Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и смеси
консультация по алгебре (11 класс) по теме
примеры задач и решений к ним
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 39.58 КБ |
Предварительный просмотр:
Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и смеси
Выступление
на городском МО учителей математики
учителя математики
МКОУ СОШ № 10
Х. Перевальный
Асановой Аминат Аргуновны
Ноябрь 2013 г.
Тема: «Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и смеси»
Рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. У многих учащихся эти задачи вызывают затруднения. Вероятно, это связано с тем, что таким задачам в школьном курсе математики уделяется совсем мало времени. Вместе с тем эти задачи встречаются в диагностических и тренировочных работах СТАТГРАД МИОО и на ЕГЭ. Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреблять термин «смесь» не зависимо от её вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная). Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество, в каждой задаче определяем отдельно.
Формула для нахождения концентрации
СА= · 100, где
А – вещество в сплаве
М – масса сплава
МА – масса вещества А в сплаве
СА – концентрация вещества А в сплаве (в %)
В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы.
Задача №1
В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки (перманганат калия). В нее долили 60г 30 %-го раствора марганцовки. Определить процентное содержание марганцовки в полученном растворе.
Решение.
Заполним таблицу по условию задачи:
СА | М | МА | |
1-й раствор | 10% или 0,1 | 140 | 0,1·140 |
2-й раствор | 30% или 0,3 | 60 | 0,3·60 |
3-й раствор | 200 | 0,1·140 +0,3·60 |
Концентрация раствора равна : СА= ·100 = 16 (%)
Ответ: 16%
Задача №2
I способ
Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го раствора марганцовки, чтобы получить 200г 16%-го раствора марганцовки?
Решение.
Заполним таблицу по условию задачи:
СА | М | МА | |
1-й раствор | 10% или 0,1 | х | 0,1х |
2-й раствор | 30% или 0,3 | у | 0,3у |
3-й раствор | 16% или 0,16 | 200 | 0,16· 200 |
Составим и решим систему уравнений:
Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.
Намного проще, на мой взгляд, решить задачу по правилу «прямоугольника» или «креста», применяемому химиками:
Смешали два раствора: первый - массой m1 г и концентрацией с1 и второй – массой m2г и концентрацией с2, получили раствор массой (m1 + m2)г и концентрацией с3, причем с1< с3< с2.
Найдем зависимость масс исходных растворов от их концентраций.
Масса основного вещества в первом растворе равна с1 m1 г, во втором растворе - с2 m2, а в смеси с3(m1 + m2)г.
Составим равенство с1 m1 + с2 m2= с3(m1 + m2), откуда следует пропорция
=
с1 с2- с3 с3 с2 с3 –с1 |
II способ
10 14 16 30 6 |
х
200- х
х= 140(г)- 10% р-р
200 -140 = 60(г) 30% р-р
Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.
Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение.
15 19-х х 19 х- 15 |
1ч
1ч
Пусть концентрация раствора равна х%.
= 1; х= 17
Ответ: 17%.
Задача №3 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)
Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Какова концентрация кислоты в первом сосуде?
Решение.
Пусть концентрация первого раствора кислоты – с1,а концентрация второго – с2 .
СА | М | МА | |
1-й раствор | с1 | 30 | 30с1 |
2-й раствор | с2 | 20 | 20с2 |
3-й раствор | 0,68 | 50 | 50· 0,68= 34 |
4-й раствор | 70% или 0,7 | mс1+mс2 | 2m·0,7 |
Решим полученную систему уравнений:
Поэтому m1= 0,6·30=18
Ответ: 18%
Задача №4 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)
Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Решение.
Пусть масса первого сплава х кг, а масса второго – (х+3)кг
10 10 30 40 20 |
х кг
(х+3)
=
; х= 3(кг)- масса первого сплава
3+(3+3)= 9(кг) масса второго сплава
Ответ: 9кг.
Задача №5 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение аналогично решению задачи № 4
10 5 25 30 15 |
х кг
(200-х)
=
; х= 50(кг)- масса первого сплава
200- 50= 150(кг)- масса второго сплава
150-50 = 100(кг)
Ответ: 100кг.
Задача №6 (Тренировочная работа № 1 от 22 ноября 2012г)
Смешав 14-процентный и 50-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 22-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32 -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 14-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение.
Пусть масса 14-процентного раствора кислоты – х кг, а масса 50-процентного – у кг . Если смешать 14-процентный и 50-процентный растворы кислоты и добавить кг чистой воды, получится 22-процентный раствор кислоты:0,14х+0,5у= 0,22(х + у +10). Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32% раствор кислоты:0,14х+0,5у+0,5·10=0,32(х +у+10) . Решим полученную
систему уравнений:
Ответ: 25кг.
Задача №6 (Диагностическая работа №3 от 13 марта 2013г)
Имеется два сосуда. Первый содержит 100кг, а второй- 20кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 72% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78 % кислоты. Каково процентное содержание кислоты в первом сосуде?
Решение.
Пусть концентрация первого раствора х%, а второго у%.
1)
х у- 72 72 у 72-х |
100 кг
20 кг
=5;
2)
х у- 78 78 у 78-х |
1ч
1ч
=1;
3) решим систему уравнений
Ответ: 69%.
Задача №7
Сплав из золота и серебра весом 13кг 410г при полном погружении в воду стал весить 12 кг 510г. определите массы золота и серебра в сплаве, если плотность золота 19.3 г/см3,а серебра 10,5 г/см3.
