треугольников http://reshuege.ru/formula/bb/bb89d026953a95b644b55689ccabee5e.png и http://reshuege.ru/formula/79/79661ff25e39af70fc48d7785f587e85.png получаем: http://reshuege.ru/formula/72/72af7501f3eefcd1fb98b045373d56ba.png, откуда http://reshuege.ru/formula/ce/ceff50335f356a06a4d9d5e6011826a9.png Следовательно, http://reshuege.ru/formula/dc/dc9270eb48090a0ad27ed6f9a4c0f297.png

    Найдём радиус окружности: http://reshuege.ru/formula/a5/a54facacdf16eef9d0cc2b25259f879d.png

                                                                http://reshuege.ru/get_file?id=10740

    Если отрезок отсекает треугольник http://reshuege.ru/formula/39/391697340db296e3ec91791afaf3fbf9.png то, рассуждая аналогично, находим,

    что http://reshuege.ru/formula/79/792496386feba2d980d3015a2cd1353c.png Из подобия треугольников http://reshuege.ru/formula/79/79661ff25e39af70fc48d7785f587e85.png и http://reshuege.ru/formula/62/6228af6dceeb0aa4adfffbfff33f8263.png получаем: http://reshuege.ru/formula/c4/c4d0fa92f4ea5e63bdd7ee1a5cc9f89c.png отку

    да http://reshuege.ru/formula/1a/1af491c08d280d138c042065437fcf28.png Тогда http://reshuege.ru/formula/f1/f1103b8b04e859ce3fc1dce3d64a8442.png

     

                       Ответ: 25 или 32.

    C 4 Расстояние между параллельными прямыми равно http://reshuege.ru/formula/43/4363b12ae39947f045a4fb5fad740dc8.png На одной из них лежит вершина http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png, на другой — основание http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png равнобедренного треугольника http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png. Известно, что http://reshuege.ru/formula/8c/8cf3b4b77509ae47e961030a55e888f7.png Найдите расстояние между центрами окружностей, одна из которых вписана в треугольник http://reshuege.ru/formula/14/14b1ad51ec1c47b47bee445bd306a51b.png а вторая касается данных параллельных прямых и боковой стороны треугольника http://reshuege.ru/formula/4b/4b5b9eab089a2e0ff9b286f012e61feb.png

                                Решение.

                                       http://reshuege.ru/get_file?id=2688

    Пусть http://reshuege.ru/formula/1e/1ee0bf89c5d1032317d13a2e022793c8.png — высота треугольника, http://reshuege.ru/formula/4b/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png — радиус окружности, вписанной треугольник http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.pnghttp://reshuege.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png — центр этой окружности. Так как, http://reshuege.ru/formula/16/16aff414d07bcf943c9b11f20b790e93.png, то http://reshuege.ru/formula/2c/2ccd7210af04cf09fe6e214535feeae7.png. Следовательно, полупериметр треугольни

    ка http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png равен http://reshuege.ru/formula/d1/d113de1a31bd49328ccdc6d25fee6dbc.png, а его площадь http://reshuege.ru/formula/e6/e6de0c7009f6cb97fa86d4ce0cffbe5c.png, откуда http://reshuege.ru/formula/fb/fbd3e7900709ff8ccfe7f55ab6f22a72.png.

    Пусть http://reshuege.ru/formula/18/184a1aecea3bc8ede37bc097084969f9.png. Тогда http://reshuege.ru/formula/e7/e7f06f737d38e6042d67f176e1aa1996.png http://reshuege.ru/formula/35/358e4bff441e3199fd428dfe00e2f9c8.png.

    Пусть окружность с центром http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png касается данных параллельных прямых и боковой стороны http://reshuege.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png равнобедренного треугольника http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png, причем прямой http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png — в точке http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png , и не имеет общих точек с боковой стороной http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png (рис. 1). Нетрудно понять, что радиус этой окружности равен 3.

    Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому http://reshuege.ru/formula/2c/2c64c5cf613d8b9f4f7f3980d29aca10.png — биссектриса угла MAC . Тогда

     

    http://reshuege.ru/formula/f3/f3ebab9d662d8452f15b6e7a61fc2c07.png

    http://reshuege.ru/formula/14/146654511f9e9f9f2ab68ced036e0e32.png,

    http://reshuege.ru/formula/19/19744b0f8832b3c3bccfb2bcdaf0d1fe.png

    Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/51/519058e7e3798bd94c8c27e9ec77dc53.png находим, что

     

    http://reshuege.ru/formula/f5/f51afc1a0f14c90fbfe5215aebf92e92.png

     

                                  http://reshuege.ru/get_file?id=2689

    Пусть теперь окружность с центром http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png касается данных параллельных прямых и боковой cтороны http://reshuege.ru/formula/41/4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png равнобедренного треугольника http://reshuege.ru/formula/90/902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png, причем прямой http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png — в точке http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png, и пересекает боковую сторону http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png(рис. 2).

    Тогда точки O и Q лежат на биссектрисе угла http://reshuege.ru/formula/bc/bcf30d7f4abd7593b752cacd38ff491c.png. Треугольник http://reshuege.ru/formula/81/8154e5c303d1ac0fddea00154b517c4b.png подобен треугольнику http://reshuege.ru/formula/89/891d80c2073280f4eea9174dbf6c4ed9.pngс коэффициентом http://reshuege.ru/formula/44/4487ce1a7d7a95ce3e6131f597f64157.png, поэтому

     

    http://reshuege.ru/formula/3a/3a6a87fe2a065c60fa3e61080c1622bb.png.              Следовательно,

     

    http://reshuege.ru/formula/2e/2e118b01977f9647c6be7e7e86fd4f63.png

    .

     

     

                               Ответ: http://reshuege.ru/formula/46/46080580fb8fd007839b04918270298d.png или http://reshuege.ru/formula/b5/b51b0048a656bee179b920c3ee33b36b.png



    Предварительный просмотр:

                            С-4  Окружность и четырехугольники.

    C 4 Четырехугольник http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png описан около окружности и вписан в другую окружность. Прямые http://reshuege.ru/formula/e1/e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png и http://reshuege.ru/formula/f8/f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png пересекаются в точке http://reshuege.ru/formula/0a/0ae1285ce5610001567ddb53236e50fe.png Найдите периметр треугольника http://reshuege.ru/formula/b8/b89286aa8cc385684c334c958cb786f5.png если известно, что http://reshuege.ru/formula/39/3948bca9ad46459bddfdf81d75bb7efa.png и http://reshuege.ru/formula/fc/fce73b0e482a8a4207f75cc8f5e41217.png

                                              Решение.

    Возможны два случая http://reshuege.ru/formula/46/46fa7900cc397f3a4b3fa2e72d6885e7.png и http://reshuege.ru/formula/a0/a0f4f40dd2f735d0cd38bfe6498a324f.png

                                        http://reshuege.ru/get_file?id=10874

    Первый случай. 

    Четырехугольник описан около окружности, следовательно, http://reshuege.ru/formula/18/18da2eed16e20212efce812c8ff6615d.png Четырехугольник вписан в окружность, значит, http://reshuege.ru/formula/1a/1ac178a9315590e34620ab64cc757019.png но http://reshuege.ru/formula/8a/8ac6dbb6f5e941017cfc353f9020ebb8.png откуда http://reshuege.ru/formula/66/668e1a6248ef6a4bb0d6e733cc2e88bf.pngследовательно, http://reshuege.ru/formula/81/8152efe0efeca17b7b2e24ec2b513897.png с коэффициентом подо

    бия http://reshuege.ru/formula/0b/0b9b7ee6a74e6543196480d3819f178b.png

    Обозначим через http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png периметр треугольника http://reshuege.ru/formula/b8/b89286aa8cc385684c334c958cb786f5.png тогда если http://reshuege.ru/formula/02/02f07196b3f934fa452e95387eddedf4.png — периметр треугольника http://reshuege.ru/formula/68/68aef268dbb5658ce4c02cf990377d73.png

     

    http://reshuege.ru/formula/c2/c257903c94ea40a88dc5f71e14f9451d.png

    Поскольку http://reshuege.ru/formula/19/19cb0fe06e4960cdd3b85b1567a6ea24.png получаем: http://reshuege.ru/formula/e1/e1305b1cec0327ee0818933cb93cd8b0.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1538

    Второй случай. 

