Геометрические места точек.Элективный курс
материал по алгебре (9 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Программа элективного курса по алгебре « Геометрические места точек» для 9 класса в рамках предпрофильной подготовки Каткова Галина Геннадьевна- учитель математики Образование – высшее, педагогический стаж-29лет, Квалификационная категория -высшая

Слайд 3

Пояснительная записка Ведущее место математического образования определяется: -практической значимостью математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, -развитием творческих способностей. Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике -позволяющий обеспечить базовую подготовку, – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету, ориентировать на выбор профессии, связанной с математикой. Данный курс направлен: на расширение знаний, повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Модуль и его свойства таят в себе большую содержательность, глубину, умелое обыгрывание которых позволяет рационально и остроумно решать спектр задач, побуждает учащихся к самостоятельности и творчеству . Курс предназначен для учащихся 9 класса общеобразовательных учреждений, реализующих предпрофильную подготовку.

Слайд 4

Цели курса Продолжить формирование умений логически мыслить и отыскивать математические закономерности Помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы Развивать математические способности учащихся Помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как : построение графиков функций, удовлетворяющих заданному условию преобразование выражений, содержащих модуль решение уравнений, неравенств и систем графическим методом

Слайд 5

Задачи курса Вовлечь учащихся в проектировочную деятельность Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы Научить строить геометрические места точек, координаты которых удовлетворяют условию F(x)=0 , F(x)≤0 , F(x)≥0 Научить учащихся навыкам построения графиков с модулем и проведению преобразований с помощью изученных методов

Слайд 6

Тематическое планирование № Наименование тем курса Всего часов Лекция Практика Семинар 1 ГМТ. Определение, общие понятия 1 0,5 0,5 2 Геометрические преобразования графиков функций, содержащих модуль. 2 1 1 3 Построение ГМТ, заданных уравнениями 2 1 1 4 Построение ГМТ, заданных системами неравенств. 2 1 1 5 Задачи на нахождение площадей фигур. 1 1 6 Модуль в заданиях единого государственного экзамена 1 1 7 Заключительное занятие: представление своих работ учащимися. 2 2

Слайд 7

Должны знать : -правило раскрытия модуля, -план построения графиков основных видов функций. Должны уметь : -применять метод геометрических преобразований, -строить графики основных видов функций с модулем и различные их комбинации, -изображать геометрические места точек, заданные уравнениями вида │ x│ +│ y │= n , │ x +а │ = с ,│ y-b │= с и неравенствами. Оценивать свои результаты : проверка самостоятельно решенных задач, защита проектов. В результате изучения курса учащиеся Основные формы организации учебных занятий : лекция , практическая работа, семинар, творческие задания в виде выполнения и защиты проектов. Методы обучения: проблемный, метод проектов.

Слайд 8

Цели : Постановка задач курса, проверка владения базовыми умениями. Научить изображать ГМТ, заданные неравенствами. Методы обучения : лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество, в которое входят все те и только те точки, которые обладают этим свойством . Все графики функций y = f (x) , которые изучались до сих пор можно рассматривать как ГМТ, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению. Таким образом построение геометрических мест точек, координаты которых удовлетворяют какому – либо соотношению, является задачей более общей, чем построение графиков функций. Графический способ – один из самых удобных и наглядных способов представления и анализа информации. Упражнение 1. Построить ГМТ, координаты которых удовлетворяют неравенствам : а) x<3 ; б)у≥-4; в) х <-5 ; г) 0 0 ; б) у – x > 1 ; в) у ≥ х 2; г) у < х 2 ; д ) х 2 + у 2 <1 ; е)х 2 +у 2 ≥1.

