Урок одного неравенства по теме: "Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную под логарифмом и в основании логарифма" в профильном физико-математическом классе
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Урок одного неравенства по теме: "Решение логарифмических неравенств, содержащих переменную под логарифмом и в основании логарифма" в профильном физико-математическом классе

• Бобина Елена Васильевна, директор школы
• Позднякова Наталья Александровна, зам. директора по ВР

Разделы: Преподавание математики

Урок одного неравенства формирует навык исследовательской работы, будит мысль учащихся, развивает сообразительность, повышает интерес учащихся к работе. Его лучше проводить, когда учениками усвоены необходимые понятия и разобран ряд частных приёмов решения логарифмических неравенств. На этом уроке ученики – активные участники поиска решения.

Тип урока. Урок применения знаний, умений, навыков в новой ситуации. (Урок систематизации и обобщения изученного материала).

Цели урока:

• обучающие: сформировать навыки и умения решать логарифмические неравенства указанного типа разными способами; учить самостоятельно добывать знания (собственная деятельность учащихся по изучению и овладению содержанием учебного материала);
• развивающие: работать над развитием речи; учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы;
• воспитательные: формирование нравственных качеств, гуманных отношений, аккуратности, дисциплинированности, чувства собственного достоинства, ответственного отношения к достижению цели.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Устная работа.

1. Определение и свойства логарифма, логарифмической функции.
2. Определить знак числа: 

2. Проверка домашнего задания.

Записать на математическом языке предложения: “Числа a и b находятся по одну сторону от единицы”, “Числа a и b находятся по разные стороны от единицы” и доказать получившиеся неравенства. (На доске одним из учеников заранее подготовлено решение).

3. Сообщение темы урока, его целей и задач.

Анализируя варианты вступительных экзаменов по математике, можно заметить, что из теории логарифмов на экзаменах часто встречаются логарифмические неравенства, содержащие переменную под логарифмом и в основании логарифма.

Наш урок – это урок одного неравенства, содержащего переменную под логарифмом и в основании логарифма, решенного разными способами. Говорят, что лучше решить одно неравенство, но разными способами, чем несколько неравенств одним и тем же способом. Действительно, вы должны уметь проверять свои решения. Лучше проверки нет, чем решение задания другим способом и получение того же ответа (можно разными способами придти к одним и тем же системам, к одним и тем же неравенствам, уравнениям). Но не только эта цель преследуется при решении заданий разными способами. Поиски разных способов решения, рассмотрение всех возможных случаев, критическая оценка их с целью выделения наиболее рационального, красивого, является важным фактором развития математического мышления, уводят от шаблона. Поэтому сегодня мы решим только одно неравенство, но постараемся найти несколько способов для его решения.

4. Творческое применение и добывание знаний, освоение способов деятельности путем решения проблемных задач, построенных на основе ранее усвоенных знаний и умений при решении неравенства log x (x2 – 2x – 3) < 0.

Перед вами решение этого неравенства, взятое из одной экзаменационной работы. Посмотрите внимательно на него и попробуйте проанализировать решение. (На доске заранее записано решение неравенства)

log x (x2 – 2x – 3) < log x 1;

a) x2 – 2x – 3 > 0; б) x2 – 2x – 3 < 1;

x2 – 2x – 3 = 0; x2 – 2x – 4 < 0;

x1 = - 1, x2 = 3; x2 – 2x – 4 = 0;

в) решение системы

Ответ: 

Возможные объяснения учеников:

Это не уравнение, а неравенство, поэтому при переходе от логарифмического неравенства к рациональному знак неравенства будет зависеть от основания логарифма и монотонности логарифмической функции.

При таком решении возможно приобретение посторонних решений, или потеря решений, а возможно, что при неверном решении будет получен верный ответ.

Так как же надо было решать это неравенство, в котором переменная под знаком логарифма и в основании логарифма?!

I способ.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств.

Первая система неравенств не имеет решений.

Решением системы неравенств будет 

В предложенном решении неравенства из экзаменационной работы ответ был получен верный. Почему?

Возможные ответы учеников:

Так как область определения функции стоящей в левой части неравенства состоит из чисел больших 3, следовательно, функция y = log x t – возрастающая. Поэтому ответ получился верный.

Как же можно было записать математически грамотное решение в экзаменационной работе?

II способ.

Найдём область определения функции, стоящей в левой части неравенства, а затем, учитывая область определения, рассмотрим только один случай

Как еще можно решить это неравенство? Какие формулы можно применить?

Формулу перехода к новому основанию a > 0, a  1

III способ.

IV способ.

А можно ли применить к самому неравенству то, что логарифм меньше нуля?

Да. Выражение, стоящее под логарифмом, и основание логарифма находятся по разные стороны от единицы, но положительны!

То есть, получаем опять ту же совокупность двух систем неравенств:

Все рассмотренные способы приводят к совокупности двух систем неравенств. Во всех случаях получается один и тот же ответ. Все способы верно теоретически обоснованы.

V способ.

Вопрос ученикам: как вы думаете, для чего в домашнем задании был задан вопрос, не относящийся к материалу, изучаемому в 11 классе?

Зная свойства логарифма о том, что log а b < 0, если a и b по разные стороны от 1,

log a b > 0, если a и b по одну сторону от 1, можно получить очень интересный и неожиданный способ решения неравенства. Об этом способе написано в статье “Некоторые полезные логарифмические соотношения” в журнале “Квант” № 10 за 1990 год.

log g(x) f(x) > 0, если

log g(x) f(x) < 0, если

(Почему условие g(x) 1 писать не надо?)

Решение неравенства log x (x2 – 2x – 3) < 0 выглядит так:

a) x2 – 2x – 3 > 0; б) (x – 1)(x2 – 2x – 4) < 0;

в) решение системы неравенства

VI способ.

Метод интервалов. (“Решение логарифмических неравенств методом интервалов” - тема следующего урока).

5. Итог проделанной работы.

Вопросы:

1. Какими же способами было решено неравенство? Сколько способов для решения этого

неравенства мы нашли?

2. Какой из них наиболее рациональный? Красивый?

3. На чем было основано решение неравенства в каждом случае?

4. Чем интересно данное неравенство?

Качественная характеристика работы класса учителем.

6. Обобщение изученного материала.

Нельзя ли рассмотреть это неравенство как частный случай более общей задачи?

Неравенство вида log g(x) f(x) <(>) log g(x) h(x) можно свести к неравенству log g(x) p(x) <(>) 0 с помощью свойств логарифмов и свойств неравенств.

Решить неравенство

log x (x2 + 3x – 3) > 1

любым из рассмотренных способов.

7. Домашнее задание, инструктаж по его выполнению.

1. Решите неравенства (из вариантов вступительных экзаменов по математике):

1. log x2 (2 + x) < 1;
2. 
3. log 3x + 5 (9x2 + 8x + 8) > 2;

2. На следующем уроке будем рассматривать логарифмические неравенства, которые решаются методом интервалов. Повторить алгоритм решения неравенств методом интервалов.

3. Расположите числа в порядке возрастания (объясните, почему именно такое расположение):

log 0,3 5; ; ; log 0,5 3 (повторение к следующему уроку).