    Аналогично случаю 1 имеем:

     

    http://reshuege.ru/formula/82/82850a24ef6e61ac4dc602d0833deb7d.png

     

                                         Ответ: http://reshuege.ru/formula/db/db4d523540675488200b390bd6370953.png или http://reshuege.ru/formula/f9/f99195888d45deebc86ff76b9ab6c28f.png

    C 4 . Дан ромб http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png с диагоналями http://reshuege.ru/formula/01/01295413705ab66a19ccbe0a9639d3d6.png и http://reshuege.ru/formula/38/38252c6a3e46d9b820b82dc83e33f185.png Проведена окружность радиуса http://reshuege.ru/formula/ff/ffa649d828d8d3ef98eeb95db8ae6249.png с центром в точке пересечения диагоналей ромба. Прямая, проходящая через вершину http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png касается этой окружности и пересекает прямую http://reshuege.ru/formula/41/4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png в точке http://reshuege.ru/formula/0a/0ae1285ce5610001567ddb53236e50fe.png Найдите http://reshuege.ru/formula/d8/d8d5ada245594fef08bb7165d80bce9d.png

                                          Решение.

    Пусть точка http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png лежит между http://reshuege.ru/formula/0d/0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png и http://reshuege.ru/formula/d8/d80090c7f00df365a0261cf1ac6e723c.png — точка касания прямой http://reshuege.ru/formula/50/5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png с данной окружностью, http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png — центр ромба.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1608

    По теореме Пифагора http://reshuege.ru/formula/a5/a5d7281d0f66061ec578d5bc064b1f40.png

    Обозначим http://reshuege.ru/formula/b9/b9970d9ce207237f7aac61dcdcf7e06f.png

    Из прямоугольных треугольников и находим, что

     

    http://reshuege.ru/formula/2b/2b6b2e90e00ac75fa842ca981d60fb18.png

    Применяя теорему синусов к треугольнику http://reshuege.ru/formula/48/48b404e590b3e435ec219a6f1cec68b4.png получим, что http://reshuege.ru/formula/08/087c21eee978ab146e54647b33169f99.png

    поэтому

     

    http://reshuege.ru/formula/88/88d446a0b2b545826e875e945ddbfd51.pnghttp://reshuege.ru/formula/a7/a757e58725f4766eaec736550c44ae25.png

    Следовательно, http://reshuege.ru/formula/e6/e6f0bd05f177514f46a04ce222e0e222.png

    Пусть теперь точка лежит на продолжении стороны за точку Тогда по теореме о внешнем угле треугольника

     

    http://reshuege.ru/formula/f8/f8581fbde32d4453c5b3d50dad3851dc.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1609

    Далее, рассуждая аналогично, получим, что

     

    http://reshuege.ru/formula/92/920198970c0f2abc4fb9e6b47b056c26.png

    Следовательно, http://reshuege.ru/formula/8c/8c6f5b70c489cfcd9d3d06348a51e62c.png

                                                Ответ: http://reshuege.ru/formula/09/091e097ba3a60873c8bf737e34d51b01.png или http://reshuege.ru/formula/5d/5d7f831674a6f3377350daebaaac4613.png

    C 4 . Четырехугольник http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png описан около окружности и вписан в окружность. Прямые http://reshuege.ru/formula/b8/b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png и http://reshuege.ru/formula/cf/cf75e54791dd1f49f918345fdfe2430b.png пересекаются в точке http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png. Найдите площадь четырехугольника, если известно, что http://reshuege.ru/formula/e4/e449821bb406662c23a9dc536e32c7d7.png и радиусы окружностей, вписанных в треугольники http://reshuege.ru/formula/e2/e2cc0cdaccb483cf829036ec7f5ec031.png и http://reshuege.ru/formula/48/48af4341f745163f945fa838eeabb062.png равны соответственно http://reshuege.ru/formula/4b/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png и http://reshuege.ru/formula/e1/e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png.

                                               Решение.

    Первый случай.

    Центры http://reshuege.ru/formula/31/31b6eb924de49df799c3016cfea5a36b.png и http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png окружностей, вписанных в треугольники http://reshuege.ru/formula/39/396262ee936f3d3e26ff0e60bea6cae0.png и http://reshuege.ru/formula/48/48af4341f745163f945fa838eeabb062.png соответственно, лежат на биссектрисе http://reshuege.ru/formula/eb/eb0459bfce4185888ecf61fb07987581.pngугла http://reshuege.ru/formula/c7/c758cb1c0849d51800af6d1b13f5ecaf.png Окружность, вписанная в четырехугольник http://reshuege.ru/formula/62/62998849b60e107f9c015888d7338525.png является также окружностью, вписанной в треугольник http://reshuege.ru/formula/48/48af4341f745163f945fa838eeabb062.png и вневписанной окружностью треугольника http://reshuege.ru/formula/c3/c35d74f509577c810b253b17d41bc769.png Будем искать площадь четырехугольника http://reshuege.ru/formula/62/62998849b60e107f9c015888d7338525.png как разность площадей треугольников http://reshuege.ru/formula/48/48af4341f745163f945fa838eeabb062.png и http://reshuege.ru/formula/c3/c35d74f509577c810b253b17d41bc769.png

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1619

    Четырехугольник http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png вписан в окружность, следовательно, http://reshuege.ru/formula/5a/5a615926240c9fd7500045c961284eaa.png но http://reshuege.ru/formula/0d/0df34f34172425b47cf1ced92e5c309d.png откуда http://reshuege.ru/formula/e0/e0eef02edc51cc6a1070c1521a2df958.png Так как треугольники http://reshuege.ru/formula/e2/e2cc0cdaccb483cf829036ec7f5ec031.png и http://reshuege.ru/formula/48/48af4341f745163f945fa838eeabb062.png имеют еще общий угол http://reshuege.ru/formula/b4/b4421aacfa3a14221bae9a369c8886f0.pngони подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

    Далее имеем:

    1) http://reshuege.ru/formula/4b/4be5b7601dba2fd16e9d1a53b0f7fe78.png

    2) http://reshuege.ru/formula/01/015af2332b0ec2a08bed803ae95c50e1.png где http://reshuege.ru/formula/83/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png — полупериметр треугольника http://reshuege.ru/formula/53/534bee537f4100c506415e0609f68222.png равный по свойству вневписанной окружности длине отрезка http://reshuege.ru/formula/b0/b06aafd6df914ce73249cb1d11331846.png

    3) Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/d2/d2d9f9e506f3c027e3135c78a87ea8ee.png находим http://reshuege.ru/formula/24/240a9b4e3a77dc7f75d7f8b6157d2f9e.png отку

    да http://reshuege.ru/formula/e1/e15705175467d78bd97db99b294d34c7.png

    Подставляя найденное значение http://reshuege.ru/formula/6f/6f0bc0644971b0c08ec43e3e6227a166.png в формулу http://reshuege.ru/formula/de/de78d40f3b33f2ac2540273181370aff.png окончательно получаем

     

    http://reshuege.ru/formula/2d/2d67b3c0590a6d9a5499572398033cae.png

     

    Второй случай.

