Главные вкладки

    Методическая разработка"Решение задач на концентрацию, сплавы, смеси"
    методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

    Поиск решения задач на примерах задач на концентрацию

    Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.

    Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы  для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.

    Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах:

    1. составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;
    2. решения полученной модели;
    3. анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнения в системе и пр.).

    Скачать:


    Предварительный просмотр:

    Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

    «Перенская средняя школа»

    Смоленской области

    МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

    «Решение задач на концентрацию, сплавы, смеси»

     

                             

     Выполнила учитель математики

                                        Первой квалификационной категории

                             Соловьева Галина Дмитриевна

    2015г

    Поиск решения задач на примерах задач на концентрацию

    Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.

    Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы  для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.

    Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах:

    1. составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;
    2. решения полученной модели;
    3. анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнения в системе и пр.).

    Основными компонентами в этих задачах являются:

    1. масса раствора (смеси, сплава);                                                - М
    2. масса вещества;                                                                           -m
    3. доля (% содержание) вещества (концентрация вещества  -P

    При решении большинства задач этого вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки. При решении большинства задач этого вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.

    Стандартная таблица для решения задач на сплавы и смеси:

    1-ый сплав

    2-й сплав

    итого

    1-ое вещество

    m1

    m2

    m = m1  +  m2

    2-ое вещество

    M1

    M2

    M = M1  + M2

    % 1-го вещества

    P1

    P2

    P1 + P2

    всего

    M = m1 + M1

    M2 = m2 + M2

    M= M1 + M2 = m + M

    Основная формула, применяемая при решении задач на сплавы:

    P = m / M *100%    (**)

    Предлагаю урок в девятом классе по теме:

    «Поиск решения задач на примерах задач на концентрацию»

    Цели урока:  Выработка умений самостоятельно применять знания

                            в комплексе в новых условиях

    Тип урока: Урок комплексного применения знаний (практикум).

    Методы обучения: Управление самостоятельной работой

                                      учащихся тренировочного характера

    Оборудование:

    Раздаточный материал: листы с текстом задач и таблицами поиска решения задачи.

    Плакаты с основными математическими моделями функциональной зависимости величин.

    Плакаты с понятием концентрации.

    Ход урока:

     

    Подготовка к основному этапу занятия (вводная беседа)

    Задачи, которые будут рассмотрены сегодня на уроке, вызывают у ребят чуть ли не ужас, хотя они не сложнее других, которые уже рассмотрены нами: задачи на движение, на работу и производительность труда, урожай и урожайность, покупку и т.д.

    Т.е. задачи, в основе решения которых лежит функциональный треугольник.

      Итак, тема сегодняшнего урока – решение текстовых задач на концентрацию. Эти задачи довольно часто встречаются на ЕГЭ. Давайте не будем их бояться, т.е. научимся их решать!

      В толковом словаре концентрация (лат conc+centrum)-центр, сосредоточение.

      В химии - относительное содержание данной составной части (компонента) в смеси, растворе, сплаве.

    Сейчас мы во всем с вами разберемся. Обратимся к рисунку №1.

    Рисунок№1раствор

    Нальем в стакан 150г воды и растворим в ней 50г сахара. Какой станет масса раствора?

    (Ответ: 200г)            

    Раствор тщательно перемешиваем.

    Введем следующие обозначения:

    Мобщ=50г+150г=200г-масса общая

    Мч.в.=50г-масса чистого вещества

    К=50г/200г=1/4-концентрация растворов, т.е. К=Мч.в./Мобщ

    1/4×100%=25%-процентное содержание чистого вещества в данном растворе

    Mобщ=50г+150г=200г

    Мч.в.=50г

    К=50г/200г=1/4=0.25=Мч.в./Мобщ

    0.25×100%=25%

    Далее учащимся предлагается внимательно прочесть текст

    задачи №1, установить в чем состоит ее требование (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решить задачу.

    Задача №1

    Текст №1

    Один раствор содержит 30% по объему азотной кислоты, а  второй 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго раствора, чтобы получить 100 л 50% процентного раствора азотной кислоты.

