Элективный курс для 11 класса
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Номинация «Рабочая программа элективного курса»

 "Прикладная математика

 в 11-м классе"

Автор-составитель:

Зайнуллина Залия Мингадиевна, учитель математики

 первой квалификационной категории

МБОУ «Большекокузская СОШ»

Апастовского муниципального района РТ

С. Большие Кокузы, 2014г.

Пояснительная записка

   Разработка программы данного курса обусловлена непродолжительным изучением темы “Проценты” на первом этапе основной школы, когда учащиеся в силу возрастных особенностей не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к данной теме не предусматривается. Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение материала. В старших классах оперирование с процентами становится прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд через известные диаграммы. Текстовые задачи включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ, в конкурсные задачи. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить, процентные расчеты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Цели курса:

• сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту применения процентных расчетов в реальной жизни;
• способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Основными задачами курса являются:

• углубление представлений о понятии величины;
• выявление нормы словоупотребления термина “процент” в зависимости от контекста;
• привитие учащимся основы экономической грамотности;
• формирование рациональных приемов исследовательской деятельности;

Курс “Процентные расчеты” можно преподавать отдельно как учебный предмет по выбору учащихся, а можно интегрировать с традиционным школьным курсом математики.

Основной формой организации учебных занятий: лекционно-семинарская, сочетающаяся с лабораторно-практическими занятиями. Целесообразно использовать формы самостоятельной работы учащихся: написание рефератов, творческих работ, зачетов и т. д.

По итогам изучения темы учащийся должен:

 знать:

•        определение процента;

•        меры объема;

•        концентрацию растворов;

•        понятие пропорций,

 уметь:

•        составлять и решать пропорции;

•        рассчитывать концентрацию растворов;

•        получать нужную концентрацию раствора;

Учебно-тематический план (всего17 ч)

1. Проценты. Основные задачи на проценты. (2 ч)
2. Процентные вычисления в жизненных ситуациях (2 ч)
3. Транспортные задачи (3 ч)
4. Задачи на сплавы, смеси, растворы (3 ч)
5. .Области применения процента в медицине и биологии (2ч)
6. Практикум (5 ч)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТА

7. 1°. Сотая часть числа называется, одним  процентом этого числа, само число соответствует ста процентам.  Слово “процент″ заменяется символом %.
8. 2°. Пусть дано число  и требуется найти % этого числа. Это будет число  равное  

9.   Например:  Так, 20% числа 18 дают числа   а,150% числа 18 - число  
10. При  заработной плате 4000 руб. и подоходном налоге 13% налоговые  отчисления в бюджет составят     руб.
11. 3°. Если число  принимается за 100%,то число  соответствует %, причем  
12.        
13. Эта формула позволяет находить какой процент составляет  от .
14. Например: Так, 2 от 4 составляет   ,    а 12 от 4 составляет  .
15. 4°. Если известно, что число  составляет % числа , то само число   находятся так
16.          
17. Например:  При ставке налога  на прибыль =2
    % налоговые отчисления составили  3 млн. руб. Прибыль (до уплаты налога) была  равна
18.  млн. руб.

МЕРЫ ОБЪЕМА.

1литр (л) = 1 куб. дециметру (дм3)

1 куб. дециметр (дм3) = 1000 куб. сантиметрам (см3)

1 куб. метр (м3) = 1000 000 куб. сантиметрам (см3)

1 куб. метр (м3) = 1000 куб. дециметрам (дм3)

1 мг = 0,001 г

1 г = 1000 мг

ДОЛИ ГРАММА

0,1 г – дециграмм

0,01 – сантиграмм

0,001 – миллиграмм (мг)

0,0001 – децимиллиграмм

0,00001 – сантимиллиграмм

0,000001 – миллимиллиграмм или промилли или микрограмм (мкг)

КОЛИЧЕСТВО МЛ В ЛОЖКЕ

1 ст.л. – 15 мл

1 дес.л. – 10 мл

1 ч.л. – 5 мл

КАПЛИ

1 мл водного раствора – 20 капель

1 мл спиртового раствора – 40 капель

1 мл спиртово-эфирного раствора – 60 капель

СТАНДАРТНОЕ РАЗВЕДЕНИЕ АНТИБИОТИКОВ.

