Главные вкладки

    Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и смеси
    консультация по алгебре (11 класс) по теме

    примеры задач и решений к ним

    Скачать:


    Предварительный просмотр:

    Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и  смеси

    Выступление

    на городском МО учителей математики

    учителя математики

     МКОУ СОШ № 10

    Х. Перевальный

    Асановой Аминат Аргуновны

                                      Ноябрь 2013 г.

    Тема:   «Основные приемы решения задач на концентрацию, растворы, сплавы и  смеси»

    Рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. У многих учащихся эти задачи вызывают затруднения. Вероятно, это связано с тем, что таким задачам в школьном курсе математики уделяется совсем мало времени. Вместе с тем эти задачи встречаются в  диагностических и тренировочных работах СТАТГРАД  МИОО и  на ЕГЭ.  Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреблять термин «смесь» не зависимо от её вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная). Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество, в каждой задаче определяем отдельно.

    Формула для нахождения концентрации

                  СА=  · 100, где

    А  – вещество в сплаве

              М  – масса сплава

    МА  – масса вещества А в сплаве

    СА – концентрация вещества А в сплаве (в %)

    В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы.

    Задача №1

    В колбе было 140г 10%-го раствора марганцовки (перманганат калия). В нее долили 60г 30 %-го раствора марганцовки. Определить процентное содержание марганцовки  в полученном растворе.

    Решение.

    Заполним таблицу по условию задачи:

    СА

    М

    МА

    1-й раствор

    10% или 0,1

    140

    0,1·140

    2-й раствор

    30% или 0,3

    60

    0,3·60

    3-й раствор

    200

    0,1·140 +0,3·60  

    Концентрация раствора равна :  СА=  ·100 = 16 (%)

    Ответ: 16%

    Задача №2

    I способ

    Сколько нужно взять 10%-го и 30%-го раствора марганцовки, чтобы получить 200г  16%-го раствора марганцовки?

    Решение.

    Заполним таблицу по условию задачи:

    СА

    М

    МА

    1-й раствор

    10% или 0,1

    х

    0,1х

    2-й раствор

    30% или 0,3

    у

    0,3у

    3-й раствор

    16% или 0,16

    200

    0,16· 200

    Составим и решим систему уравнений:

       

    Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.

    Намного проще, на мой взгляд, решить задачу по правилу «прямоугольника» или «креста», применяемому  химиками:

    Смешали два раствора: первый - массой m1 г и концентрацией с1 и второй – массой m2г и концентрацией с2, получили раствор  массой (m1 + m2)г и концентрацией с3, причем с1< с3< с2.

    Найдем зависимость масс исходных растворов от их концентраций.

    Масса основного вещества в первом растворе равна с1 m1 г, во втором растворе -  с2 m2, а в смеси с3(m1 + m2)г.

    Составим равенство с1 m1 + с2 m2= с3(m1 + m2), откуда следует пропорция

      =  

    с1                            с2-  с3

                     с3

    с2                             с3 –с1

    II способ

    10        14

            16

    30        6

    х

    200- х 

    х= 140(г)- 10% р-р

    200 -140 = 60(г) 30% р-р

    Ответ: 140г 10%-го раствора и 60г 30%-го раствора.

    Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

    Решение.

    15        19-х

            х

    19        х- 15


    Пусть концентрация раствора равна х%.

     = 1; х= 17

    Ответ: 17%.

    Задача №3  (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)

    Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй – 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Какова концентрация  кислоты  в первом сосуде?

    Решение.

    Пусть концентрация первого раствора кислоты – с1,а концентрация второго – с2 .

    СА

    М

    МА

    1-й раствор

    с1

    30

    30с1

    2-й раствор

    с2

    20

    20с2

    3-й раствор

    0,68

    50

    50· 0,68= 34

    4-й раствор

    70% или 0,7

     mс1+mс2

    2m·0,7

    Решим полученную систему уравнений:

    Поэтому  m1= 0,6·30=18

    Ответ: 18%

    Задача №4 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)

    Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

    Решение.