    Отличается от первого положением точки http://reshuege.ru/formula/69/69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png левее точек http://reshuege.ru/formula/f6/f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png и http://reshuege.ru/formula/7f/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png. В этом случае http://reshuege.ru/formula/09/099269f12ba4712aee8078427e86e572.png и в рассуждении они и треугольники http://reshuege.ru/formula/e2/e2cc0cdaccb483cf829036ec7f5ec031.png и http://reshuege.ru/formula/6f/6fb4f22992a0d164b77267fde5477248.png должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=10867

     

    http://reshuege.ru/formula/ae/ae06b78cc053aa51e770fe9a76050bae.png

    Ответ: http://reshuege.ru/formula/01/01d5a7f4e5c1da02579f7b750633e940.png или http://reshuege.ru/formula/a2/a21e2c2508822b7c1db8c5da0d450a78.png

    C 4 . Четырехугольник http://reshuege.ru/formula/6f/6fb585055d26d304979faf8440885033.png описан около окружности и вписан в окружность. Прямые http://reshuege.ru/formula/7e/7e9293e90055a83d4943872232ff638f.png и http://reshuege.ru/formula/e0/e0f3dba3248a6ccb26950955635d93e2.png пересекаются в точке http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png. Найдите площадь треугольника http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png, если известно, что http://reshuege.ru/formula/b2/b296a0457d74cd25f9093d3088793259.png и радиусы окружностей, вписанных в треугольники http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png и http://reshuege.ru/formula/82/822c97f79ff60e25fa38d3a0a39afea6.png равны соответственно http://reshuege.ru/formula/4b/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png и http://reshuege.ru/formula/e1/e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png.

                                           Решение.

    Первый случай.

    Центры http://reshuege.ru/formula/31/31b6eb924de49df799c3016cfea5a36b.png и http://reshuege.ru/formula/f1/f186217753c37b9b9f958d906208506e.png окружностей, вписанных в треугольники http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png и http://reshuege.ru/formula/82/822c97f79ff60e25fa38d3a0a39afea6.png соответственно, лежат на биссектрисе http://reshuege.ru/formula/b3/b3918665ee674080bf505e1b2d862187.pngугла http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png. Окружность, вписанная в четырехугольник http://reshuege.ru/formula/06/069754f7c3acbf16d5ca2263d4231f04.png, является также окружностью, вписанной в треугольник http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png и вневписанной окружностью треугольника http://reshuege.ru/formula/82/822c97f79ff60e25fa38d3a0a39afea6.png.

     

    http://reshuege.ru/get_file?id=1620

    Четырехугольник http://reshuege.ru/formula/06/069754f7c3acbf16d5ca2263d4231f04.png вписан в окружность, следовательно http://reshuege.ru/formula/ed/edf62c27c8d4130cc2267acd44b8cbe8.png. Но http://reshuege.ru/formula/47/478fc08e12e00a26e000911b50886a5a.png, откуда http://reshuege.ru/formula/06/06411f1da1b91b52c42330ce98fee2b7.png. Так как треугольники http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png и http://reshuege.ru/formula/82/822c97f79ff60e25fa38d3a0a39afea6.png имеют еще общий угол http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png, они подобны, причем коэффициент подобия равен отношению радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники.

    Далее имеем:

    1) http://reshuege.ru/formula/27/27d2e45f57fe28a55de36c472b813967.png

    2) http://reshuege.ru/formula/60/60e54764b9cc0734a230abb0427fbbfa.png, где http://reshuege.ru/formula/83/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png — полупериметр треугольника http://reshuege.ru/formula/ae/aeddae62f4cb5210fea17c4e9cbe2d05.png равный длине отрезка http://reshuege.ru/formula/d2/d204d2a8a53318e333d85328c8db820c.png как сумма отрезков касательных проведенных из одной точки.

    3) из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/75/758ac4a4b30b1b148b859b647f317045.png находим http://reshuege.ru/formula/1b/1bb6445d2aa9c1610f7ff9f02453f5a4.png, откуда http://reshuege.ru/formula/74/74d8a26adde8e1b45920f40c784bb645.png.

    Подставляя найденное http://reshuege.ru/formula/02/02cac36b3d0bcb6e9b0b286646bfd6a0.png в формулу площади треугольника http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png, окончательно получаем

     

    http://reshuege.ru/formula/2f/2fecca7b51323765782c7df493987fc9.png.

    Второй случай.

    Отличается от первого расположением точки http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png левее точек http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png и http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png. В этом случае http://reshuege.ru/formula/ac/ac233a88af3de2d649fff89c44960faa.png и в рассуждении они и треугольники http://reshuege.ru/formula/82/822c97f79ff60e25fa38d3a0a39afea6.png и http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png должны быть поменяны местами. Таким образом, в этом случае http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png — меньший из двух треугольников, а радиус вписанной в него окружности http://reshuege.ru/formula/4b/4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png. Значит

    http://reshuege.ru/formula/3a/3ac18ae9139517dfe67578d31f053224.png где http://reshuege.ru/formula/83/83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png — полупериметр треугольника http://reshuege.ru/formula/39/39e2e582d3594fb1ee839ee42f21808c.png равный отрезку http://reshuege.ru/formula/a0/a08822eb7ab38a78369a5bae9875608d.png При этом, как и в пер

    вом случае, http://reshuege.ru/formula/b0/b096b581467ad1830017dfcaa45d26a9.png Таким образом http://reshuege.ru/formula/6b/6b21462887a54f0774c7b1502ca495f3.png

     

                                   Ответ: http://reshuege.ru/formula/0b/0b61a0c2ad3f38cc5334333958538d88.png или http://reshuege.ru/formula/6b/6b21462887a54f0774c7b1502ca495f3.png

    C 4 . Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке М. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ВМС.

                                                               

    Решение.

                                                                http://reshuege.ru/get_file?id=3471

    В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 5, а полусумма оснований равна 25, поэтому основания трапеции равны 20 и 30.

    Предположим что http://reshuege.ru/formula/28/2848f9a8ff9cad040629903e62ba5987.png . Стороны  и АD треугольников МВСи MAD параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом http://reshuege.ru/formula/bb/bb1c2d2d4a95bfdc63a71f006250fb13.png Значит,

     

    http://reshuege.ru/formula/69/69c6318493af8ee47bd11c36336e3814.pnghttp://reshuege.ru/formula/a9/a9d32010474992f6caa9d27901851b88.png.

    Заметим, что http://reshuege.ru/formula/25/2599bf854903050abb99b8df5a49803d.png, поэтому треугольник МВС — прямоугольный с гипотенузой . Радиус его вписанной окружности равен: http://reshuege.ru/formula/38/3864673c234a55ee65e43e717d667164.png

                                                           http://reshuege.ru/get_file?id=3472

    Пусть теперь http://reshuege.ru/formula/93/93d1c00ba99d78e8109f5932ea3417dc.pnghttp://reshuege.ru/formula/9b/9bc7d7155ceb82c1741183c26f5aff0e.png (рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника MAD равен 6. Треугольник MADи МВС подобны с коэффициентом http://reshuege.ru/formula/bb/bb1c2d2d4a95bfdc63a71f006250fb13.png   Значит, радиус вписанной окружности треугольника МВС равен http://reshuege.ru/formula/e7/e7a26044ff8bd58067dd37fc5ad97867.png.

     

                                       Ответ: 4; 6.

    C 4  Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

                                                Решение.

