Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и смеси
консультация по алгебре (11 класс) по теме

Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и  смеси

Выступление

на городском МО учителей математики

учителя математики

 МКОУ СОШ № 10

Х. Перевальный

Асановой Аминат Аргуновны

                                  Ноябрь 2013 г.

Тема:   «Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и  смеси»

Рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. У многих учащихся эти задачи вызывают затруднения. Вероятно, это связано с тем, что таким задачам в школьном курсе математики уделяется совсем мало времени. Вместе с тем эти задачи встречаются в  диагностических и тренировочных работах СТАТГРАД  МИОО и  на ЕГЭ.  Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреблять термин «смесь» не зависимо от её вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная). Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество, в каждой задаче определяем отдельно.

Формула для нахождения концентрации

              СА=  · 100, где

А  – вещество в сплаве

          М  – масса сплава

МА  – масса вещества А в сплаве

СА – концентрация вещества А в сплаве (в %)

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы.

Задача №1

В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки (перманганат калия). В нее долили 60г 30 %-го раствора марганцовки. Определить процентное содержание марганцовки  в полученном растворе.

Решение.

Заполним таблицу по условию задачи:

Концентрация раствора равна :  СА=  ·100 = 16 (%)

Ответ: 16%

Задача №2

I способ

Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го раствора марганцовки, чтобы получить 200г  16%-го раствора марганцовки?

Решение.

Заполним таблицу по условию задачи:

Составим и решим систему уравнений:

Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.

Намного проще, на мой взгляд, решить задачу по правилу «прямоугольника» или «креста», применяемому  химиками:

Смешали два раствора: первый - массой m1 г и концентрацией с1 и второй – массой m2г и концентрацией с2, получили раствор  массой (m1 + m2)г и концентрацией с3, причем с1< с3< с2.

Найдем зависимость масс исходных растворов от их концентраций.

Масса основного вещества в первом растворе равна с1 m1 г, во втором растворе -  с2 m2, а в смеси с3(m1 + m2)г.

Составим равенство с1 m1 + с2 m2= с3(m1 + m2), откуда следует пропорция

  =  

II способ

х

200- х 

х= 140(г)- 10% р-р

200 -140 = 60(г) 30% р-р

Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.

Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

1ч

1ч

Пусть концентрация раствора равна х%.

 = 1; х= 17

Ответ: 17%.

Задача №3  (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)

Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Какова концентрация  кислоты  в первом сосуде?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора кислоты – с1,а концентрация второго – с2 .

Решим полученную систему уравнений:

Поэтому  m1= 0,6·30=18

Ответ: 18%

Задача №4 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)

Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение.

Пусть масса первого сплава  х кг, а масса второго –  (х+3)кг

х кг

(х+3)

 = ; х= 3(кг)- масса первого сплава

3+(3+3)= 9(кг) масса второго сплава

 Ответ: 9кг.

Задача №5 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение аналогично решению задачи № 4

х кг

(200-х)

 = ;   х= 50(кг)- масса первого сплава

200- 50= 150(кг)- масса второго сплава

150-50 = 100(кг)

Ответ: 100кг.

Задача №6  (Тренировочная работа № 1 от 22 ноября 2012г)

Смешав 14-процентный и 50-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 22-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32 -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 14-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.

Пусть масса 14-процентного раствора кислоты –  х кг, а масса 50-процентного – у кг . Если смешать 14-процентный и 50-процентный растворы кислоты и добавить  кг чистой воды, получится 22-процентный раствор кислоты:0,14х+0,5у= 0,22(х + у +10). Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32% раствор кислоты:0,14х+0,5у+0,5·10=0,32(х +у+10) . Решим полученную

систему уравнений:

Ответ: 25кг.

Задача №6  (Диагностическая работа №3 от 13 марта 2013г)

 Имеется два сосуда. Первый содержит 100кг, а второй- 20кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 72% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78 % кислоты.  Каково процентное содержание кислоты в первом сосуде?

Решение.

Пусть концентрация первого раствора х%, а второго у%.

1)

100 кг

20 кг

         =5;

2)

1ч

1ч

         =1;

3) решим систему уравнений

Ответ: 69%.