100 000 ЕД  - 0,5 мл раствора

0,1 гр -  0,5 мл раствора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНЫ ДЕЛЕНИЯ ШПРИЦА.

Содержание программы

Проценты. Основные задачи на проценты (2 ч)

История появления процентов. Вычисление количеств по процентам. Вычисление процентов по количествам. Нормативное сравнение процентов. Ненормативное сравнение процентов.

Метод обучения: лекция, беседа, объяснение.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Процентные вычисления в жизненных ситуациях (2 ч)

Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, бюджетный дефицит и профицит, изменение тарифов, пеня и др. Решение задач, связанных с банковскими расчетами: вычисление ставок процентов в банках; процентный прирост; определение начальных вкладов.

Метод обучения: выполнение тренировочных задач.

Форма занятий: объяснение, практическая работа.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Транспортные задачи (3ч)

Равномерное и равноускоренное движения. Скорость и ускорение. Движение тела, брошенного под углом к горизонту: высота подъема, дальность полета. Условия равновесия транспортных средств на наклонной плоскости. Дорожные сети. Узлы ветвления. Повороты. Средняя дальность рейсов. Длина кругового объезда поля.

Метод обучения: выполнение тренировочных задач.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Задачи на сплавы, смеси, растворы (3 ч)

Понятие концентрации вещества, процентного раствора. Закон сохранения массы.

Метод обучения: рассказ, объяснение, выполнение практических заданий.

Форма занятий: комбинированные занятия.

Области применения процента в медицине и биологии (2ч)

Концентрация растворов, понятие пропорции в растворах, определение цену деления шприца

Практикум (5 ч)

Производственные задачи. Определение сменной производительности тракторного агрегата при вспашке. Определение перспективной урожайности пшеницы и овощей в крестьянском хозяйстве и коллективном производстве. Установление оптимального сочетания выращивания сельскохозяйственных культур, обеспечивающих получение максимального количества продукции (в кормовых единицах).

Форма занятий: практическая работа.

Методы занятий: беседа, творческие задания.

Форма контроля: самостоятельная работа.

Практические работы. Вычисление длин, площадей и объемов сельскохозяйственных объектов. Изготовление трафаретов и разверток геометрических тел.

Лабораторные работы. Определение концентрации вещества, процентного раствора. Определение плотности фруктов и овощей.

Математическая экскурсия

Экскурсия в контрольно-семенную лабораторию

Перед рассмотрением задач учитель организует в классе беседу, в ходе которой учащиеся вспоминают формулы, которыми будут пользоваться в дальнейшем.

Давайте вспомним, о значении семенного контроля; понятие влажности семян и способ ее определения; понятие о сухом зерне, зерне средней сухости, влажном и сыром; понятие всхожести семян и способ ее определения; понятие чистоты семян и способ ее определения; понятие посевной годности семян и нормы высева, их расчет.

Вспоминаем, что влажность зерна оказывает определяющее влияние на поддержание высокой жизнеспособности семян и сохранность качества как продовольственного, так и фуражного зерна. Напомним, что под влажностью зерна понимают его абсолютную влажность, то есть, высушивая материал в специальных шкафах при определенных условиях до так называемого абсолютно сухого состояния. При этом под влажностью иногда понимают относительную влажность, а иногда абсолютную.

Пусть М – масса некоторого материала до сушки, а m-масса того же материала после сушки до абсолютно сухого состояния (в таком случае M-m – масса влаги). Относительную влажность материала (в процентах) находят по формуле Ро =– • 100, а абсолютную влажность по формуле Ра =  • 100.

Беседа закончена. Приступаем к задачам.

Задача 1
Зерно засыпается на длительное хранение при влажности 14% (сухое зерно). Сколько сухого зерна получится из центнера намолоченного зерна, если его влажность 20%.