                                                              http://reshuege.ru/get_file?id=3475

    В любой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований трапеции, а средняя линия — полусумме оснований трапеции. В нашем случае полуразность оснований равна 7,5, а полусумма оснований равна 17,5, поэтому основания трапеции равны 10 и 25.

    Предположим что http://reshuege.ru/formula/11/115071e0a05193829f5b716b2e92ca0d.pnghttp://reshuege.ru/formula/10/10dfad0553403ea73c23554f8eb86349.png (рис. 1). Стороны LM и KN треугольников ALM и AKN параллельны, поэтому эти треугольники подобны с коэффициентом http://reshuege.ru/formula/62/62ffe6be79af4472e9084ef2b21bcace.png Значит,

     

    http://reshuege.ru/formula/85/857b7f46be4f116eca68182a412c0a02.pnghttp://reshuege.ru/formula/73/733a81942d46f6c579beb07895e03914.png.

    Заметим, что http://reshuege.ru/formula/b0/b01bc96263819943149b363d27cc483e.png, поэтому треугольник ALM — прямоугольный с гипотенузой AM. (Поэтому трапеция прямоугольная, как и изображено на рисунке.) Радиус вписанной в треуголь

    ник ALM окружности равен http://reshuege.ru/formula/ba/baba056c99bcfeed898af3b52d89502f.png.

     

                                                   http://reshuege.ru/get_file?id=3476

    Пусть теперь http://reshuege.ru/formula/3a/3af47d230769c1a3d18bcc15a421ed7d.png (рис. 2). Аналогично предыдущему случаю можно показать, что радиус вписанной окружности треугольника AKN равен 5. Треугольник AKN и ALM подобны с коэффициентом http://reshuege.ru/formula/62/62ffe6be79af4472e9084ef2b21bcace.png Значит, радиус вписанной окружности треугольника ALM равен http://reshuege.ru/formula/2e/2e62ba0fa557dce2fd6f769b5bc62805.png.

     

     

                          Ответ: 2; 5.

    C 4 . Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 13, MN = 6. Прямая, проходящая через вершину М, касается окружности с центром К радиуса 3 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.

                          Решение.

    Пусть точка http://reshuege.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png лежит между http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png и http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png (рис.1), http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png - точка касания прямой http://reshuege.ru/formula/51/51f581937765890f2a706c77ea8af3cc.png с данной окружностью. Обозначим http://reshuege.ru/formula/cf/cf4b74227a308bc19846ad440e93d8fc.png.

    http://reshuege.ru/get_file?id=10885

    Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/f8/f88ffebee9059bc894808be5d6fbc80e.png по теореме Пифагора находим

     

    http://reshuege.ru/formula/5a/5a2cf00423908d41dee0e93863e25a40.png

    .

    Прямоугольные треугольники http://reshuege.ru/formula/f8/f88ffebee9059bc894808be5d6fbc80e.png и http://reshuege.ru/formula/8d/8dde26c96d23303b76d872ced90d636b.png подобны, поэтому http://reshuege.ru/formula/cd/cda925d49761b2eeeae6621f95f07743.png, откуда http://reshuege.ru/formula/ff/ff4ad52e39be2f39fbc3d80bb93eb5ce.png.

     

    http://reshuege.ru/formula/7b/7bf00989cbbca4b70dddc9955b9c5737.pnghttp://reshuege.ru/formula/fe/fe2e868bb1842fa7450d26be6cd0c3bc.pnghttp://reshuege.ru/formula/9d/9d34cdbb94fcc091b5b16cb7faeac526.png.

    Если точка http://reshuege.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png лежит на продолжении стороны http://reshuege.ru/formula/93/93437597656efdb384976096b6261386.png за точку http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png (рис.2), то, рассуждая аналогично,

    получим уравнениеhttp://reshuege.ru/formula/cd/cd393a65acd363a824b391dfaee29083.png, из которого http://reshuege.ru/formula/f3/f3e3d26ecc57f6034342e91ad7e1fef6.png.

        Ответ: http://reshuege.ru/formula/e4/e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png или http://reshuege.ru/formula/2b/2b25148577b6326f21ccdb94558b422a.png.

    C 4 . Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая через вершину М, касается окружности с центром К радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.

                                   Решение.

    Пусть точка http://reshuege.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png лежит между http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png и http://reshuege.ru/formula/8d/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png (рис.1), http://reshuege.ru/formula/44/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png - точка касания прямой http://reshuege.ru/formula/51/51f581937765890f2a706c77ea8af3cc.png с данной окружностью. Обозначим http://reshuege.ru/formula/cf/cf4b74227a308bc19846ad440e93d8fc.png.

    http://reshuege.ru/get_file?id=10886

    Из прямоугольного треугольника http://reshuege.ru/formula/f8/f88ffebee9059bc894808be5d6fbc80e.png по теореме Пифагора находим

     

    http://reshuege.ru/formula/68/6825d80fb96c8a8f94014137433f7630.png

    .

    Прямоугольные треугольники http://reshuege.ru/formula/f8/f88ffebee9059bc894808be5d6fbc80e.png и http://reshuege.ru/formula/8d/8dde26c96d23303b76d872ced90d636b.png подобны, поэтому http://reshuege.ru/formula/cd/cda925d49761b2eeeae6621f95f07743.png, откуда http://reshuege.ru/formula/40/40f76dc7e4a487113a4366ffb74e9cdd.png.

     

    http://reshuege.ru/formula/d4/d48f5e574e015d01c94accdb8cc35b56.pnghttp://reshuege.ru/formula/fb/fb89541245f02572eedbbd7bc08ec821.pnghttp://reshuege.ru/formula/9d/9d34cdbb94fcc091b5b16cb7faeac526.png.

     

    Если точка http://reshuege.ru/formula/f0/f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png лежит на продолжении стороны http://reshuege.ru/formula/93/93437597656efdb384976096b6261386.png за точку http://reshuege.ru/formula/a5/a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png (рис.2), то, рассуждая аналогично, получим уравнениеhttp://reshuege.ru/formula/9f/9f5851483db6026ca5d269d8b71f0e71.png, из которого http://reshuege.ru/formula/29/29e5086024bdb8901e20fd8c81013e19.png.

     

                                           Ответ: http://reshuege.ru/formula/e4/e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png или http://reshuege.ru/formula/27/27bec6961c235906c68c5fffd389d25c.png.


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    Подписи к слайдам:

    Слайд 1

    Решение заданий С3 по материалам ЕГЭ 2012-2013 гг

    Слайд 2

    Логарифмические неравенства Неравенства вида log a f(x) > log а g( х ) , где а ≠ 1 , a > 0 называют логарифмическими неравенствами log a f(x) > log а g( х ) 0 < а < 1 а > 1 или

    Слайд 3

    1. Решите неравенство Решение . ОДЗ :  . C учетом ОДЗ : - 20 х 2 - 20 1 -9 х 2

    Слайд 4

    2. Решите систему неравенств Решение . ОДЗ :  1) 2)

    Слайд 5

    2. Решите систему неравенств 3) -7 -3 - 5 х -1 + + + − − ( продолжение)

    Слайд 6

    2. Решите систему неравенств 4) Общее решение: и -7 -3 - 5 х -1 -8 7 log 2 129 ( продолжение)

    Слайд 7

    3. Решите неравенство Решение . ОДЗ :  . -5 2 + + − х C учетом ОДЗ : -5 2 х 19 9

    Слайд 8

    4. Решите систему неравенств Решение . ОДЗ :  1) 2) 2 5 3 + − + − х

    Слайд 9

    4. Решите систему неравенств 3) 4) Общее решение: и -4 3 2 х 4 ( продолжение)