        

    Работа  с текстом задачи

       После изучения текста задачи, с учащимися проводится собеседование, помогающее установить глубину изучения текста учениками.

    Вопросы учителя

    Предполагаемые ответы ученика

    Какие величины содержатся в задаче?

    Общий объем, объем чистого вещества, концентрация.

    Как связаны между собой Vобщ, Vч.в., К?

    Vобщ=Vч.в./К; Vч.в.=Vобщ×К; К=Vч.в./Vобщ

    Сколько можно выделить в задаче случаев?

    Три  случая.

    Какая неизвестная величина является искомой?

    Объемы первого и второго растворов.

    Как найти объем чистого вещества в третьем случае?

    Чтобы найти объем чистого вещества в третьем случае нужно 100×0.5 или к Vч.в. в первом случае прибавить Vч.в. во втором случае.

    Выполненный анализ позволяет осуществить запись условия и требования задачи в виде таблицы:

      Vобщ (л)

               К

        Vч.в. (л)

         I

         ?

         30%=0.3

         ?

         II

         ?

         55%=0.55

         ?

         III

         100

         50%=0.5

         ?

     

            Поиск решения задачи

      Умение ученика составить подобную таблицу говорит о том, что он усвоил условие и требование задачи и может самостоятельно приступить к поиску ее решения путем записи ответов вместо знаков вопроса, содержащихся в таблице. В результате, таблица как модель поиска решения задачи позволяет получить соответствующее уравнение. С этой целью вводится обозначение искомой или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной учителем совместно с учащимися стратегии решения задачи.

      Далее, пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и зависимостью между разноименными величинами, на основе табличной записи текста задачи, заполняется таблица поиска.

    Vобщ

    К

    Vч.в.

        I

    х

    0.3

    0.3х

        II

    100-х

    0.55

    0.55(100-х)

        III

    100

    0.5

    0.5×100

     

      Исходя из модели поиска решения задачи, записывается уравнение

                 0.3X+0.55×(100-X)=50

       Рассмотрим следующую задачу

    Задача№2

    Текст№2

    Один сплав содержит два металла, массы которых относятся как 2÷3, а в другом сплаве массы этих же металлов относятся как 3÷7. Какие массы первого и второго сплавов надо сплавить вместе, чтобы получить третий сплав, массой 1.5кг, в котором эти металлы (по массе) находились бы в отношении 1÷2?

     Учащимся предлагается обозначить металлы, из которых состоят сплавы через А и В. И, для удобства дальнейших рассуждений, условие задачи проиллюстрировать диаграммой.

     Обращается внимание учащихся на то, что если в задаче известно отношение металлов, то концентрация металлов А и В в сплавах считается известной.

      После изучения текста задачи, учащимися выполняется табличная запись текста.

    Работа  с текстом задачи

    Мобщ(кг)

                К

               Мч.в.(кг)

        А

         В

           А

            В

       I

         ?

       2/5

       3/5

        ?        

        ?

       II

         ?

       3/10

       7/10

        ?

        ?

       III

         1.5

       1/3

       2/3

        ?

        ?

    Поиск решения задачи

      Вводится обозначение искомой или другой неизвестной величины и пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и зависимостью между разноименными величинами, на основе табличной записи текста задачи, заполняется таблица поиска решения задачи.

       Обозначив через Xкг массу первого сплава и через Yкг массу второго сплава.

    Мобщ(кг)

                   К

                Мч.в.(кг)

          А

            В

            А

            В

      I

      X

      2/5

       3/5

       2/5X

      3/5X

      II

      Y

      3/10

       7/10

      3/10Y

     7/10Y

      III

      1.5

      1/3

       2/3

        0.5

        1

    Модель поиска решения задачи дает систему уравнений:

    2/3X+3/10Y=0.5

    3/5X+7/10Y=1.0

      Можно заметить, что вместо второго уравнения системы можно было записать и более простое условие на вес сплавов: X+Y=1.5

    (в нашем случае это условие получается при сложении уравнений системы).