Задача №7

Сплав из золота и серебра весом 13кг 410г при полном погружении в воду стал весить 12 кг 510г. определите массы золота и серебра в сплаве, если плотность золота 19.3 г/см3,а серебра 10,5 г/см3.

Решение.

По закону Архимеда, сплав при погружении в воду теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им вода, то есть 13.41- 12,51= 0,9(кг).

Плотность воды равна 1г/см3, поэтому объем сплава равен 900 см3, а его плотность равна

 = 14.9 (г/см3).

Составим схему, где в левой колонке и в центре стоят массы 1см3 серебра, золота и сплава:

Рассматривая правую колонку, видим, что золота и серебра в сплаве одинаковое число частей. Значит, массы золота и серебра в сплаве равны.

13, 41 :2 = 6, 705 (кг)

Ответ: по 6.705 кг

Задача №8

Концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию. Если смещать первый, второй и третий растворы в отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если смешать эти растворы в отношении3:2:1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Какова доля спирта в каждом растворе?

Решение:

Пусть первый раствор содержит х%, второй –у%, а третий z% спирта. При первом перемешивании смешали 2ч первого раствора, 3ч второго раствора и 4ч третьего и получили раствор, содержащий 32% спирта. Получим  первое уравнение: 0,02х + 0,03у +0,04z =0,32·9,

2х +3у+ 4z =  288.

При повторном перемешивании смешали 3ч первого раствора, 2 ч второго и 1ч третьего и получили раствор, содержащий 22% спирта. Получим второе уравнение: 0,03х + 0,02у+ 0,01 z = 0,22·6,

3х+ 2у+ z =132.

Учитывая, что концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию: х, у, z, получим третье уравнение: у2= хz.

Составим и решим систему уравнений:

Из первых двух уравнений выразим у и z через х.

у = 48- 2х, z = х+36, подставляя в третье уравнение получим:

(48-2х)2 = х(х+ 36)

482 – 192х +4х2 =х2 + 36х

3х2- 228х+ 2304= 0

х2- 76х+ 768= 0

х1=12

х2= 64 не является решением так как если х= 64, у<0.

Ответ: в первом 12%, во втором 24%, в третьем 48%.

Задачи на переливание

При решении этих задач еще раз следует напомнить учащимся, что выполняются следующие допущения: «закон сохранения масс» и «закон сохранения объемов», как для всей смеси, так и для каждого из ее компонентов. При этом следует считать, что плотности растворов изменяются незначительно и примерно равны плотности воды, то есть растворы сильно разбавлены, или наоборот, мы имеем дело с сильно концентрированными растворами и разбавляем их незначительно, но тогда плотность раствора близка к плотности основного вещества.

Задача № 9

В первой кастрюле был 1л кофе, а во второй- 1л молока.  Из второй кастрюли в первую перелили 0,13л молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 0,13л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?

Решение.

1. В первой кастрюле стало 1,13л смеси, в которой молоко составило

 = , а кофе – 1-  = .

2. Во второй кастрюле осталось0,87л молока и добавили 0,13л смеси, в которой кофе было 0,13 ·  = .

Ответ: одинаково.

Задача №9

Баллон емкостью 8л наполнен кислородно-азотной смесью, причем кислород составляет 16% смеси. Из баллона выпускают некоторый объем смеси, после чего дополняют баллон азотом и вновь выпускают такой же объем смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом. В результате в баллоне остается 9% кислорода. Сколько литров смеси выпустили из баллона в первый раз?

Решение.

Предположим, что в первый раз выпустили х литров смеси и дополнили баллон х литрами азота. После первого выпуска смеси  в баллоне осталось  (8-х) · 0,16 л кислорода, а его концентрация стала равна  = (8 – х)· 0,02. После  второго выпуска х л смеси в баллоне осталось (8 – х) л смеси с концентрацией кислорода, равной (8 – х)· 0,02. Концентрация кислорода на этом этапе равна  = 0,09, откуда (8 – х)2 = 36, то есть х1 = 2, х2 = 14.

х2 не удовлетворяет условию задачи, так как х< 8.

Ответ: 2 л.