История математики в Индии
классный час по алгебре (6 класс) на тему

История математики в Индии.

Программа вечера.

1. Открытие вечера.
2. Система нумерации. Открытие нуля.
3. Дроби.
4. Отрицательные и положительные числа.
5. Решение уравнений.
6. Пропорции.
7. Фокусы.
8. Решаем исторические задачи.

Содержание вечера.

Открытие вечера.

Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Было время, когда человек умел считать только до двух. Число «два» связывалось с органами зрения и слуха и вообще с конкретной парой предметов: «глаза» у индийцев, «крылья» у тибетцев также означало «два». Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил просто «много». Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем до пяти и десяти и т.д.

С развитием производства и торговли счет распространяется на множества, содержащее все большее и большее число предметов (элементов). Люди в своей практической деятельности не могли обходиться без измерений расстояний, площадей земельных участков, вместимости сосудов и т.п. Потребность в измерениях привела к возникновению и развитию как приемов измерений, так и техники счета и правил действия над числами. Таким образом, возникновение Ии развитие арифметики связано с трудовой деятельностью человека, с развитием общества.

Отдельные знания математики, выросшие из практической деятельности человека, наблюдаются у всех известных нам народов древности. Есть книга «Как люди без кузнеца жили». И была объявлена премия за книгу «Как люди без математики жили».

Математические сведения накапливаются в результате практической деятельности народов в течение тысячелетий, в эпохи о которых не существует письменных памятников.

Люди хорошо знакомы с математическими знаниями Вавилона и Древнего Египта, также подробно описана история математики в древней Греции. Одной из менее изученных является математическая наука древней Индии, которая во многих отношениях поучительна и знание которой, хотя бы в общих чертах, не только желательно, но и необходимо.

Система нумерации. Изобретение нуля.

Индийская математика имеет богатое прошлое. Ее расцвет относится к V-VII веку. Заслуги индийцев в области математики, в особенности арифметике, трудно переоценить. За 2000 или 1500 лет до начала нашего летоисчисления были написаны древние индусские книги, называемые ведами. В этих книгах и их переделках, в так называемых «сутрах», содержатся подробные правила для замены одной фигуры равновеликой ей другой, для разделения и складывания этих фигур. При этом пользуются главным образом прямоугольными треугольниками, стороны которых выражаются целыми числами. Ведам известны целочисленные прямоугольные треугольники следующих видов:

1. со сторонами 3,4,5 и ему подобные, получаемые от умножения чисел 3,4,5 на одно и то же число.
2. со сторонами 5,12,13 и ему подобные.
3. со сторонами 8,15,17 и 12,35,37.

Строительное искусство требовало складывания фигур квадратной или многоугольной формы из квадратных плит или кирпичей. Эта задача, по всей вероятности, дала начало учению о треугольных, квадратных и вообще многоугольных числах.

Треугольными назывались числа: 1,3,6,10,15 и т.д., квадратными – 1,4,9,16,25,и т.д. Если изобразить кирпичи точками, то эти числа представляют количество точек (кирпичей), необходимых для построения треугольной или квадратной фигуры при постепенном увеличении сторон их, как показывают чертежи.

Квадратные плиты (кирпичи) были основным строительным материалом в Индии, лишенном камня и дерева. Равновеликость фигур определялась по числу этих плит. Эта практическая задача строительного искусства выдвинула вопрос об определении чисел плит, необходимых для получения треугольной, квадратной или многоугольной фигуры с заданной величиной площади. Решение этой задачи требовало изучения свойств последовательностей чисел натурального ряда: 1,2,3,4…; треугольных: 1,3,6,10,15…; квадратных: 1,4,9,16…. Этими вопросами занимались индусы.

Самым ценным вкладом в сокровищницу математических знаний человечества является употребляемый нами способ записи при помощи десяти знаков чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Современные цифры возникли примерно 1500 лет назад в Индии. Это не значит, что они с самого начала имели современный вид. В течение многих столетий, переходя от народа к народу старинные индийские цифры много раз изменялись, пока приняли современную форму. Индусский народ ввел особый знак для обозначения отсутствующего разряда чисел. «Индусы изобрели нечто, чтобы обозначить ничто». Без этого знака – нынешнего нуля наша система счисления не имела бы тех преимуществ перед всеми бывшими и существующими другими системами счисления.

Дроби.

Индийцы широко употребляли «обыкновенные» дроби. Наше обозначение обыкновенных дробей при помощи числителя и знаменателя было принято в Индии еще в VIII веке до н.э. однако без дробной черты.

Широко известны математики древней Индии Ариабхатта (Vв), Брахмагупта (VIIв), изложивший правила действий с дробями, мало отличавшиеся от наших, и Бхаскара (XIIв). Бхаскара написал книгу под названием «Лилавати», то есть «Прекрасная» (наука арифметики).

Индийские ученые нередко излагали арифметические задачи в стихах. Вот один пример одной древнеиндийской задачи (математика Сриддхары XIв):

«Есть кадамба цветок.

На один лепесток

Пчелок пятая часть опустилась.

Рядом тут же росла

Вся в цвету сименгда

И на не третья часть поместилась.

Разность их ты найди,

Ее трижды сложи

И тех пчел на Кутай посади.

Лишь одна не нашла

Себе место нигде

То летала то взад, то вперед и везде

Ароматом цветов наслаждаясь.

Назови теперь мне,

Подсчитавши в уме,

Сколько пчелок всего здесь собралося.»

Отрицательные и положительные числа.

Индийские математики изобрели алгебру, свободно оперирующую не только с дробями, но и с иррациональными и отрицательными числами. Интересно отметить, что индийские математики интерпретировали понятия о положительных и отрицательных величинах преимущественно при помощи представления об имуществе и долге. Исходя из этого, без достаточно теоретического обоснования они даже знали истолкования действий с отрицательными числами. Вот правила сложения и вычитания, изложенные индийским математиком Брахмагуптой в VII веке:

1. Сумма двух имуществ есть имущество.
2. Сумма двух долгов есть долг.
3. Сумма имущества и долга равна их разности.
4. Сумма имущества и равного долга равна нулю.
5. Сумма нуля и долга есть долг.
6. Сумма нуля и имущества есть имущество.
7. Долг, вычитаемый из нуля, становится имуществом.
8. Имущество, вычитаемое из нуля, становится долгом.

Другой индийский математик Бхаскара писал: «Произведение двух имуществ есть имущество, результат произведения имущества на долг представляет убыток. То же правило имеет место при делении. Квадрат имущества или долга есть имущество. Корень имущества: один имущество, другой долг.

Многие математические сочинения были написаны в стихотворной форме. Математические правила, например, правило знаков формулировались в коротких строчках, и заучивались наизусть.

Например: Минус на минус дает только плюс.

                   Отчего так бывает сказать не боюсь.

Уравнения.

Индийские ученые решали системы неопределенных уравнений первой степени со многими неизвестными. А вот задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме. Правило Брахмагупты, по существу, совпадает с нашим.

В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна задача знаменитого индийского математика Бхаскары:

«Обезьянок резвых стая

Всласть поевши, развлекалась.

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась.

А двенадцать по лианам

Стали прыгать, повисая…

Сколько ж было обезьянок,

Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Соответствующее этой задаче уравнение: (Х/8)2 + 12 = х, Бхаскара пишет под видом Х2 – 64Х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32, получая затем:

                                        Х2 -64Х + 322 = -768 + 1024

                                        (Х – 32)2 = 256

                                        Х1 = 16, Х2 = 48.

Индусские математики при решении уравнений смелее применяли те же правила, что и Диофант, и при решении уравнений стали рассматривать и отрицательные корни как долг или расход и обозначали точкой над числом или крестиком рядом с ним. Но еще индусский математик XII века заявляет, что «люди таких чисел не одобряют». Равноправность положительных и отрицательных чисел была признана в математике лишь в XVII веке.

