«Решение квадратных уравнений способом «переброски»
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему

