Подготовка к ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему
Справочный материал, алгоритмы решения заданий, решение мнекоторых заданий
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 podgotovka_k_ege.docx | 113.46 КБ |
Предварительный просмотр:
УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ
КАЛИТВЯНСКАЯ НИНА ВИКТОРОВНА
Задание В1
Задачи на проценты
- Число b составляет р % от а: b = а ∙
.
Например: Стоимость билета школьника составляет 30% стоимости взрослого. Который стоит 460 руб.
460 ∙ = 138 руб.
- Число а увеличивается на р % : b = а ∙(1 +
Например: Миксер стоил 520 руб.Сколько стал он стоить после повышения цен на 35%.
520 ∙(1 + ) = 702руб.
- Число а уменьшается на р % : b = а ∙(1 -
Например: Набор стаканов стоит 250 руб. Сколько стал он стоить после скидки 30%.
250 ∙(1 - ) =175 руб.
- На сколько процентов b больше а (b > a):
∙ 100%.
- На сколько процентов а меньше b (а < b):
∙ 100%.
- Число а увеличилось сначала на р1 % (р1 =
), а затем на р2 % (р2 =
): b = а ∙(1 + р1) ∙(1 + р2) = а ∙(1 + р1 + р2 + р1 ∙ р2).
- Число а уменьшилось сначала на р1 % (р1 =
- Сложные проценты, если р % это ежегодное начисление:
аn = а ∙(1 + )n. Например: Клиент взял в банке кредит 24000 руб. на 2 года под 28%. Какую сумму денег он должен отдать в банк за 2 год, учитывая проценты.
24000 ∙ (1 + )2 = 24000 ∙ (1,28) 2 = 39321,6 руб.
Задание В3
- Иррациональные уравнения
- В левой части оставляем только корень, все слагаемые переносим в правую часть.
- Возводим левую и правую части уравнения в квадрат.
- Решаем полученное уравнение.
- Делаем проверку (корень и подкоренное выражение должны быть неотрицательными), т.е. полученные корни подставляем в первоначальный вид уравнения.
Например: + х = 0
= - х
()2 =( - х)2
- 54 – 15 х = х2
х2 + 15х +54 = 0
х1,2 = =
х1 = -6 х2 = - 9
Проверка: х1 = -6 + (-6) = 0 верно, значит х1 = -6 является корнем
Х2 = -9 + (-9) = 0 верно, значит х2 = -9 является корнем
Ответ: х1 = -6, х2 = - 9
- Показательные уравнения
- Преобразуем уравнение, используя свойства степеней, чтобы в левой и правой части уравнения были степени с одинаковыми основаниями.
ab = ac
- Опускаем основания и приравниваем показатели степеней.
b = c
- Решаем полученное уравнение.
Например: (0,5)4х +2 = 64х
(2-1)4х + 2 =(26)х
2-4х – 2 = 26х
- 4х – 2 = 6х
- 10х = 2
х = - 0,2
Ответ: х = - 0,2
- Свойства степеней:
ab ∙ ac = ab + c =
= ab - c
=
(ab)c = ab ∙ c = a- n
(a ∙ b)n = an ∙ bn a0 = 1
- Логарифмические уравнения
- Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов, чтобы в левой и правой части уравнения были логарифмы с одинаковыми основаниями.
=
- Опускаем логарифмы и приравниваем выражения, стоящие под логарифмами.
b = c
- Решаем полеченное уравнение.
- Делаем проверку (выражение, стоящее под логарифмом, должно быть положительным), т.е. полученные корни подставляем в первоначальный вид уравнения.
Например: = 2 +
=
+
=
=
9 – 3х = 75
- 3х = 66
х = - 22
Проверка: = 2 +
верно, значит х = - 22 является корнем.
Ответ: х = - 22
- Свойства логарифмов:
у =
ау = х
= х
+
=
=
-
=
=
= р
=
=
- Тригонометрические уравнения
- Преобразуем уравнение так, чтобы в левой части была тригонометрическая функция, а в правой части число, т.е.
= a
= a
tg b = a
ctg b = a, где b зависит от х
- Для уравнений
= a и
= a проверяем, чтобы -1
а
- Если а
, то уравнение не имеет корней.
- Если -1
= a
b = (-1)n
arc
+
, n
Z
= - a
b = (-1)n+1
arc
+
, n
Z
= a
b =
arc
+
, n
Z
= - a
b =
arc
+
, n
Z
Частные случаи:
= 0
b =
, n
Z
= 1
b =
+
, n
Z
= - 1
b = -
+
, n
Z
= 0
b =
+
, n
Z
= 1
b = 2
, n
Z
= - 1
b =
+ 2
, n
Z
- Для уравнений tg b = a и ctg b = a число a – любое.
tg b = a
b = arc
+
, n
Z
tg b =- a b = - arc
+
, n
Z
ctg b = a b = arc
+
, n
Z
tg b =- a b = - arc
+
, n
Z
- Так как b зависит от х, то выражаем х.
Например: Решите уравнение и в ответе запишите наибольший отрицательный корень =
=
+ 2
, n
Z
=
+ 2
, n
Z
2x + 4 = 1 + 8
, n
Z
2x = 1 – 4 + 8
, n
Z
x = – 2 + 4
, n
Z
n = 0, x1 = - 1,5; х2 = - 2,5
n = 1, x1 = 2,5; х2 = 1,5
n = - 1, x1 = - 5,5; х2 = - 6,5
Ответ: х = - 1,5
- Рациональные уравнения
- Чтобы избавиться от знаменателей, нужно умножить каждое слагаемое левой и правой части на общий знаменатель.
- Решаем полученное уравнение.
Например: =
2(2х – 1)
2(25х – 3) = 5(2х – 1)
50х – 6 = 10х – 5
40х = 1
х = 0,025
Ответ: х = 0,025
Задание В4
- Прямоугольный треугольник
А
1) =
=
С В
=
=
tg =
tg =
2) Теорема Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2
АВ =
АС =
ВС =
3) Против угла равного 30лежит катет равный половине гипотенузы.
4) Высота, проведенная к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике.
А СН2 = АН ∙ ВН
Н АС2 = АН ∙ АВ
ВС2 = ВН ∙ АВ
С В СН =
5) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника совпадает с серединой гипотенузы.
R = - радиус описанной окружности
6) Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник.
r =
- Равнобедренный треугольник
А
К
В Н С
- Высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
- Углы при основании равны.
- Чтобы найти высоту, проведенную к боковой стороне, нужно использовать формулы площадей треугольника.
ВК = , где
=
или
=
, где р -полупериметр
- Трапеция
- Равнобедренная трапеция: проводим две высоты
А В
ADH = BKC DH = KC
ABHK – прямоугольник АВ = НК
DC = DH + HK + KC = AB + 2DH
D H K C
- Прямоугольная трапеция: проводим высоту
А В
AB = DK
D K C
- Параллелограмм
В С
Проводим высоту и используем приемы решения прямоугольного треугольника.
А Н D
Задание В6
- Площадь треугольника
В
=
=
c h a =
= r
p , где r - радиус вписанной окружности
р = - полупериметр
A b H C =
, где R – радиус описанной окружности
- Площадь параллелограмма
В С
d1 S = h AD
h S = AB ∙ AD ∙
d2 S = ∙ d1 ∙ d2 ∙
A H D
Для ромба S = ∙ d1 ∙ d2
- Площадь трапеции
а
h S = ∙ h , где а и b - основания трапеции
b
- Площадь круга
r S =
- Площадь кругового сектора
S = R2
где угол
выражен в радианах
r
S = , где угол α выражен в градусах
Задание В7
- Логарифмические выражения
= b
= ac
=
= bc
=
=
= (
)n = b
= p
=
=
= c
=
= c
= 1
=
- Степенные выражения
Свойства степеней:
ab ∙ ac = ab + c =
= ab - c
=
(ab)c = ab ∙ c = a- n
(a ∙ b)n = an ∙ bn a0 = 1
Например:
74 ∙ 37 : 213 = =
= 71 ∙ 34 = 7 ∙ 81 = 567
- Тригонометрические выражения
- Основные тригонометрические тождества
+
= 1;
= 1;
1 + =
; 1 +
=
.
- Формулы суммы и разности аргументов
=
=
=
- Формулы двойного аргумента
=
-
=
– 1
= 1 -
- Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение
- Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
- Формулы приведения
- представляем угол в виде суммы или разности, используя:
= 90°,
°,
= 270°, 2
= 360°.
- определяем, меняется или нет функция
(90°) – меняется
°) – не меняется
(270°) – меняется
2 (360°) – не меняется
- определяем угол, для этого смотрим в какой четверти находится первоначальный угол первоначальной функции
- Значение тригонометрических функций некоторых углов
0 | |||||||
0 | 1 | 0 | -1 | ||||
1 | 0 | -1 | 0 | ||||
0 | 1 | - | 0 | - | |||
- | 1 | 0 | - | 0 |
- Радианное измерение углов
Углы в градусах |
| 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
Углы в радианах |
|
Задание В8
- Касательная к графику функции в точке с абсциссой х0
Значение производной функции в точке с абсциссой х0
(х0) = k = tg
k – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х0
y = kx + b – уравнение касательной
α – угол между касательной и положительным направлением оси Ох
у у = kx +b y
α x α x
y = kx + b
k > 0
(х0) > 0 k < 0
(х0) < 0
(х0) = tg
=
=
т. е. ищем прямоугольный треугольник, к котором целое число клеток в катетах.
- Касательная параллельная прямой y = kx + b
- Дана функция f(x) и прямая y = kx + b параллельная касательной. Найти
(х0).
(х0) = k
- Находим производную функции. Если она есть.
- Приравниваем её к k.
- Решаем уравнение и находим х0.
В. Дан график производной. Найти абсциссы х0 в которых касательные параллельны прямой y = kx + b. У у = (х)
- Проводим прямую у = k. у = k
- Точки пересечения прямой у = k с 0 графиком производной и есть х1 х2 х3 х искомые х0.
- Возрастание и убывание функции.
Если (х0) > 0, то функция убывает.
Если (х0) < 0, то функция возрастает.
- Точки экстремума (min и max)
- В точках экстремума производная равна нулю, т.е.
- На графике это точка пересечения графика
- Точка min – производная при переходе через эту точку меняет знак с
на знак
.
- Точка max – производная при переходе через эту точку меняет знак с
Задание В9
Объёмы и площади поверхностей.
- Параллелепипед.
В1 С1 V = а ∙ b ∙ c
Sбок = 2с ∙ (а + b)
А1 D1 Sполн = Sбок + 2Sосн = 2с ∙ (a + b) + 2ab
d
Диагональ параллелепипеда
c B C
а d2 = a2 + b2 + c2
A b D
2. Прямая призма.
- В основании правильный треугольник.
V = h ∙ Sосн = h ∙ a2
Sбок = 3a∙h
h Sполн = Sбок + 2Sосн = 3a∙h + a2
если цилиндр вписан в призму, то
a r =
a a если цилиндр описан около призмы, то
R =
- В основании правильный четырехугольник (квадрат).
V = h ∙ Sосн = h∙a2
Sбок = 4a∙h
h Sполн = Sбок + 2Sосн = 4a∙h + 2 a2
а если цилиндр вписан, то r =
а если цилиндр описан, то R =
- В основании правильный шестиугольник.
V = h ∙ Sосн = h ∙ a2
Sбок = 3a∙h
h Sполн = Sбок + 2Sосн = 6a∙h + 3 a2
если цилиндр вписан, то r =
a если цилиндр описан, то R = а
- В основании прямоугольный треугольник.
a V = h ∙ Sосн = h∙a∙b
b C Sбок = h∙(a + b + c)
Sполн = Sбок + 2Sосн = h∙(a + b + c) + h∙a∙b
если цилиндр вписан, то r =
если цилиндр описан, то R = , где с =
- гипотенуза
C. В основании ромб.
a d1 V = h ∙ Sосн = h∙d1 ∙d2
d2 Sбок = 4a∙h
Sполн = Sбок + 2Sосн = 4a∙h + d1 ∙d2
3. Цилиндр.
V = h ∙ Sосн = h∙π∙r2
Sбок = 2π∙r ∙h
Sполн = Sбок + 2Sосн =2π∙r ∙h + 2 π∙r2= 2π∙r∙(r + h)
H h
4. Конус.
V = ∙h ∙ Sосн =
∙h∙π∙r2
Sбок = π∙r ∙l
h Sполн = Sбок + Sосн = π∙r ∙l + π∙r2= π∙r∙(r + l)
5. Усеченный конус.
V = ∙h∙(S1 +
+ S2)
Sбок = π∙(r + R)∙l
Sполн = Sбок + Sосн1 + Sосн2 = π∙(r + R)∙l + π∙r2 + π∙R2
6. Куб.
V = а3
Sбок = 4a2
Sполн = 6 a2
7. Пирамида.
- Правильная треугольная пирамида.
V = ∙h ∙ Sосн =
∙h∙а2
h ha Sбок = ha∙a =
a Sполн = Sбок + Sосн = +
a2
- Правильная четырехугольная пирамида.
V = ∙h ∙ Sосн =
∙h∙а2
h ha Sбок =4 ∙ ha∙a =
a Sполн = Sбок + Sосн = + a2
- Правильная шестиугольная пирамида.
V = ∙h ∙ Sосн =
∙h∙а2
h ha Sбок =6 ∙ ha∙a =
a Sполн = Sбок + Sосн = +
a2
8. Правильный тетраэдр с ребром а
V = ; Sбок =
ha∙a =
a2
a h ha Sполн = Sбок + Sосн = a2 +
a2=
R = a – радиус описанной сферы
a R = a - радиус вписанной сферы
9. Сфера. Шар.
V = πR3
R S = 4 πR2
а) Шар, вписанный в параллелепипед (с измерениями: a, b, c).
а = 2R, b = 2R, c = 2R Vпарал = 8R3
b) Шар, описанный около параллелепипеда (с измерениями: a, b, c).
R = =
c) Шар, вписанный в цилиндр .
r = R – радиус основания цилиндра
h = 2R – высота цилиндра
Vцил = 2πR3
10. Объём многогранника.
V = V1 + V2
V1
V2
11. Равносторонний треугольник.
S = a2
r = - радиус вписанной окружности
R = - радиус описанной окружности
ha = a - медиана, высота и биссектриса
Задание В11
- Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.
- Находим производную функции
- Приравниваем полученную производную к нулю и решаем уравнение:
- Из полученных корней выбираем те, которые принадлежат отрезку.
- Находим значение функции в выбранных корнях и на концах отрезка.
- Из полученных значений выбираем наибольшее или наименьшее.
- Нахождение точек экстремума (min или max).
- Находим производную функции
- Приравниваем полученную производную к нулю и решаем уравнение:
- Если производная функции меняет знак с «+» на «-» при переходе через полученный корень, то эта точка - max.
- Если производная функции меняет знак с «-» на «+» при переходе через полученный корень, то эта точка – min.
- Производная произведения.
(uv), = u,v + uv,
- Производная дроби.
=
- Производные основных функций.
()’= -
; (
)’ =
;
(хр)’= p xp – 1; (sin x)’ = cos x;
(ех)’ = ех; (cos x)’ = - sin x;
()’ =
; (tg x)’ =
;
()’ =
; (сtg x)’ = -
;
(ах)’ = ах∙ln a.
- Производные сложных функций.
()’= -
∙ u’; (
)’ =
∙ u’;
(еu)’ = еu∙u’; (sin u)’ = cos u ∙ u’;
(uр)’= p up – 1 ∙ u’; (cos u)’ = - sin u ∙ u’;
()’ =
∙ u’; (tg u)’ =
∙ u’;
()’ =
∙ u’; (сtg u)’ = -
∙ u’;
(аu)’ = аu∙ln a ∙ u’.