Решение. Пусть M-масса сухого вещества в рассматриваемом зерне. Так как при влажности р = 20% масса зерна 100 кг , то по формуле Ро=– •100 имеем:

20 =100 •  , m  83 кг.

Пусть M – масса зерна при влажности 14%.

14 =  m  95 кг.

Задача 2
При помоле пшеницы получается 80% муки. Сколько пшеницы нужно смолоть, чтобы получилось 480 кг пшеничной муки?

Решение.

Вопрос: Каково количество, р% от которого есть А?

Формула ответа:  • А

Искомое количество пшеницы есть  • 480 = 600 кг.

На экскурсии мы видели, как определяется чистота семян, их всхожесть и посевная годность. Уточняем эти понятия. Чистота семян показывает, сколько процентов составляет масса взятой пробы (где обычно содержатся и семена сорняков и мусор). Всхожесть семян показывает, сколько процентов составляет масса семян, способных к прорастанию, от общей массы семян данной культуры (без всяких примесей). Посевная годность семян показывает, сколько процентов составляет масса семян данной культуры, способных к прорастанию, от общей массы пробы (со всеми возможными примесями).

Задачи ЕГЭ:
В9 Агрофирма предполагает продать моркови на 10% меньше, чем в прошлом году. На сколько процентов агрофирма должна повысить цену на свою морковь, чтобы получить за нее на 3,5% больше денег, чем в прошлом году.

Решение:

Пусть  – объем продаж прошлого года;

 – цена продаж прошлого года;

 – выручка прошлого года;

 – объем продаж текущего года;

– цена продаж текущего года;

– выручка текущего года.

По условию задачи= 1,035, причем =0,9, = (1+х); где х – доля повышения цены на морковь.

Значит, (1 + х)0,9=1,035,

0,9(1 + х) = 1,035

0,9х = 1,035 – 0,9

Х = (1,035 – 0,9) : 0,9

Х = 0,15.

Значит, агрофирма должна повысить цену на морковь на 15%, чтобы получить прибыль на 3,5% больше, чем в прошлом году.

В9 В бидон налили 3 литра молока однопроцентной жирности и 7 литров молока шестипроцентной жирности. Какова жирность полученного молока (в процентах)?

Решение: При решении этой задачи можно воспользоваться формулой  = 

 =  =  =  = 0,045.

0,045 • 100% = 4,5%.

Значит, жирность полученного молока – 4,5%.

Возможные критерии оценивания

Оценка “отлично”– учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно.

Оценка “хорошо” – учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справится со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащегося.

Оценка “удовлетворительно” – учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно выполнять простые задачи.

Задачи для самостоятельное решение

1. Железнодорожный билет для взрослого стоит 290 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 16 школьников и 3 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?(6840)
2. Футболка стоила 800 рублей. После снижения цены она стала стоить 680 рублей. На сколько процентов была снижена цена на футболку?(15)
3. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 12 500 рублей. Сколько рублей он получит после вычета налога на доходы?(10875) 
4.  Розничная цена учебника 180 рублей, она на 20% выше оптовой цены. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по оптовой цене на 10 000 рублей?(66)
5. При оплате услуг через платежный терминал взимается комиссия 5%. Терминал принимает суммы кратные 10 рублям. Аня хочет положить на счет своего мобильного телефона не меньше 300 рублей. Какую минимальную сумму она должна положить в приемное устройство данного терминала?(320)    

Решение С учетом комиссии, Аня должна внести в приемное устройство сумму не менее 300 + 300  0,05 = 315 рублей. Значит, минимальная сумма, которую должна положить Аня в приемное устройство данного терминала — 320 рублей. Проверим, что этой суммы достаточно: 5% от нее составляют 16 руб. (это комиссия), оставшиеся 304 рубля пойдут на счет телефона.

Приведем другое решение.

После уплаты 5% комиссии на счет телефона остаётся 95% вносимой суммы, которая должна быть не меньше 300 рублей. Если нужно внести x рублей, то 0,95x ≥ 300, откуда x ≥ 315,7... Поэтому x = 320 руб.

6. Цена на электрический чайник была повышена на 22% и составила 2196 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Задачи на смеси и сплавы

7. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?