Решение.
По закону Архимеда, сплав при погружении в воду теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им вода, то есть 13.41- 12,51= 0,9(кг).
Плотность воды равна 1г/см3, поэтому объем сплава равен 900 см3, а его плотность равна
= 14.9 (г/см3).
Составим схему, где в левой колонке и в центре стоят массы 1см3 серебра, золота и сплава:
10,5 4,4 14,9 19,3 4,4 |
Рассматривая правую колонку, видим, что золота и серебра в сплаве одинаковое число частей. Значит, массы золота и серебра в сплаве равны.
13, 41 :2 = 6, 705 (кг)
Ответ: по 6.705 кг
Задача №8
Концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию. Если смещать первый, второй и третий растворы в отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если смешать эти растворы в отношении3:2:1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Какова доля спирта в каждом растворе?
Решение:
Пусть первый раствор содержит х%, второй –у%, а третий z% спирта. При первом перемешивании смешали 2ч первого раствора, 3ч второго раствора и 4ч третьего и получили раствор, содержащий 32% спирта. Получим первое уравнение: 0,02х + 0,03у +0,04z =0,32·9,
2х +3у+ 4z = 288.
При повторном перемешивании смешали 3ч первого раствора, 2 ч второго и 1ч третьего и получили раствор, содержащий 22% спирта. Получим второе уравнение: 0,03х + 0,02у+ 0,01 z = 0,22·6,
3х+ 2у+ z =132.
Учитывая, что концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию: х, у, z, получим третье уравнение: у2= хz.
Составим и решим систему уравнений:
Из первых двух уравнений выразим у и z через х.
у = 48- 2х, z = х+36, подставляя в третье уравнение получим:
(48-2х)2 = х(х+ 36)
482 – 192х +4х2 =х2 + 36х
3х2- 228х+ 2304= 0
х2- 76х+ 768= 0
х1=12
х2= 64 не является решением так как если х= 64, у<0.
Ответ: в первом 12%, во втором 24%, в третьем 48%.
Задачи на переливание
При решении этих задач еще раз следует напомнить учащимся, что выполняются следующие допущения: «закон сохранения масс» и «закон сохранения объемов», как для всей смеси, так и для каждого из ее компонентов. При этом следует считать, что плотности растворов изменяются незначительно и примерно равны плотности воды, то есть растворы сильно разбавлены, или наоборот, мы имеем дело с сильно концентрированными растворами и разбавляем их незначительно, но тогда плотность раствора близка к плотности основного вещества.
Задача № 9
В первой кастрюле был 1л кофе, а во второй- 1л молока. Из второй кастрюли в первую перелили 0,13л молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 0,13л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?
Решение.
- В первой кастрюле стало 1,13л смеси, в которой молоко составило
=
, а кофе – 1-
=
.
- Во второй кастрюле осталось0,87л молока и добавили 0,13л смеси, в которой кофе было 0,13 ·
=
.
Ответ: одинаково.
Задача №9
Баллон емкостью 8л наполнен кислородно-азотной смесью, причем кислород составляет 16% смеси. Из баллона выпускают некоторый объем смеси, после чего дополняют баллон азотом и вновь выпускают такой же объем смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом. В результате в баллоне остается 9% кислорода. Сколько литров смеси выпустили из баллона в первый раз?
Решение.
Предположим, что в первый раз выпустили х литров смеси и дополнили баллон х литрами азота. После первого выпуска смеси в баллоне осталось (8-х) · 0,16 л кислорода, а его концентрация стала равна = (8 – х)· 0,02. После второго выпуска х л смеси в баллоне осталось (8 – х) л смеси с концентрацией кислорода, равной (8 – х)· 0,02. Концентрация кислорода на этом этапе равна
= 0,09, откуда (8 – х)2 = 36, то есть х1 = 2, х2 = 14.
х2 не удовлетворяет условию задачи, так как х< 8.
Ответ: 2 л.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Табличный метод решения задач на концентрацию, смеси, сплавы
При решении большинства задач на концентрацию, смеси и сплавы, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие о...
Решение задач по теме растворы, смеси. сплавы.
Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, вещества или разбавлять что-либо водой. Самый известный и главный сплав в истории цивилизации – это всем известная ст...
Методическая разработка"Решение задач на концентрацию, сплавы, смеси"
Поиск решения задач на примерах задач на концентрацию Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ни...
![](/sites/default/files/pictures/2018/11/28/picture-448497-1543428982.png)
Презентация к уроку алгебры по теме « Решение задач на концентрацию, смеси и сплавы».
Данная презентация представляет собой учебное пособие по решению задач данного типа. Приём решения, рассказанный в слайдах данной презентации, могут использовать как обучающиеся, так и педагоги....
![](/sites/default/files/pictures/2019/02/04/picture-1112092-1549276507.jpg)
Тема урока: Решение задач на концентрацию, смеси и сплавы
Цели урока:-Изучить приём решения задач на концентрацию, смеси и сплавы;-Научиться решать задачи данного типа....
![](/sites/default/files/pictures/2022/11/14/picture-1436059-1668434230.jpg)
Решение задач на концентрацию и сплавы «методом стаканов»
Решение задач на концентрацию и сплавы «методом стаканов»...