Презентация:"Задача о местоположении корней квадратного уравнения"
презентация к уроку по алгебре (9 класс) по теме

Слайд 1

Задача о местоположении корней квадратного уравнения Автор: Володина Ю.Н.

Слайд 2

Содержание: Примеры задач Правила решения Особенности Решение двух задач

Слайд 3

При каких а уравнение имеет два различных корня больших 1? При каких а корни уравнения находятся в промежутке [0 ; 4] ? При каких а корни уравнения удовлетворяют условию: <3< ? Примеры задач:

Слайд 4

Правила решения : Чтобы решить задачу такого типа нужно учесть четыре условия: 1) Направление ветвей параболы, являющейся графиком функции, стоящей в левой части уравнения. 2) Знак дискриминанта. 3) Абсцисса вершины (сравнивается с интересующими нас точками). 4) Значение функции, стоящей в левой части уравнения (сравнивается с нулем).

Слайд 5

Особенности: Если старший коэффициент содержит параметр, то необходимо рассматривать случай, когда он равен нулю. В этом случае уравнение становится линейным и решается как линейное. Если старший коэффициент содержит параметр, то в случае, когда он не равен нулю, можно разделить обе части уравнения на этот коэффициент, и тогда ветви параболы будут направлены вверх. Если ветви параболы направлены вверх, и имеется хотя бы одно отрицательное значение функции, то дискриминант автоматически будет положительным. В этом случае сравнивать его с нулем нет необходимости.

Слайд 6

Пример решения задачи При каких а корни уравнения положительны? 1 случай: 2а-1=0 а=1/2 В этом случае уравнение является линейным. Подставим ½ в уравнение вместо а и посмотрим, что получится: При а=1/2 уравнение имеет один отрицательный корень, значит а=1/2 не удовлетворяет условию задачи.

Слайд 7

2 случай: В этом случае уравнение является квадратным. Разделим обе части уравнения на 2а-1: Рассмотрим функцию: Это квадратичная функция, график - парабола. D 0 x 0 >0 y( 0 )>0 0 x

Слайд 8

Решив систему, получим ответ. ; ; ; ; - - + + 0 1/2 2/3 а а + + - 0 1/2 Учитывая, что a=1/2 не удовлетворяет условию задачи, имеем: (1/2; 2/3 ] Ответ: (1/2; 2/3 ]

Слайд 9

Пример решения задачи При каких а уравнение имеет хотя бы одно решение? Введём замену: Теперь наше уравнение имеет вид: ;

Слайд 10

Чтобы исходное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение (*) имело корни на промежутке [1; + ∞ ). 1 случай: а=0; -2 t+1=0 2t=1 t=1/2 <1 Значит, при а=0 уравнение (*) имеет 1 корень, который не входит в нужный промежуток. Значит а=0 не удовлетворяет условию задачи.

Слайд 11

2 случай: разделим обе части уравнения Это квадратичная функция, график – парабола, ветви вверх. а) 1 t

Слайд 12

+ + + + + - - - - a a a 0 1 0 1 0 1 Данная система решений не имеет.

Слайд 13

б) 1 t ; верно Значит, а=1 удовлетворяет условию задачи.

Слайд 14

в) 1 t a + + + + - - a 0 1 0 1 C учётом результатов, полученных в предыдущих случаях, имеем: (0; 1 ] Ответ: (0; 1 ]

Слайд 15

Спасибо за внимание!