    Пусть масса первого сплава  х кг, а масса второго –  (х+3)кг

    10        10

            30

    40        20

    х кг

    (х+3)

     = ; х= 3(кг)- масса первого сплава

    3+(3+3)= 9(кг) масса второго сплава

     Ответ: 9кг.

    Задача №5 (Д.Гушин. Решу ЕГЭ)

    Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

    Решение аналогично решению задачи № 4

    10        5

            25

    30        15

    х кг

    (200-х)

     

     = ;   х= 50(кг)- масса первого сплава

    200- 50= 150(кг)- масса второго сплава

    150-50 = 100(кг)

    Ответ: 100кг.

    Задача №6  (Тренировочная работа № 1 от 22 ноября 2012г)

    Смешав 14-процентный и 50-процентный растворы кислоты, и добавив 10 кг чистой воды, получили 22-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32 -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 14-процентного раствора использовали для получения смеси?

    Решение.

    Пусть масса 14-процентного раствора кислоты –  х кг, а масса 50-процентного – у кг . Если смешать 14-процентный и 50-процентный растворы кислоты и добавить  кг чистой воды, получится 22-процентный раствор кислоты:0,14х+0,5у= 0,22(х + у +10). Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 32% раствор кислоты:0,14х+0,5у+0,5·10=0,32(х +у+10) . Решим полученную

    систему уравнений:

    Ответ: 25кг.

    Задача №6  (Диагностическая работа №3 от 13 марта 2013г)

     Имеется два сосуда. Первый содержит 100кг, а второй- 20кг растворов кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 72% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 78 % кислоты.  Каково процентное содержание кислоты в первом сосуде?

    Решение.

    Пусть концентрация первого раствора х%, а второго у%.

    1)

    х        у- 72

            72

    у        72-х

    100 кг

    20 кг

             =5;

    2)

    х        у- 78

            78

    у        78-х

             =1;

    3) решим систему уравнений

         

    Ответ: 69%.

    Задача №7

    Сплав из золота и серебра весом 13кг 410г при полном погружении в воду стал весить 12 кг 510г. определите массы золота и серебра в сплаве, если плотность золота 19.3 г/см3,а серебра 10,5 г/см3.

    Решение.

    По закону Архимеда, сплав при погружении в воду теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им вода, то есть 13.41- 12,51= 0,9(кг).

    Плотность воды равна 1г/см3, поэтому объем сплава равен 900 см3, а его плотность равна

     = 14.9 (г/см3).

    Составим схему, где в левой колонке и в центре стоят массы 1см3 серебра, золота и сплава:

    10,5                     4,4

                14,9

    19,3                    4,4

    Рассматривая правую колонку, видим, что золота и серебра в сплаве одинаковое число частей. Значит, массы золота и серебра в сплаве равны.

    13, 41 :2 = 6, 705 (кг)

    Ответ: по 6.705 кг

    Задача №8

    Концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию. Если смещать первый, второй и третий растворы в отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если смешать эти растворы в отношении3:2:1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Какова доля спирта в каждом растворе?

    Решение:

    Пусть первый раствор содержит х%, второй –у%, а третий z% спирта. При первом перемешивании смешали 2ч первого раствора, 3ч второго раствора и 4ч третьего и получили раствор, содержащий 32% спирта. Получим  первое уравнение: 0,02х + 0,03у +0,04z =0,32·9,

    2х +3у+ 4z =  288.

    При повторном перемешивании смешали 3ч первого раствора, 2 ч второго и 1ч третьего и получили раствор, содержащий 22% спирта. Получим второе уравнение: 0,03х + 0,02у+ 0,01 z = 0,22·6,

    3х+ 2у+ z =132.

    Учитывая, что концентрация спирта в трех растворах образует геометрическую прогрессию: х, у, z, получим третье уравнение: у2= хz.

    Составим и решим систему уравнений:

    Из первых двух уравнений выразим у и z через х.