     Поиск решения задачи закончен.

     Рассматриваем следующую задачу.

     Задача№3

     Текст№3

     Из сосуда наполненного 96%-ным раствором кислоты отлили 2.5л 80%-ного раствора той же кислоты, затем еще раз отлили 2.5л и снова долили 2.5л  80%-ного раствора кислоты. После этого в сосуде получился 89%-ный раствор кислоты.

    Найти емкость сосуда.

    Работа  с текстом задачи

     Учащиеся выполняют табличную запись данных и неизвестных величин, о которых говорится в задаче.

    Ситуации

          Vобщ

             К

         Vч.в.

    I

    Было

      ?

     96%-0.96

         ?

    Отлили

      -2.5

    0.96

        -?

    Стало

      ?

    0.96

         ?

    II

    Долили

      +2.5

    80%-0.8

       +?

    Стало

      ?

        ?

         ?

    III

    Отлили

      -2.5

        ?

        -?

    Стало

      ?

        ?

         ?

    IV

    Долили

      +2.5

    80%-0.8

       +?

    Стало

      ?

    89%-0.89

         ?

     Учащимся предлагается ставить знак минус (-) около тех величин, которые «отливаются» и знак плюс (+) около тех величин, которые «доливаются».

    Поиск решения задачи

      После этого заполняется таблица поиска решения,  обозначив через X л емкость (объем) сосуда.

      Кроме этого, обращается внимание учащихся на тот факт, что по смыслу задачи X>2.5.

         Cитуации

          Vобщ

             К

         Vч.в.

    I

    Было

      х

     96%-0.96

    0.96x

    Отлили

      -2.5

    0.96

    -2.5×0.96=-2.4

    Стало

      x-2.5

    0.96

    0.96x-2.4

    II

    Долили

      +2.5

    80%-0.8

    2.5×0.8=2

    Стало

      x

    (0.96x-0.4)/x

    0.96x-2.4+2==0.96x-0.4

    III

    Отлили

      -2.5

    (0.96x-0.4)/x

    -2.5×(0.96x-0.4)/x

    Стало

      x-2.5

    (0.96x-0.4)/x

    (x-2.5)×(0.96x-0.4)/x

    IV

    Долили

      +2.5

    80%-0.8

    2.5×0.8=2

    Стало

      x

    89%-0.89

     0.89x

      Учащимся, закончившим работу быстрее других, предлагается решить полученное уравнение

                     

                         0.89X=(X-2.5)×(0.96X-0.4)/X+2

                                     

                                         Решение

                         0.89X2=0.96X2-0.4X-2.4X+1+2X

                         0.07X2-0.8X+1=0

                         7X2-80X+100=0

                          X1=10   ;    X2=7/10

                X=7/10 не удовлетворяет условию X>2.5

    Подведение итогов занятия

    Итак, мы рассмотрели 2 типа наиболее часто встречающихся  видов задач со смесями и сплавами. Обобщим наши знания.

    1тип. 

    Чаще всего встречаются задачи, в которых известны процентные содержания одного и того же вещества как в двух исходных сплавах, так и в сплаве, полученном после их соединения.

    Задача: Сколько литров 20% -го раствора кислоты надо добавить к 5 л  40%-го раствора кислоты, чтобы получить раствор с 23% содержанием кислоты?

    Решение: по условию задачи имеем:

    1-ый раствор

    2-й раствор

    итого

    кислота

    % кислоты

    20

    40

    23

    всего

    5

    Обозначим через х объём первого раствора и выразим через х все неизвестные по условию величины. Тогда получим таблицу:

    1-ый раствор

    2-й раствор

    итого

    кислота

    0,2х

    2

    0,2х+2

    % кислоты

    20

    40

    23

    всего

    х

    5

    Х+5

    Используя формулу (**), получим уравнение: (0,2х+2)/(х+5)=23/100

    Решив уравнение, запишем ответ: х=28⅓ л

    Примеры на 1 тип задач:

    Один раствор содержит 20% кислот, а второй – 70% кислот.