    Слайд 10

    5. Решите неравенство Решение . ОДЗ :  -2 1 -1 + − + − t

    Слайд 11

    5. Решите неравенство Решение . ( продолжение) 0 0,5 0,25 х 2

    Слайд 12

    6. Решите систему неравенств Решение . ОДЗ :  Перепишем систему в виде: Откуда получим неравенство: Выполним проверку системы: − верно − удовлетворяет ОДЗ

    Слайд 13

    7. Решите неравенство Решение . ОДЗ : 

    Слайд 14

    7. Решите неравенство ( продолжение) -3 3 -1 + − + − х 17 + -3 3 -1 х 17 -4

    Слайд 15

    8. Решите систему неравенств 2) Решение . ОДЗ :  1)

    Слайд 16

    8. Решите систему неравенств 3) 4) ( продолжение) Общее решение: и -1 1 0 х 4 -4 2 -2

    Слайд 17

    9. Решите неравенство Решение . ОДЗ : 

    Слайд 18

    9. Решите неравенство ( продолжение)

    Слайд 19

    10. Решите неравенство Решение . ОДЗ :  -2 1 -1 + − + − х + 2 -2 1 -1 х 2


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    Подписи к слайдам:


    Предварительный просмотр:

    Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

    Подписи к слайдам:



    Предварительный просмотр:

                                                    Задачи. В-13

    Задача 1.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью, на 15 м/мин. меньшей скорости первого друга, а вторую половину - со скоростью 50 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 2.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью, на 12 м/с. меньшей скорости первой мухи, а вторую половину - со скоростью 90 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи, если она больше 64 м/с. Ответ запишите в м/с.

    Задача 3.
    Из муравейника 
    A в муравейник B одновременно выползли два муравья. Первый муравей полз весь путь с постоянной скоростью. Второй муравей первую половину пути полз со скоростью, на 42 м/мин. меньшей скорости первого муравья, а вторую половину - со скоростью 63 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого муравья. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 4.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью 30 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 5 м/мин. меньшей скорости первого друга. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга, если она не меньше 16 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 5.
    Из муравейника 
    A в муравейник B одновременно выползли два муравья. Первый муравей полз весь путь с постоянной скоростью. Второй муравей первую половину пути полз со скоростью 42 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 5 м/мин. меньшей скорости первого муравья. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого муравья, если она не меньше 17 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 6.
    Из квартиры 
    A в квартиру B одновременно выползли два таракана. Первый таракан полз весь путь с постоянной скоростью. Второй таракан первую половину пути полз со скоростью, на 14 м/мин. меньшей скорости первого таракана, а вторую половину - со скоростью 99 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого таракана, если она не больше 46 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 7.
    Из пункта 
    A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль ехал весь путь с постоянной скоростью. Второй автомобиль первую половину пути ехал со скоростью, на 15 км/ч. меньшей скорости первого автомобиля, а вторую половину - со скоростью 100 км/ч.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого автомобиля, если она не больше 41 км/ч. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 8.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью, на 36 м/мин. меньшей скорости первого друга, а вторую половину - со скоростью 54 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 9.
    От пальмы 
    A до пальмы B одновременно выползли две черепахи. Первая черепаха ползла весь путь с постоянной скоростью. Вторая черепаха первую половину пути ползла со скоростью 35 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 18 м/мин. большей скорости первой черепахи. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой черепахи. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 10.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью 84 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 14 м/мин. меньшей скорости первого друга. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга, если она больше 54 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 11.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью, на 27 м/мин. меньшей скорости первого бобра, а вторую половину - со скоростью 90 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 12.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью, на 42 м/с. меньшей скорости первой мухи, а вторую половину - со скоростью 63 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи. Ответ запишите в м/с.

    Задача 13.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью 72 м/с., а вторую половину - со скоростью, на 12 м/с. меньшей скорости первой мухи. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи, если она не больше 41 м/с. Ответ запишите в м/с.

    Задача 14.
    Из леса 
    A в лес B одновременно вышли два оленя. Первый олень шел весь путь с постоянной скоростью. Второй олень первую половину пути шел со скоростью 72 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 30 м/мин. большей скорости первого оленя. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого оленя. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 15.
    От елки 
    A до елки B одновременно начали прыгать два зайца. Первый заяц прыгал весь путь с постоянной скоростью. Второй заяц первую половину пути прыгал со скоростью 72 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 48 м/мин. большей скорости первого зайца. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого зайца. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 16.
    От поля 
    A до поля B одновременно вылетели две стрекозы. Первая стрекоза летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая стрекоза первую половину пути летела со скоростью 57 км/ч., а вторую половину - со скоростью, на 38 км/ч. большей скорости первой стрекозы. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой стрекозы. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 17.
    Из муравейника 
    A в муравейник B одновременно выползли два муравья. Первый муравей полз весь путь с постоянной скоростью. Второй муравей первую половину пути полз со скоростью 36 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 6 м/мин. меньшей скорости первого муравья. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого муравья, если она меньше 21 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 18.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью 32 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 48 м/мин. большей скорости первого друга. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 19.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью 35 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 18 м/мин. большей скорости первого друга. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 20.
    Из муравейника 
    A в муравейник B одновременно выползли два муравья. Первый муравей полз весь путь с постоянной скоростью. Второй муравей первую половину пути полз со скоростью 77 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 12 м/мин. меньшей скорости первого муравья. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого муравья, если она меньше 46 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 21.
    От поля 
    A до поля B одновременно вылетели две стрекозы. Первая стрекоза летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая стрекоза первую половину пути летела со скоростью, на 45 км/ч. меньшей скорости первой стрекозы, а вторую половину - со скоростью 108 км/ч.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой стрекозы. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 22.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью 60 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 8 м/мин. меньшей скорости первого друга. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга, если она меньше 42 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 23.
    Из квартиры 
    A в квартиру B одновременно выползли два таракана. Первый таракан полз весь путь с постоянной скоростью. Второй таракан первую половину пути полз со скоростью 75 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 50 м/мин. большей скорости первого таракана. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого таракана. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 24.
    От пальмы 
    A до пальмы B одновременно выползли две черепахи. Первая черепаха ползла весь путь с постоянной скоростью. Вторая черепаха первую половину пути ползла со скоростью 78 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 7 м/мин. большей скорости первой черепахи. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой черепахи. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 25.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью 80 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 12 м/мин. меньшей скорости первого друга. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга, если она меньше 36 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 26.
    От пальмы 
    A до пальмы B одновременно выползли две черепахи. Первая черепаха ползла весь путь с постоянной скоростью. Вторая черепаха первую половину пути ползла со скоростью 84 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 14 м/мин. меньшей скорости первой черепахи. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой черепахи, если она меньше 44 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 27.
    Из квартиры 
    A в квартиру B одновременно выползли два таракана. Первый таракан полз весь путь с постоянной скоростью. Второй таракан первую половину пути полз со скоростью 51 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 34 м/мин. большей скорости первого таракана. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого таракана. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 28.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью, на 16 м/мин. меньшей скорости первого бобра, а вторую половину - со скоростью 120 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра, если она больше 67 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 29.
    С собаки 
    A на собаку B одновременно вылетели два комара. Первый комар летел весь путь с постоянной скоростью. Второй комар первую половину пути летел со скоростью 63 м/с., а вторую половину - со скоростью, на 12 м/с. большей скорости первого комара. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого комара. Ответ запишите в м/с.