Задание В12
- Задачи на движение.
- S = v ∙ t , v =
, t =
, где S – путь, v – скорость, t – время
v | S | t | |
1 тело | |||
2 тело |
- Тела движутся навстречу друг другу.
Время встречи t = ,
где S0 – расстояние между первым и вторым в начальный момент,
v1 – скорость первого,
v2 – скорость второго.
t =
+
=
,
где - время движения первого до встречи,
- время движения второго до встречи.
- Одно тело догоняет другое.
Время, за которое второй догоняет первого t = ,
где S0 – расстояние между первым и вторым в начальный момент,
v1 – скорость первого,
v2 – скорость второго.
t =
-
=
,
где - время движения первого,
- время движения второго.
- Движение по течению и против течения реки.
vпо теч. = vсобств. + vтеч.
vпр теч. = vсобств. - vтеч.
vсобств. =
vтеч. =
v | S | t | |
по течению | |||
против течения |
- Задачи на работу.
А = Р ∙ t, P = , t =
.
где А – работа,
Р – производительность (т.е. часть работы, выполненной за единицу времени),
t – время за которое была выполнена работа.
Время выполнения работы при совместной работе t = ,
где t1 – время выполнения работы первым,
t1 - время выполнения работы вторым.
t =
+
=
А | Р | t | |
1 | |||
2 |
- Задачи на сплавы, смеси и растворы.
cm = ∙ 100%, mk =
∙
, mo =
∙ 100%
m0 – общая масса,
сm – процентное отношение массы компонентов,
mk - масса компонентов.
m0 | mk | cm | |
1 | |||
2 |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
тестовые задания « Подготовка металлических поверхностей под простую и улучшенную окраску», «Подготовка деревянных поверхностей под штукатурку».
Тестовые задания,которые проводятся в конце четверти....
Элективный курс "Подготовка к экзамену в новой форме по русскому языку в 9 классе" готовит к экзамену девятиклассников. Материалы этого курса могут быть использованы и при подготовке к ЕГЭ по русскому языку в 11 классе.
№п/пДатаТема занятияВиды работ1 Структура экзаменационной работы по русскому языку в новой форме и критерии её оцениванияЛекция учителя2 Этапы работы над изложениемЛекция учителя4 Редак...
Психологическая подготовка учащихся при подготовке к ЕГЭ по физике
Единый государственный экзамен имеет ряд особенностей. Эти особенности могут вызывать у выпускников различные трудности. В материале приведены их краткие характеристики и основные пути профилактики....
Модуль 1Микромодуль 1: Подготовка глины Область работы: подготовка сырьевой смеси
Презентация создана для обучения производственного персонала и студентов, прошедших правтику на промышленных предприятиях, по теме "Оборудование дробильного отделения цементных заводов, работающих по ...
Методическая разработка "Подготовка учащихся к написанию эссе в ходе обобщающего повторительного курса "Обществознания" для подготовки к Единому государственному экзамену.
Аннотация: в работе представлена практическая методика, позволяющая активизировать учебную деятельность учащихся в процессе подготовки успешного написания эссе при сдаче ЕГЭ по обществознанию....
Физическая подготовка, Тактическая подготовка,Тактика защиты, Техническая подготовка
Строевые упражнения. Понятие о строе и командах. Шеренга, колонна, дистанция и интервал. Расчет по порядку. Расчет на «первый—второй». Перестроение из одной шеренги в две. Размыкание и смыкание ...
Контрольно-переводные нормативы по общей физической и специальной физической подготовки для перевода с дополнительной образовательной программы физкультурно-спортивной направленности шахматы на подготовку на этапе начальной подготовки (второй год обучени
Контрольно-переводные нормативыпо общей физической и специальной физической подготовки для перевода с дополнительной образовательной программы физкультурно-спортивной направленности шахматы на п...