    у = 48- 2х, z = х+36, подставляя в третье уравнение получим:

    (48-2х)2 = х(х+ 36)

    482 – 192х +4х2 =х2 + 36х

    2- 228х+ 2304= 0

    х2- 76х+ 768= 0

    х1=12

    х2= 64 не является решением так как если х= 64, у<0.

    Ответ: в первом 12%, во втором 24%, в третьем 48%.

    Задачи на переливание

    При решении этих задач еще раз следует напомнить учащимся, что выполняются следующие допущения: «закон сохранения масс» и «закон сохранения объемов», как для всей смеси, так и для каждого из ее компонентов. При этом следует считать, что плотности растворов изменяются незначительно и примерно равны плотности воды, то есть растворы сильно разбавлены, или наоборот, мы имеем дело с сильно концентрированными растворами и разбавляем их незначительно, но тогда плотность раствора близка к плотности основного вещества.

    Задача № 9

    В первой кастрюле был 1л кофе, а во второй- 1л молока.  Из второй кастрюли в первую перелили 0,13л молока и хорошо размешали. После этого из первой кастрюли во вторую перелили 0,13л смеси. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?

    Решение.

    1. В первой кастрюле стало 1,13л смеси, в которой молоко составило

     = , а кофе – 1-  = .

    1. Во второй кастрюле осталось0,87л молока и добавили 0,13л смеси, в которой кофе было 0,13 ·  = .

    Ответ: одинаково.

    Задача №9

    Баллон емкостью 8л наполнен кислородно-азотной смесью, причем кислород составляет 16% смеси. Из баллона выпускают некоторый объем смеси, после чего дополняют баллон азотом и вновь выпускают такой же объем смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом. В результате в баллоне остается 9% кислорода. Сколько литров смеси выпустили из баллона в первый раз?

    Решение.

    Предположим, что в первый раз выпустили х литров смеси и дополнили баллон х литрами азота. После первого выпуска смеси  в баллоне осталось  (8-х) · 0,16 л кислорода, а его концентрация стала равна  = (8 – х)· 0,02. После  второго выпуска х л смеси в баллоне осталось (8 – х) л смеси с концентрацией кислорода, равной (8 – х)· 0,02. Концентрация кислорода на этом этапе равна  = 0,09, откуда (8 – х)2 = 36, то есть х1 = 2, х2 = 14.

    х2 не удовлетворяет условию задачи, так как х< 8.

    Ответ: 2 л.


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Табличный метод решения задач на концентрацию, смеси, сплавы

    При решении большинства задач  на концентрацию, смеси и сплавы, с моей точки зрения, удобнее использовать таблицу, которая нагляднее и короче обычной записи с пояснениями. Зрительное восприятие о...

    Основные методы решения задач на смешивание растворов

    Математика многообразна и многогранна. Существует ряд ситуаций, когда при изучении какой-либо темы по физике, химии, биологии и т.д. затрагиваются понятия математики, например, суще...

    Решение задач на концентрацию, смеси и сплавы 9 класс

    Разбор задач на концентрацию и сплавы...

    Решение задач по теме растворы, смеси. сплавы.

    Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, вещества или разбавлять что-либо водой.    Самый известный и главный сплав в истории цивилизации – это всем известная ст...

    Методическая разработка"Решение задач на концентрацию, сплавы, смеси"

    Поиск решения задач на примерах задач на концентрацию Задачи на смеси и сплавы при первом знакомстве с ними вызывают у учащихся общеобразовательных классов затруднения. Самостоятельно справиться с ни...

    Презентация к уроку алгебры по теме « Решение задач на концентрацию, смеси и сплавы».

    Данная презентация представляет собой учебное пособие по решению задач данного типа. Приём решения, рассказанный в слайдах данной презентации, могут использовать как обучающиеся, так и педагоги....

    Тема урока: Решение задач на концентрацию, смеси и сплавы

    Цели урока:-Изучить приём решения задач на концентрацию, смеси и сплавы;-Научиться решать задачи данного типа....