Кроме того, индийцы владели правилами для решения ряда других задач, которые в настоящее время решаются алгебраически при помощи уравнений. Среди этих правил большой популярностью у них пользовалось правило ложного положения (ложное правило) и правило обращения.

Пропорции.

До XVI века пропорции записывались большей часть словесно или сокращенно. Были сделаны разные попытки введения специального обозначения для пропорций. Так, в одной индийской рукописи XII века пропорция    10 : 163/60 = 4 : 163/150  записывалась следующим образом :    10     163      4       163

             1       60      1       150

задачи с пропорциональными величинами раньше назывались, а иногда теперь называются задачами на «тройное правило», так как в них по трем данным числам находится четвертое пропорциональное.

Тройное правило рассматривается в трудах индийских ученых Ариабхатты, Брахмагупты, Сридддхары, Бхаскары и др. Само название «тройное правило» - индийского происхождения.

Фокусы.

Арифметические фокусы – честные и добросовестные фокусы. Весь секрет арифметического фокуса состоит в тщательном изучении и использовании любопытных свойств чисел, в близком знакомстве с их особенностями.

В древнеиндийской повести «Наль и Дамаянти» находим такой фокус. Наль, умевший превосходно править лошадьми, вез однажды счетчика-виртуоза Ритуперна мимо развесистого дерева Вибитаки.

Вдруг он увидел вдали Вибитаку – ветвисто – густою сенью покрытое дерево.

«Слушай, - сказал он. – здесь на земле никто не знает всезнания, в искусстве править конями ты первый, зато мне далося искусство счета…»

и в доказательство своего искусства счетчик мгновенно сосчитал число листьев на ветвистой Вибитаке. Изумленный Наль просит Ритуперна открыть ему тайну своего искусства, и тот соглашается.

«…Лишь только вымолвил слово свое Ритупен, как у Наля открылись очи, и он все ветки, плоды и листья Вибитаки разом мог пересчесть…»

Секрет искусства состоял в том, что непосредственный счет листьев, требующий много времени и терпения, заменялся счетом листьев одной лишь ветки и умножение этого числа на число веток каждого сука и далее – на число сучьев дерева, предполагая, что все сучья одинаково обросли ветками, а ветки – листьями.

 Решаем исторические задачи.

Присутствующим предлагается решить несколько исторических задач.

Две задачи Бхаскары.

1. Из множества чистых листков лотоса были принесены в жертву: Шиве – третью долю этого множества, Вишну – шестую, четвертую долю получил Бхавани, а остальные шесть цветков получил уважаемый учитель. Сколько было цветков?
2. Некто сказал другу: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько было у каждого рупий?

Старинная задача.

Летело стадо гусей, навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!». Те ему отвечают: «Нет, нас не сто гусей! Если бы нас было еще столько же, сколько есть, да еще полстолько, да четверть столько, да еще ты, гусь с нами, тогда нас было бы ровно сто гусей.» Сколько их было?

Из «Бахшалийской рукописи»:

1. Найти число, которое от прибавления 5 или отнятия 11 обращается в полный квадрат.
2. Из четырех жертводателей второй дал вдвое больше первого, третий – втрое больше второго, четвертый – вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132. сколько дал первый?

Литература.

1. Математика в исторических событиях. Материалы к занятиям. Автор-сост. О.В.Воронина. Волгоград. Учитель. 2009.
2. Г.И.Глейзер. История математики в школе. Под редакцией В.Н. Молодшего. «Просвещение» Москва. 1964.
3. Г.И.Глейзер. история математики в школе. Москва. Просвещение. 1982.
4. Детская энциклопедия.т.2. издательство «Педагогика». Москва. 1972.
5. энциклопедический словарь юного математика. Составитель А.П.Савин. Москва. Педагогика. 1985.

6.   Г.Г. Цейтен. История математики в древности и в средние века.

7.   И.Я.Депман. Рассказы о математике.