    Задача 30.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью, на 12 м/мин. меньшей скорости первого друга, а вторую половину - со скоростью 90 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга, если она больше 31 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 31.
    От поля 
    A до поля B одновременно вылетели две стрекозы. Первая стрекоза летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая стрекоза первую половину пути летела со скоростью, на 16 км/ч. меньшей скорости первой стрекозы, а вторую половину - со скоростью 120 км/ч.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой стрекозы, если она больше 70 км/ч. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 32.
    Из пункта 
    A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль ехал весь путь с постоянной скоростью. Второй автомобиль первую половину пути ехал со скоростью, на 6 км/ч. меньшей скорости первого автомобиля, а вторую половину - со скоростью 36 км/ч.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого автомобиля, если она больше 20 км/ч. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 33.
    С собаки 
    A на собаку B одновременно вылетели два комара. Первый комар летел весь путь с постоянной скоростью. Второй комар первую половину пути летел со скоростью 33 м/с., а вторую половину - со скоростью, на 40 м/с. большей скорости первого комара. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого комара. Ответ запишите в м/с.

    Задача 34.
    От поля 
    A до поля B одновременно вылетели две стрекозы. Первая стрекоза летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая стрекоза первую половину пути летела со скоростью 78 км/ч., а вторую половину - со скоростью, на 13 км/ч. меньшей скорости первой стрекозы. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой стрекозы, если она больше 41 км/ч. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 35.
    Из леса 
    A в лес B одновременно вышли два оленя. Первый олень шел весь путь с постоянной скоростью. Второй олень первую половину пути шел со скоростью 42 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 45 м/мин. большей скорости первого оленя. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого оленя. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 36.
    Из пункта 
    A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль ехал весь путь с постоянной скоростью. Второй автомобиль первую половину пути ехал со скоростью, на 6 км/ч. меньшей скорости первого автомобиля, а вторую половину - со скоростью 56 км/ч.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого автомобиля, если она не больше 17 км/ч. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 37.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью, на 10 м/с. меньшей скорости первой мухи, а вторую половину - со скоростью 72 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи. Ответ запишите в м/с.

    Задача 38.
    От елки 
    A до елки B одновременно начали прыгать два зайца. Первый заяц прыгал весь путь с постоянной скоростью. Второй заяц первую половину пути прыгал со скоростью 40 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 33 м/мин. большей скорости первого зайца. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого зайца. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 39.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью, на 42 м/с. меньшей скорости первой мухи, а вторую половину - со скоростью 88 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи. Ответ запишите в м/с.

    Задача 40.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью 117 м/с., а вторую половину - со скоростью, на 20 м/с. меньшей скорости первой мухи. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи, если она меньше 70 м/с. Ответ запишите в м/с.

    Задача 41.
    От пальмы 
    A до пальмы B одновременно выползли две черепахи. Первая черепаха ползла весь путь с постоянной скоростью. Вторая черепаха первую половину пути ползла со скоростью 112 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 12 м/мин. меньшей скорости первой черепахи. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой черепахи, если она больше 35 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 42.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью 84 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 16 м/мин. большей скорости первого бобра. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 43.
    Из квартиры 
    A в квартиру B одновременно выползли два таракана. Первый таракан полз весь путь с постоянной скоростью. Второй таракан первую половину пути полз со скоростью, на 18 м/мин. меньшей скорости первого таракана, а вторую половину - со скоростью 60 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого таракана. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 44.
    С собаки 
    A на собаку B одновременно вылетели два комара. Первый комар летел весь путь с постоянной скоростью. Второй комар первую половину пути летел со скоростью 45 м/с., а вторую половину - со скоростью, на 4 м/с. меньшей скорости первого комара. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого комара, если она не больше 35 м/с. Ответ запишите в м/с.

    Задача 45.
    Из муравейника 
    A в муравейник B одновременно выползли два муравья. Первый муравей полз весь путь с постоянной скоростью. Второй муравей первую половину пути полз со скоростью, на 30 м/мин. меньшей скорости первого муравья, а вторую половину - со скоростью 72 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого муравья. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 46.
    Из муравейника 
    A в муравейник B одновременно выползли два муравья. Первый муравей полз весь путь с постоянной скоростью. Второй муравей первую половину пути полз со скоростью, на 14 м/мин. меньшей скорости первого муравья, а вторую половину - со скоростью 60 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого муравья. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 47.
    От пальмы 
    A до пальмы B одновременно выползли две черепахи. Первая черепаха ползла весь путь с постоянной скоростью. Вторая черепаха первую половину пути ползла со скоростью, на 10 м/мин. меньшей скорости первой черепахи, а вторую половину - со скоростью 63 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой черепахи, если она не больше 37 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 48.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью, на 42 м/с. меньшей скорости первой мухи, а вторую половину - со скоростью 63 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи. Ответ запишите в м/с.

    Задача 49.
    С собаки 
    A на собаку B одновременно вылетели два комара. Первый комар летел весь путь с постоянной скоростью. Второй комар первую половину пути летел со скоростью, на 45 м/с. меньшей скорости первого комара, а вторую половину - со скоростью 42 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого комара. Ответ запишите в м/с.

    Задача 50.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью 32 м/с., а вторую половину - со скоростью, на 48 м/с. большей скорости первой мухи. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи. Ответ запишите в м/с.

    Задача 51.
    С собаки 
    A на собаку B одновременно вылетели два комара. Первый комар летел весь путь с постоянной скоростью. Второй комар первую половину пути летел со скоростью 63 м/с., а вторую половину - со скоростью, на 10 м/с. меньшей скорости первого комара. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого комара, если она не больше 30 м/с. Ответ запишите в м/с.

    Задача 52.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью, на 7 м/с. меньшей скорости первой мухи, а вторую половину - со скоростью 30 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи. Ответ запишите в м/с.

    Задача 53.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью, на 42 м/с. меньшей скорости первой мухи, а вторую половину - со скоростью 63 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи. Ответ запишите в м/с.

    Задача 54.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью, на 45 м/мин. меньшей скорости первого друга, а вторую половину - со скоростью 42 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 55.
    От елки 
    A до елки B одновременно начали прыгать два зайца. Первый заяц прыгал весь путь с постоянной скоростью. Второй заяц первую половину пути прыгал со скоростью 112 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 12 м/мин. меньшей скорости первого зайца. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого зайца, если она больше 56 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 56.
    Из леса 
    A в лес B одновременно вышли два оленя. Первый олень шел весь путь с постоянной скоростью. Второй олень первую половину пути шел со скоростью 75 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 10 м/мин. меньшей скорости первого оленя. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого оленя, если она не больше 32 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 57.
    С собаки 
    A на собаку B одновременно вылетели два комара. Первый комар летел весь путь с постоянной скоростью. Второй комар первую половину пути летел со скоростью, на 48 м/с. меньшей скорости первого комара, а вторую половину - со скоростью 72 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого комара. Ответ запишите в м/с.

    Задача 58.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью 78 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 13 м/мин. меньшей скорости первого бобра. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра, если она меньше 50 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 59.
    От елки 
    A до елки B одновременно начали прыгать два зайца. Первый заяц прыгал весь путь с постоянной скоростью. Второй заяц первую половину пути прыгал со скоростью 69 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 46 м/мин. большей скорости первого зайца. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого зайца. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 60.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью, на 20 м/с. меньшей скорости первой мухи, а вторую половину - со скоростью 120 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи, если она не меньше 67 м/с. Ответ запишите в м/с.

    Задача 61.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью, на 44 м/с. меньшей скорости первой мухи, а вторую половину - со скоростью 66 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи. Ответ запишите в м/с.