Слайд 9

Тема 2 . Обобщение методов построения графиков функций, содержащих знак модуля . Цели : - напомнить методы построения графиков функций , содержащих знак модуля; -способствовать развитию навыков построения графиков функций с опорой на преобразования симметрии; -закрепить полученные знания. Методы обучения : лекция, объяснение, выполнение тренировочных заданий. Когда в стандартные функции , которые задают прямые, гиперболы, параболы , включают знак модуля, их графики становятся необычными. Чтобы научиться строить такие графики, надо владеть приемами построения графиков элементарными функциями , а также твердо знать и понимать определение модуля . Построение графиков функций вида : у = │f ( х )│, у = f (│ х │) ,│ у │ = f ( х) , . у = │ х + а │+ │ х + в │+ │ х + с │+. . , частично содержащих знак модуля. Открытый урок

Слайд 10

Тема 3 . Построение ГМТ , заданных уравнениями. Цель : продолжить решение задач по изучаемой теме, рассмотреть построение Г М Т, заданных уравнениями с двумя неизвестными. Задание . Решить графически: 1. │х-у│=3 10.│х-у│+│х+у│ 2.│х│-│у│=3 11. ( х + │ х │) 2 +(у -│ y │) 2 =0 3.│х│=│у│ 12. ( х + │ х │) 2 +(у +│ y │) 2 =9 4. у =│ х │ / х 13. х 2 +у 2 =2│х+у│+2 5. х=│у-1│+3 14. х 2 +у 2 =1-2│ху│ 6.│х+1│=2 15. х =│х 3 +ху 2 │ 7 .│у-2│=1 16. ( х-1) 2 =(х-2) / │х-2│ 8.│х-у+1│+│х-у│=1 17.( х +у-1) / (х 2 -у 2 -1)=1 9.│у-1│+у-1=│х-2│+х-2 18. х 2 + у 2 = 2│х│+│у│ Графики

Слайд 11

Тема 4. Построение ГМТ, заданных неравенствами и системами неравенств. Цель : научить изображать на плоскости фигуры , задаваемые неравенствами с модулем; использовать рассматриваемый материал для развития интереса к предмету ,для более глубокого освоения базовых умений . Задание . Изобразить ГМТ, заданные неравенствами и системами неравенств. Графики │ x+y │ ≤ 1 │ x+2 │>1 │ x+3 │<1 │ x-2 │ ≥ 2 │ x │+ │y │ ≤3 │ x │- │y │> 3 │ x │+ │y │> 3 y≤│x │ x > │y │ x 2 +y 2 -2x-2y<7 y >│x│ 11) x 2 +y 2 ≤9/4 12) x+y<3 13) x 2 +y 2 -2x-2y ≥ 7 14) x 2 +y 2 -4x+6y+g>0 x 2 +y 2 ≤9 │ x │+2 │y │ ≤4 x 2 +y 2 ≥ 1 16) x ≥ │x 3 +xy 2 │ 17) x 2 +y 2 ≤ 2x+2y ≤4y 18) x-y-1/x 2 +y 2 -1<1 19) x 2 +y 2 ≤ 2 │x │-2 │y │ Графики

Слайд 12

Тема 5 . Задачи на нахождение площадей . Цель : расширить представление учащихся о взаимосвязи между алгебраическими соотношениями и их геометрическими образами на координатной плоскости. Задание: Найти площадь фигуры, заданной следующим условием: 1 . | х 2 +у 2 -2 | ≤ 2х+2у 8. х 2 +у 2 ≤4 2. 4 ≤ х 2 +у 2 ≤2 | х | +2 | у | | х | + | у |> 2 3. | х | + | у | + | х-у | ≤ 2 9. х 2 +у 2 ≥ 144 4. х 2 + у 2 ≤ 2х+2у ≤ 4у 3 | х | +4 | у |≥ 60 5. (х-у-1) / (х 2 -у 2 -1) < 1 10.х 2 + у 2 ≤ 3 6. х 2 +у 2 ≤2 | х | -2 | у | 3у ≤ 3 | х | 7. х 2 +у 2 -8х-6у-11 ≤0 12. | у-1 | -х > 8 х 2 +у 2 -2х+2у+1 ≥0 (х+у-1) / (х 2 +у 2 -1) > 1 11. (у-1) 2 < (х+2) / ( | х+2 | ) (-у) < х < 1 ОТВЕТЫ 1. 2 π +4 5. ( π / 2)+1 9. 600-144 π 2. 8 6. 2 π -4 10. 5 π / 2 3. 3 7.3 ,5 π 11. 5 4. π 8. 2 π -4 12. 1- π / 8