Решение   Итак, у нас есть три вещества:

1. 4 литра 15-процентного раствора;
2. 6 литров 25-процентного раствора;
3. Третий раствор с неизвестной концентрацией.

По условию, нам не дана ни масса нового раствора, ни масса чистого вещества в нем. Поэтому обозначим общую массу x, а массу основного вещества y.Поскольку при смешивании все массы складываются, получаем уравнения:4 + 6 = x ⇒ x = 10;

0,6 + 1,5 = y ⇒ y = 2,1.Уравнения получились настолько простыми, что даже не пришлось составлять систему. Но это еще не ответ! В задаче требуется найти концентрацию нового раствора. Чтобы найти ее, разделим массу чистого вещества на общую массу раствора:y : x = 2,1 : 10 = 0,21Итак, доля чистого вещества равна 0,21. Чтобы перевести долю в проценты, умножим на сто:0,21 · 100 = 21

8. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение Обозначим массу 30-процентного раствора x, а массу 60-процентного раствора y. По условию, концентрация смеси «30% + 60% + вода» равна 36%. Получаем уравнение:

0,3x + 0,6y + 0 = 0,36 · (x + y + 10)

Аналогично, концентрация смеси «30% + 60% + 50%» равна 41%. Отсюда получаем еще одно уравнение:

0,3x + 0,6y + 5 = 0,41 · (x + y + 10)

Решаем полученную систему, вычитая первое уравнение из второго:

Теперь вспомним, что надо найти. А нужна масса 30-процентного раствора. Та самая, которую мы обозначили за x. Следовательно, x = 60 — это и есть ответ.

9. Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 40 килограммов изюма?

Начнем с изюма.

Обозначим за  кг твердую часть винограда (изюма). Она составляет 95% веса изюма.

Итак, в изюме массой 40 кг, также как и в винограде, из которого он получен, твердая часть –   кг.

Переходим к винограду.

Твердая часть в винограде занимает 10% веса. Обозначим за  кг массу винограда.

Итак, необходимо взять 380 кг винограда (чтобы получить 40 кг изюма).

Ответ: 380.

Литература

Литература для учителя.

1. Барабанов О.О. Задачи на проценты как проблемы словоупотребления // Математика в школе.– 200333.-№5-с.50-59.
2. Вигдорчик Е., Нежданова Т. Элементарная математика в экономике и бизнесе. – М.,1997.
3. Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Рябова Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений //Математика в школе – 2001-№ 4.
4. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. 10-11 классы: учебно-методическое пособие. – М. Дрофа, 2003.
5. Зылевич П.И. и др. Сборник задач по математике. Минск: Народная асвета. 1979.
6. Кованов С.И., Свободинт В.А. Экономические показатели деятельности сельскохозяйственных предприятий. М.: Агропромиздат, 1991.
7. Лурье М.В., Александров Б.И. Задачи на составление уравнений.– М.: Наука, 1990.
8. Петров В.А. Математические задачи из сельскохозяйственной практики. М. Просвещение, 1986.
9. Соломатин О.Д. Старинный способ решения задач на сплавы и смеси// Математика в школе – 1997 №1 с. 12–13.
10. Терешин Н.А. Прикладная направленность школьного курса математики : Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1990.

 Литература для учащихся

1. Денищева Л.О., Бойченко Е.М., Глазков Ю.А. и др. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика.– М.: Дрофа, 2003.
2. Егере В.К. и др. Сборник здач по математике для поступающих во втузы / под ред. М.И. Сканави – М.: Высшая школа, 1988.
3. Перельман Я.И. Занимательная Алгебра/ – М., 1967.
4. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные задачи по математике: справочное пособие – М.: Наука, 1992.
5. Свечников А.А. Путешествие в историю математики, или Как люди учились считать: книга для тех, кто учит и учится. – М.: Педагогика-пресс, 1995.
6. Шарыгин И.Ф. Математический винегрет – 1991.
7. Шапиро И.Н. Использование задач с практическим содержением в преподавании математики. – М.: Просвещение, 1990г.