    Сколько литров первого и второго раствора нужно взять, чтобы

    получить 100 л раствора с 50%-ным содержанием кислот?

    Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг, содержащий 40% меди. Сколько чистого олова нужно добавить к нему, чтобы

    получить сплав с 30%-ным содержанием меди?

    Сплав алюминия и магния отличается большой прочностью и

    пластичностью. Первый такой сплав содержит 5% магния, второй

    сплав –3% магния. Масса второго сплава в 4 раза больше, чем

    масса первого сплава. Эти сплавы сплавили и получили 3 кг но-

    вого сплава. Определите, сколько граммов магния содержится в

    новом сплаве.

    Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Пер-

    вый сплав содержит 10% цинка, второй – 40% цинка. Новый

    сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20% цин-

    ка. Определите массу нового сплава.

    2тип. 

    Одна из смесей содержит лишь один элемент. В таком случае процент (концентрация)  вещества может быть равен 0 или 100, что не всегда понятно учащимся.

    Задача: Морская вода содержит 5% по весу соли. Сколько килограммов пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составило 2%?

    Решение: первоначальная таблица имеет вид:

    Морская вода

    Пресная вода

    итого

    Вода

    Соль

    0

    %соли

    5

    0

    2

    итого

    80

    За х примем количество добавляемой пресной воды, тогда таблица примет вид:

    Морская вода

    Пресная вода

    итого

    Вода

    76

    х

    76+х

    Соль

    4

    0

    4

    %соли

    5

    0

    2

    итого

    80

    х

    80+х

    Используя формулу (**) и последний столбец таблицы получим уравнение:

    4 / (80+х) =2/100

    Решив уравнение, запишем ответ: 120 кг

    Примеры на 2 тип задач:

    Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной

    воды надо добавить к 40кг морской воды, чтобы получить рас-

    твор, содержащий 2% соли?

    Имеется 600г сплава золота с серебром, содержащего золото и

    серебро в отношении один к пяти соответственно. Сколько грам-

    мов золота необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый

    сплав содержал 50% серебра?

    Имеется кусок сплава меди и олова общей массой 12 кг, со-

    держащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к

    этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40%

    меди?

    В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

      Для того чтобы научиться решать задачи, надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение – как объект конструирования изобретения.

      Древние говорили: Научить нельзя, можно только научиться. Помните всегда об этом.

    Информация о домашнем задании

             Дома предлагается решить задачи №197,198 из учебника

    А.Г. Мордкович с соавт. за 9 класс. Обе обозначены «звёздочкой». Пусть вас это не пугает. Они не сложнее тех, которые мы сегодня рассмотрели с вами на уроке. При выполнении домашнего задания, в тетрадях необходимо построить две таблицы (по образцу классной работы). В первой таблице записать условие и требование задачи, а затем заполнить таблицу поиска решения задачи.

    Литература:

    Крамор В.С., Лунгу К.Н. “Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры”, часть I. – М.:Аркти, 2001.

    Сельская школа /Практический журнал руководителей и учителей сельских школ/ № 4-2010

    Материалы Интернета


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Табличный метод решения задач на концентрацию, смеси, сплавы

    При решении большинства задач  на концентрацию, смеси и сплавы, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие о...

    Решение задач на концентрацию, смеси и сплавы 9 класс

    Разбор задач на концентрацию и сплавы...

    От простого к сложному. Методическая разработка "Решение задач на проценты в старших классах".

    Подборка типовых заданий на проценты из материалов ЕГЭ по математике. Дидактические матьериалы скомпанованы в виде карточек для организации работы на уроке. Учитывая различный уровень сложности предло...

    Методическая разработка "Решение задач по генетике"

    Методическая разработка "Решение задач по генетике" включает в себя цикл уроков по решению генетических задач и предназначена для ведения элективного курса...

    Презентация к уроку алгебры по теме « Решение задач на концентрацию, смеси и сплавы».

    Данная презентация представляет собой учебное пособие по решению задач данного типа. Приём решения, рассказанный в слайдах данной презентации, могут использовать как обучающиеся, так и педагоги....