Слайд 13

Тема 6 . Модуль в заданиях ЕГЭ . Цели : познакомить учащихся с решением некоторых типов заданий, содержащих модуль; предоставить учащимся шанс оценить свои возможности. Задание 1. При каких значениях параметра а число корней уравнения ││х 2 -2х│-7│=а в четыре раза больше а ? Решение . Построим график функции у=││х 2 -2х│-7│. Проводим горизонтали у = а при различных а, получаем информацию о числе пересечений этой горизонтали с графиком. В третьем столбце есть число а , для которого 0 < а < 6 и при этом 4а=4 . Ответ: а=1. Значение а а < 0 0 0 < а < 6 6 6 < а < 7 7 а > 7 Число корней 0 2 4 5 6 4 2

Слайд 14

Задание 2. При каких значениях х функция у = | 2х +3 | +3 | х-1 | - | х +2| имеет наименьшее значение ? Задание 3. При каких значениях х функция у = | х+1 | + | х-1 | -2 | х-2 | достигает максимума ? Задание 4. При каком значении а уравнение |x 2 -|x|-6|=a имеет более двух корней? Задание 5 . При каком значении х функция достигает минимума?

Слайд 15

Решение

Слайд 16

Представление своих работ учащимися .

Слайд 17

Задачи, составленные учащимися .

Слайд 18

Задачи, составленные учащимися.

Слайд 19

Используемая литература Дороднов А. М., Острецов И. Н. и др. «Графики функций. Учебное пособие для поступающих в ВУЗы», 1972 г. Журнал «Математика в школе» №5, 1999 г. Студенецкая В. Н., Сагателова Л. С. «Математика 8-9 класс», Учитель ,2007 . Выпуск 1. Горохова Л. И. и др. «Уроки математики с применением интегрированных технологий», 2009 г., «Глобус» Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», №5, 1999 г. А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский «Алгебраический тренажер», 1998 г., «Гимназия». М. И. Козина « Математика 8-9 класс», «Учитель» , 2007 г. Выпуск 2. Интернет-ресурсы Конец

Слайд 23

Тема 2 Обобщение методов построения графиков функций, содержащих знак модуля ( урок повторения и обобщения) Оборудование: интерактивная доска.

Слайд 24

Цель занятия: напомнить методы построения графиков функций, содержащих знак модуля; способствовать развитию навыков построения графиков функций с опорой на преобразования симметрии; закрепить полученные знания.

Слайд 25

Определение Не зная определения модуля, невозможно построить даже самого простого графика, содержащего абсолютную величину. Итак, напомню определение функции Построение графиков функций с модулем – частный случай построения графиков сложных функций.

Слайд 26

0 X Y 1 1 -1 y=x y= │ x │ Иллюстрация графика функции .

Слайд 27

Чтобы из графика функции у = f (x) получить график функции у =│ f (x) │, нужно: построить график функции у = f(x) ; части графика функции у = f(x) , лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отразить от неё.

Слайд 28

Х У 0 y=f(x) y= │ f(x) │

Слайд 29

Для того, чтобы построить график функции у= f( │ x │ ) , нужно: построить график функции у = f (x) ; часть графика функции у= f (x) , соответствующую положительной полуоси абсцисс, отразить от оси ординат.

Слайд 30

х у 0 y=f(x) y=f( │ x │ )

Слайд 31

Функция │у│ = f(x) является двузначной , т.к. по определению абсолютной величины у =± f(x) , где f(x) ≥ 0, поэтому график симметричен относительно оси ОХ. Чтобы построить график этой функции, нужно: найти D (y) из условия f(x) ≥ 0; на D (y) построить график функции у = f(x) ; отобразить его зеркально от оси абсцисс.