    Задача 62.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью, на 7 м/мин. меньшей скорости первого друга, а вторую половину - со скоростью 42 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга, если она не больше 24 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 63.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью, на 50 м/мин. меньшей скорости первого бобра, а вторую половину - со скоростью 75 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 64.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью 110 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 9 м/мин. меньшей скорости первого бобра. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра, если она больше 31 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 65.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью, на 5 м/мин. меньшей скорости первого бобра, а вторую половину - со скоростью 42 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра, если она не больше 26 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 66.
    Из квартиры 
    A в квартиру B одновременно выползли два таракана. Первый таракан полз весь путь с постоянной скоростью. Второй таракан первую половину пути полз со скоростью, на 6 м/мин. меньшей скорости первого таракана, а вторую половину - со скоростью 56 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого таракана, если она больше 35 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 67.
    Из пункта 
    A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль ехал весь путь с постоянной скоростью. Второй автомобиль первую половину пути ехал со скоростью, на 8 км/ч. меньшей скорости первого автомобиля, а вторую половину - со скоростью 42 км/ч.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 68.
    От поля 
    A до поля B одновременно вылетели две стрекозы. Первая стрекоза летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая стрекоза первую половину пути летела со скоростью, на 30 км/ч. меньшей скорости первой стрекозы, а вторую половину - со скоростью 100 км/ч.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой стрекозы. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 69.
    От поля 
    A до поля B одновременно вылетели две стрекозы. Первая стрекоза летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая стрекоза первую половину пути летела со скоростью 78 км/ч., а вторую половину - со скоростью, на 13 км/ч. меньшей скорости первой стрекозы. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой стрекозы, если она больше 50 км/ч. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 70.
    От поля 
    A до поля B одновременно вылетели две стрекозы. Первая стрекоза летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая стрекоза первую половину пути летела со скоростью 88 км/ч., а вторую половину - со скоростью, на 15 км/ч. меньшей скорости первой стрекозы. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой стрекозы, если она больше 50 км/ч. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 71.
    Из леса 
    A в лес B одновременно вышли два оленя. Первый олень шел весь путь с постоянной скоростью. Второй олень первую половину пути шел со скоростью, на 26 м/мин. меньшей скорости первого оленя, а вторую половину - со скоростью 99 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого оленя. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 72.
    От елки 
    A до елки B одновременно начали прыгать два зайца. Первый заяц прыгал весь путь с постоянной скоростью. Второй заяц первую половину пути прыгал со скоростью 45 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 42 м/мин. большей скорости первого зайца. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого зайца. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 73.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью, на 10 м/мин. меньшей скорости первого бобра, а вторую половину - со скоростью 60 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра, если она больше 32 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 74.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью, на 5 м/мин. меньшей скорости первого друга, а вторую половину - со скоростью 66 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга, если она не меньше 43 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 75.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью 63 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 42 м/мин. большей скорости первого друга. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 76.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью 69 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 46 м/мин. большей скорости первого бобра. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 77.
    Из пункта 
    A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль ехал весь путь с постоянной скоростью. Второй автомобиль первую половину пути ехал со скоростью, на 15 км/ч. меньшей скорости первого автомобиля, а вторую половину - со скоростью 36 км/ч.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 78.
    Со слона 
    A на слона B одновременно вылетели две мухи. Первая муха летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая муха первую половину пути летела со скоростью 110 м/с., а вторую половину - со скоростью, на 12 м/с. большей скорости первой мухи. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой мухи. Ответ запишите в м/с.

    Задача 79.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью, на 33 м/мин. меньшей скорости первого бобра, а вторую половину - со скоростью 40 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 80.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью 60 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 40 м/мин. большей скорости первого друга. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 81.
    С собаки 
    A на собаку B одновременно вылетели два комара. Первый комар летел весь путь с постоянной скоростью. Второй комар первую половину пути летел со скоростью 42 м/с., а вторую половину - со скоростью, на 5 м/с. меньшей скорости первого комара. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого комара, если она больше 18 м/с. Ответ запишите в м/с.

    Задача 82.
    Из деревни 
    A в деревню B одновременно вышли два друга. Первый друг шел весь путь с постоянной скоростью. Второй друг первую половину пути шел со скоростью, на 15 м/мин. меньшей скорости первого друга, а вторую половину - со скоростью 108 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого друга. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 83.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью, на 45 м/мин. меньшей скорости первого бобра, а вторую половину - со скоростью 52 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 84.
    От елки 
    A до елки B одновременно начали прыгать два зайца. Первый заяц прыгал весь путь с постоянной скоростью. Второй заяц первую половину пути прыгал со скоростью 119 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 30 м/мин. большей скорости первого зайца. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого зайца. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 85.
    Из муравейника 
    A в муравейник B одновременно выползли два муравья. Первый муравей полз весь путь с постоянной скоростью. Второй муравей первую половину пути полз со скоростью 90 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 12 м/мин. меньшей скорости первого муравья. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого муравья, если она больше 70 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 86.
    Из квартиры 
    A в квартиру B одновременно выползли два таракана. Первый таракан полз весь путь с постоянной скоростью. Второй таракан первую половину пути полз со скоростью, на 20 м/мин. меньшей скорости первого таракана, а вторую половину - со скоростью 120 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого таракана, если она меньше 62 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 87.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью 120 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 7 м/мин. меньшей скорости первого бобра. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра, если она не меньше 37 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 88.
    От пальмы 
    A до пальмы B одновременно выползли две черепахи. Первая черепаха ползла весь путь с постоянной скоростью. Вторая черепаха первую половину пути ползла со скоростью, на 13 м/мин. меньшей скорости первой черепахи, а вторую половину - со скоростью 78 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой черепахи, если она не больше 47 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 89.
    С собаки 
    A на собаку B одновременно вылетели два комара. Первый комар летел весь путь с постоянной скоростью. Второй комар первую половину пути летел со скоростью, на 8 м/с. меньшей скорости первого комара, а вторую половину - со скоростью 105 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого комара. Ответ запишите в м/с.

    Задача 90.
    Из леса 
    A в лес B одновременно вышли два оленя. Первый олень шел весь путь с постоянной скоростью. Второй олень первую половину пути шел со скоростью, на 28 м/мин. меньшей скорости первого оленя, а вторую половину - со скоростью 120 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого оленя. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 91.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью 40 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 33 м/мин. большей скорости первого бобра. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 92.
    От плотины 
    A до плотины B одновременно вышли два бобра. Первый бобр шел весь путь с постоянной скоростью. Второй бобр первую половину пути шел со скоростью, на 26 м/мин. меньшей скорости первого бобра, а вторую половину - со скоростью 39 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого бобра. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 93.
    С собаки 
    A на собаку B одновременно вылетели два комара. Первый комар летел весь путь с постоянной скоростью. Второй комар первую половину пути летел со скоростью, на 18 м/с. меньшей скорости первого комара, а вторую половину - со скоростью 120 м/с.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого комара, если она больше 65 м/с. Ответ запишите в м/с.

    Задача 94.
    От пальмы 
    A до пальмы B одновременно выползли две черепахи. Первая черепаха ползла весь путь с постоянной скоростью. Вторая черепаха первую половину пути ползла со скоростью 108 м/мин., а вторую половину - со скоростью, на 15 м/мин. большей скорости первой черепахи. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой черепахи. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 95.
    Из пункта 
    A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль ехал весь путь с постоянной скоростью. Второй автомобиль первую половину пути ехал со скоростью, на 12 км/ч. меньшей скорости первого автомобиля, а вторую половину - со скоростью 63 км/ч.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 96.
    Из пункта 
    A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый автомобиль ехал весь путь с постоянной скоростью. Второй автомобиль первую половину пути ехал со скоростью, на 6 км/ч. меньшей скорости первого автомобиля, а вторую половину - со скоростью 36 км/ч.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого автомобиля, если она больше 21 км/ч. Ответ запишите в км/ч.

