Практическая работа

Неопределенный интеграл. Метод подстановки

Цель - закрепление теоретического материала по изучению вычисления неопределенного интеграла методом подстановки.

Содержание работы

1. Определение неопределенного интеграла.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3. Таблицы основных интегралов.
4. Примеры на применение формул.
5. Примеры для самостоятельного вычисления.
6. Рекомендуемая литература:

Методические указания        

1. Совокупность первообразных для функции f(x)  или для дифференциала f(x)dx  называется неопределенным интегралом и обозначается символом:

2. А) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Б) Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций

B) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла

3.  Таблицы основных интегралов

1.                         2.

                3.                         4.         

                5.                         6.         

                7.                 8.

                9.                 10.

                11.

4. Рассмотрим примеры на применение формул:

      1. 

Решение:

Введем новую переменную и сделаем подстановку

cosx =  t

dcosx =dt

-sinx dx=dt откуда dx=

После подстановки получим:

Вернемся к старой переменной:

     2.

Решение:

 Введем новую переменную и сделаем подстановку

5-2х3=  t

d(5-2х3)=dt

-6x2 dx=dt откуда dx=

После подстановки получим:

Вернемся к старой переменной:

5.Выполнить самостоятельно

           1.             4. 

2.                                 5. 

3.                              6. 

Практическая работа

Интегрирование по частям.

Цель - закрепление теоретического материала по изучению вычисления неопределенного интеграла по частям.

Содержание работы

7. Определение неопределенного интеграла.
8. Свойства неопределенного интеграла.
9. Таблицы основных интегралов.
10. Примеры на применение формул.
11. Примеры для самостоятельного вычисления.
12. Рекомендуемая литература:

Методические указания        

1. Совокупность первообразных для функции f(x)  или для дифференциала f(x)dx  называется неопределенным интегралом и обозначается символом:

2. А) Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

Б) Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций

B) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла

3.  Таблицы основных интегралов

1.                         2.

                3.                         4.         

                5.                         6.         

                7.                 8.

                9.                 10.

                11.

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

Где u и v – непрерывно дифференцируемые функции от х

4. Рассмотрим примеры на применение формул:

      1. 

Решение:

Полагая u = x – 5, dv = cosxdx, найдем du = dx, v =  = sinx, следовательно:

 =  + cosx +C

2.

Решение:

Полагая    u = lnx,    dv = ,

 найдем   du = ,      v =  =

следовательно:

 =  –  =  +   =    +C

5.Выполнить самостоятельно

           1.

2.

3.  

4.

5.

Практическая работа

Определенный интеграл. Методы непосредственного интегрирования и подстановки

Цель - закрепление теоретического материала по изучению вычисления  определенного интеграла методами непосредственного интегрирования и подстановки.

Содержание работы

1. Определение  определенного интеграла.
2. Свойства  определенного интеграла.
3. Таблицы основных интегралов.
4. Примеры на применение формул.
5. Примеры для самостоятельного вычисления.
6. Рекомендуемая литература:

Методические указания        

1. Приращение F(b) – F(a) любой первообразной для функции f(x) при изменении аргумента от x=a до x=b называется определенным интегралом от функции f(x) и обозначается:

2.  А) Определенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов этих функций

Б) Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак определенного интеграла

В) При перестановке пределов интеграла знак интеграла меняется на противоположный,

3.  Таблицы основных интегралов применяется и для определенного интеграла

1.                         2.

                3.                         4.         

                5.                         6.         

                7.                 8.

                9.                 10.

                11.

4. Рассмотрим примеры на применение формул:

              А) Метод непосредственного интегрирования

      1. Вычислить

Решение: 

              Б) Метод подстановки

     2.

Решение:

 Введем новую переменную и сделаем подстановку

5+2х3=  t

d(5+2х3)=dt

6x2 dx=dt откуда dx=

После подстановки получим:

Вернемся к старой переменной:

5.Выполнить самостоятельно

 1.               2.           3.             4.

5.       6.

Практическая работа

Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными.

Цель - закрепление теоретического материала по изучению решения дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Содержание работы

1. Определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
2. Таблицы основных интегралов.
3. Примеры решения уравнения.
4. Примеры для самостоятельного решения.
5. Рекомендуемая литература:

Методические указания        

1. Уравнение вида   f(x)dx + g(y)dy=0  называется уравнением с разделенными переменными.

Решение такого уравнения можно найти непосредственным интегрированием.

2.  Таблицы основных интегралов

1.                         2.

                3.                         4.         

                5.                         6.         

                7.                 8.

                9.                 10.

                11.

3. Примеры решения уравнения.

Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения:

      1). xdx + ydy=0

Решение:

Переменные здесь разделены. Интегрируя, получим:

 xdx = - ydy

   2). (y +1)dx=(x-1)dy

Решение:

Разделим обе части уравнения на (y +1)(x-1), получим:

Теперь интегрируем:

Так как С произвольно, можно положить С=lnC, то получим:

ln(x-1)+lnC=ln(y+1)

lnC(x-1)=ln(y+1)

Cx-C=y+1

y=Cx-C-1

3. Решить дифференциальное уравнение  и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 1.

Решение :

; Разделяем переменные .

Интегрируем обе части последнего равенства

В результате получим

Таким образом, получаем общий интеграл

Находим частное решение уравнения. Подставляем начальное условие

1(0 + С) = 1; С = 1

Отсюда получаем частный интеграл

4. Примеры для самостоятельного решения.

     1.

2.

3.

4 .

5.

6.  

Практическая работа

Линейные дифференциальные уравнения.

Цель - закрепление теоретического материала по изучению решения дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Содержание работы.

1. Определение линейного дифференциального уравнения.
2. Примеры решения уравнения.
3. Примеры для самостоятельного решения.
4. Рекомендуемая литература:

Методические указания

Общий вид линейного уравнения:

yʹ + P(x) y = Q(x)

Сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными, если искомую функцию заменить произведением u* v, т. е.  

 y = uv;        yʹ=

2. Примеры решения уравнения.

Рассмотрим пример решения линейного дифференциального уравнения:

1. Найти общее решение дифференциального уравнения

 и частное решение, удовлетворяющие начальному условию у(0) = 2.

Решение:

Данное уравнение является линейным, так как содержит искомую функцию и ее производную в первой степени и не содержит их произведений. Применяем подстановку y = uv, где u и v – некоторые неизвестные функции аргумента х. Если y = uv, то . Подставляя у и в исходное уравнение, получим . Группируем первое и третье слагаемые и выносим v за скобку .

Так как искомая функция у представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию u так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т.е. , чтобы имело место равенство  (2). Тогда уравнение (1) принимает вид

   (3).

Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его

   ;   ;     ;     .

Чтобы равенство (2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С = 0. Подставив в (3) найденное выражение для u, получим

; ; . Интегрируя, имеем

Теперь можно получить общее решение исходного уравнения

Определим значение произвольной постоянной С при указанных начальных условиях

;  С = 2

Таким образом,  есть частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию.

3. Примеры для самостоятельного решения.

     1.

2.

3.

4.

Практическая работа

Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

Цель - закрепление теоретического материала по изучению решения дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Содержание работы

1. Определение дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.            
2. Три случая решения уравнения.
3. Примеры решения уравнения.
4. Примеры для самостоятельного решения.
5. Рекомендуемая литература:

Методические указания        

1.Уравнение вида    y´´+py´+qy=0  называется дифференциальным  уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами.            

Для решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение, заменив в уравнении y´´, y´ и y на k2, k, 1 соответственно. Таким образом необходимо решить уравнение k2+p k+q=0.

2.  Три случая решения уравнения:

      1 случай. Корни характеристического уравнения действительные и разные по величине. Тогда исходное уравнение будет иметь два линейно независимых частных решения:

А общее решение будет

     2 случай. Корни характеристического уравнения действительные и равные по величине. Тогда исходное уравнение будет иметь два линейно независимых частных решения:

А общее решение будет

     3 случай. . Корни характеристического уравнения комплексные, а именно

k1=a+bi , k2=a-bi. Тогда исходное уравнение будет иметь два линейно независимых частных решения:

А общее решение будет

3. Примеры решения уравнения.

Рассмотрим пример решения дифференциального уравнения:

      1).  y´´- 6y´+13y=0

Решение:

Составим характеристическое уравнение

k2 -6k+13=0

Оно имеет корни k1=3+2i   и    k2=3-2i

Следовательно, частными решениями будут

Общим решением будет  

4. Примеры для самостоятельного решения.

     1. y´´- 4y´+3y=0

2. y´´- 6y´+9y=0

3. y´´+2y´+2y=0

4.

5.  

6.  

Задачи. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием

1)      а)              б)           в)

2)       а)         б)              в)

3)      а)               б)        в)  

4)       а)           б)           в)            

5)        а)   б)    в)

6)        а)    б)    в)  

7)   а)  б)  

   в)

8)  а)      б)           в)                

9) а)      б)          в)

10)       а)  б)                  в)                      

Задачи Найти общее и частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условием  при

1)                            у(0) = 1

2)                       

3)                          

4)                          

5)                                  

6)                                     у (0) = 3

7)                            у (0) = 1

8)                                      

9)     у (0) = 1

10)                                       у (1) = 1

Задачи     Найти общее и частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка, если указаны начальные условия , ,

1)              

2)             

3)             

4)   

5)   

6)   

7)                 

8)   

9)    

10)