Слайд 32

Х У 0 y = f(x) │ y │ =f(x)

Слайд 33

Графики функций y= │ x+a │ + │ x+b │ +…+ │ x+n │ Характерной особенностью графиков функций, содержащих выражения со знаком модуля, является наличие изломов в тех точках, в которых выражение, стоящее под знаком модуля, изменяет знак.

Слайд 34

Пример функции y= │ x+1 │ + │ x-1 │.

Слайд 35

Х У 0 1 -1 1 2 у=2х у=2 у= -2х

Слайд 36

Итак, графики с модулями кажутся очень сложными и непонятными. Разобравшись с графиками основных видов функций, аналитическая запись которых содержит знак абсолютной величины, можно узнать много нового и полезного. Работа с ними увлекательна и интересна.

Слайд 37

Примеры на построение 1. │у│=2 Строим у=2 и отражаем его относительно оси абсцисс- геометрическим местом точек являются две параллельные прямые 2. │у│=х 2 - 3 х+2 На интервале ( 1; 2 ) функция отрицательна, следовательно уравнение не имеет смысла . Искомое ГМТ состоит из кусков параболы на полуинтервалах х≤1 и х ≥2 и их зеркальное отображение относительно оси ОХ. 3. у = │х 2 -3х+2│ Строим параболу и нижнюю ее часть отображаем относительно оси абсцисс. Графики

Слайд 38

5 . у = │ х │ + х Раскрыв знак модуля, функцию можно записать в виде: 2х, при х ≥0, у = 0, при х < 0. 6 . у = │ х │( х-2) После раскрытия модуля функция примет вид: х 2 -2х, при х ≥0, у = -х 2 +2х, при х < 0. 4. у = х 2 -3│х│+2 Строим у = х 2 -3х+2 при х ≥0 и симметрично отображаем его относительно оси ординат Графики

Слайд 39

Постройте графики функций: с помощью преобразования функции Проверим правильность выполнения работы. Самостоятельная работа

Слайд 40

у х 2 1 2 у = х 2 – 3х + 2 у = |x 2 -3x+2|

Слайд 41

у х 2 2 1 -1 -2 у = x 2 -3|x|+2 у = х 2 – 3х + 2

Слайд 42

у х 2 2 1 -1 -2 у = х 2 – 3х + 2 у = |x 2 -3|x|+2| у = х 2 -3 | х | +2

Слайд 43

у х у = х 2 – 3х + 2 | у | = x 2 -3x+2 1 2 -2 2

Слайд 44

Дидактический материал для учащихся. Упражнения. Построить ГМТ, заданные условием 1) y=x 2 -│x │-6 2) y= │x 2 -x-6 │ 3) y=│x 2 -│x │ -6 │ 4) y=│x-1 │+ │x-3 │ 5) y=│x │- │x-1 │ 6) y=3x+1-│x-1 │+2 │x │ 7) │y │ =x 2 -5x+6 8) │y │ = │ x 2 -x-6 │ . 9) у = │ х-2│• х – х 2 10) у = │ х + 2│+ 2│х -1│- х 11) у = │х-1│+│х+1│+х 12) у = │х+1 │/ ( х + 1) 13) у = х │ y │ 14 )│ у │= │х 2 -3х +2│

Слайд 45

Домашнее задание Завершите начатую работу по проекту и сделайте к нему мини-презентацию. ВСЕМ СПАСИБО!

Слайд 48

19

Слайд 49

Упражнение 1 Упражнение 2

Слайд 50

1. │у│=2 2. │у│=х 2 - 3 х+2 3. у = │х 2 -3х+2│

Слайд 51

4. у = х 2 -3│х│+2 5 . у = │ х │ + х 6 . у = │ х │( х-2)