Табличный метод решения задач на концентрацию, смеси, сплавы
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Материал подготовила учитель математики

                                                  МБОУ Сокольская СОШ

                                          Рахматуллина Н.Н.,

                                                            1 квалификационная категория

Табличный метод решения задач на концентрацию, смеси, сплавы.

Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие.

Задачи на смеси и сплавы, ранее встречающиеся практически только на вступительных экзаменах в ВУЗы и олимпиадах, сейчас включены в КИМы  для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы. Эти задачи, имеющие практическое значение, являются также хорошим средством развития мышления учащихся.

Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах:

1. составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.;
2. решения полученной модели;
3. анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнения в системе и пр.).

Основными компонентами в этих задачах являются:

1. масса раствора (смеси, сплава);                                                - М
2. масса вещества;                                                                           -m
3. доля (% содержание) вещества (концентрация вещества  -P

При решении большинства задач этого вида, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие определенного расположения величин в таблице дает дополнительную информацию, облегчающую процесс решения задачи и её проверки.

Стандартная таблица для решения задач на сплавы и смеси:

Основная формула, применяемая при решении задач на сплавы:

P = m / M *100%    (**)

В задачах на концентрацию, смеси, сплавы уравнение, как правило, составляется по последнему столбцу.

Рассмотрим 2 типа наиболее часто встречающихся  видов задач со смесями и сплавами.

1тип. 

Чаще всего встречаются задачи, в которых известны процентные содержания одного и того же вещества как в двух исходных сплавах, так и в сплаве, полученном после их соединения.

Задача: Сколько литров 20% -го раствора кислоты надо добавить к 5 л  40%-го раствора кислоты, чтобы получить раствор с 23% содержанием кислоты?

Решение: по условию задачи имеем:

Обозначим через х объём первого раствора и выразим через х все неизвестные по условию величины. Тогда получим таблицу:

Используя формулу (**), получим уравнение: (0,2х+2)/(х+5)=23/100

Решив уравнение, запишем ответ: х=28⅓ л

Примеры на 1 тип задач:

1. Один раствор содержит 20% кислот, а второй – 70% кислот.

Сколько литров первого и второго раствора нужно взять, чтобы

получить 100 л раствора с 50%-ным содержанием кислот?

2. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 15кг, содержащий

40% меди. Сколько чистого олова нужно добавить к нему, чтобы

получить сплав с 30%-ным содержанием меди?

3. Сплав алюминия и магния отличается большой прочностью и

пластичностью. Первый такой сплав содержит 5% магния, второй

сплав –3% магния. Масса второго сплава в 4 раза больше, чем

масса первого сплава. Эти сплавы сплавили и получили 3 кг но-

вого сплава. Определите, сколько граммов магния содержится в

новом сплаве.

4. Масса первого сплава на 3 кг больше массы второго сплава. Пер-

вый сплав содержит 10% цинка, второй – 40% цинка. Новый

сплав, полученный из двух первоначальных, содержит 20% цин-

ка. Определите массу нового сплава.

2тип. 

Одна из смесей содержит лишь один элемент. В таком случае процент (концентрация)  вещества может быть равен 0 или 100, что не всегда понятно учащимся.

Задача: Морская вода содержит 5% по весу соли. Сколько килограммов пресной воды нужно прибавить к 80 кг морской, чтобы содержание соли в последней составило 2%?

Решение: первоначальная таблица имеет вид:

За х примем количество добавляемой пресной воды, тогда таблица примет вид:

Используя формулу (**) и последний столбец таблицы получим уравнение:

4 / (80+х) =2/100

Решив уравнение, запишем ответ: 120 кг

Примеры на 2 тип задач:

5. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной

воды надо добавить к 40кг морской воды, чтобы получить рас-

твор, содержащий 2% соли?

6. Имеется 600г сплава золота с серебром, содержащего золото и

серебро в отношении один к пяти соответственно. Сколько грам-

мов золота необходимо добавить к этому сплаву, чтобы новый

сплав содержал 50% серебра?

7. Имеется кусок сплава меди и олова общей массой 12 кг, со-

держащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к

этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40%

меди?

8. В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

Литература:

1. Крамор В.С., Лунгу К.Н. “Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры”, часть I. – М.:Аркти, 2001.
2. Сельская школа /Практический журнал руководителей и учителей сельских школ/ № 4-2010
3. Материалы Интернета