    Задача 97.
    Из леса 
    A в лес B одновременно вышли два оленя. Первый олень шел весь путь с постоянной скоростью. Второй олень первую половину пути шел со скоростью, на 4 м/мин. меньшей скорости первого оленя, а вторую половину - со скоростью 30 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого оленя, если она не больше 21 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 98.
    Из леса 
    A в лес B одновременно вышли два оленя. Первый олень шел весь путь с постоянной скоростью. Второй олень первую половину пути шел со скоростью, на 9 м/мин. меньшей скорости первого оленя, а вторую половину - со скоростью 110 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого оленя, если она меньше 53 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 99.
    Из леса 
    A в лес B одновременно вышли два оленя. Первый олень шел весь путь с постоянной скоростью. Второй олень первую половину пути шел со скоростью, на 6 м/мин. меньшей скорости первого оленя, а вторую половину - со скоростью 40 м/мин.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первого оленя, если она больше 26 м/мин. Ответ запишите в м/мин.

    Задача 100.
    От поля 
    A до поля B одновременно вылетели две стрекозы. Первая стрекоза летела весь путь с постоянной скоростью. Вторая стрекоза первую половину пути летела со скоростью, на 7 км/ч. меньшей скорости первой стрекозы, а вторую половину - со скоростью 78 км/ч.. В итоге в пункте назначения оказались одновременно. Найдите скорость первой стрекозы. Ответ запишите в км/ч.

    Номер задачи

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    Ответ

    60

    72

    84

    20

    35

    77

    75

    72

    45

    56


    Номер задачи

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    Ответ

    108

    84

    48

    90

    96

    76

    24

    48

    45

    56


    Номер задачи

    21

    22

    23

    24

    25

    26

    27

    28

    29

    30

    Ответ

    135

    48

    100

    84

    60

    56

    68

    96

    72

    72


    Номер задачи

    31

    32

    33

    34

    35

    36

    37

    38

    39

    40

    Ответ

    96

    24

    48

    52

    60

    48

    80

    55

    112

    72


    Номер задачи

    41

    42

    43

    44

    45

    46

    47

    48

    49

    50

    Ответ

    96

    96

    72

    40

    90

    70

    45

    84

    60

    48


    Номер задачи

    51

    52

    53

    54

    55

    56

    57

    58

    59

    60

    Ответ

    45

    35

    84

    60

    96

    60

    96

    52

    92

    80


    Номер задачи

    61

    62

    63

    64

    65

    66

    67

    68

    69

    70

    Ответ

    88

    28

    100

    99

    35

    48

    48

    120

    52

    55


    Номер задачи

    71

    72

    73

    74

    75

    76

    77

    78

    79

    80

    Ответ

    117

    63

    40

    60

    84

    92

    45

    120

    55

    80


    Номер задачи

    81

    82

    83

    84

    85

    86

    87

    88

    89

    90

    Ответ

    35

    120

    72

    140

    72

    80

    112

    52

    112

    140


    Номер задачи

    91

    92

    93

    94

    95

    96

    97

    98

    99

    100

    Ответ

    55

    52

    90

    120

    72

    24

    24

    99

    30

    84




    Предварительный просмотр:

                                         Задание B15

    1.Найдите наименьшее значение функции  y~=~(x-8){{e}^{x-7}}  на отрезке [6;8].

    2.Найдите наименьшее значение функции  y~=~(x-6){{e}^{x-5}}  на отрезке [4;6].

    3.Найдите наименьшее значение функции  y~=~(x-19){{e}^{x-18}}  на отрезке  [17;19].

    4.Найдите наибольшее значение функции  y~=~12\sqrt{2}\cos x+12x-3\pi +9  на отрезке   [0;\frac{\pi }{2}].

    5.Найдите наибольшее значение функции   y~=~20\cos x+10\sqrt{3}\cdot x-\frac{10\sqrt{3}\cdot \pi }{3}+7 на отрезке  [0;\frac{\pi }{2}].

    6.Найдите наибольшее значение функции  y~=~2\sqrt{3}\cos x+\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}\pi }{6}+12  на отрезке   [0;\frac{\pi }{2}].

    7.Найдите наименьшее значение функции y~=~8tgx-8x+8на отрезке [0;\frac{\pi }{4}].

    8.Найдите наибольшее значение функции  y~=~12tgx-12x+3\pi -5  на  отрезке  [-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}].

    9.Найдите точку максимума функции  y~=~(x+18){{e}^{18-x}}.

    10.Найдите точку максимума функции   y~=~(x+12){{e}^{12-x}}.

    11.Найдите наименьшее значение функции  y~=~4x-\ln {{(x+8)}^{4}} на отрезке [-7,5;0].

    12.Найдите наименьшее значение функции y~=~7x-\ln {{(x+4)}^{7}} на отрезке [-3,5;0].

    13.Найдите наибольшее значение функции  y~=~\ln {{(x+5)}^{8}}-8x  на отрезке  [-4,5;0].

    14.Найдите наибольшее значение функции  y~=~\ln {{(x+4)}^{5}}-5x  на отрезке  [-3,5;0].

    15.Найдите наибольшее значение функции  y~=~\ln {{(x+3)}^{9}}-9x  на отрезке  [-2,5;0].

    16.Найдите наименьшее значение функции   y~=~7x-7\ln (x+8)+2

    на отрезке[-7,5;0].

    17.Найдите наименьшее значение функции   y~=~7x-\ln (7x)+3  на отрезке [\frac{1}{14};\frac{5}{14}].

    18.Найдите наименьшее значение функции  y~=~10x-\ln (10x)+6  на отрезке [\frac{1}{20};\frac{1}{4}].

    19.Найдите наибольшее значение функции  y~=~\ln (11x)-11x+9  на отрезке  [\frac{1}{22};\frac{5}{22}].

    20.Найдите наибольшее значение функции  y~=~\ln (12x)-12x+2  на отрезке  [\frac{1}{24};\frac{5}{24}].

    21.Найдите точку минимума функции  y~=~(3x^2-15x+15){{e}^{x-15}}.

    22.Найдите точку минимума функции  y~=~(3x^2-36x+36){{e}^{x-36}}.

    23.Найдите точку минимума функции  y~=~(2x^2-30x+30){{e}^{x+30}}.

    24.Найдите точку максимума функции  y~=~11\cos x+12x-7.

    25.Найдите наибольшее значение функции  y~=~11\cos x+12x-7  на отрезке  [-\frac{3\pi }{2};0]

    26.Найдите наибольшее значение функции  y~=~8\cos x+16x-5  на отрезке   [-\frac{3\pi }{2};0].

    27.Найдите наименьшее значение функции  y~=~17x-4\sin x+6  на отрезке   [0;\frac{\pi }{2}].

    28.Найдите наименьшее значение функции  y~=~5x-4\sin x+6  на отрезке  [0;\frac{\pi }{2}].

    29.Найдите наибольшее значение функции  y=2^{-37-12x-x^2}.

    30.Найдите наибольшее значение функции   y=3^{-219-30x-x^2}.

    31.Найдите наибольшее значение функции  y=8^{-61-16x-x^2}.

    32.Найдите точку минимума функции  y=9^{x^2-28x+211}.

    33.Найдите точку минимума функции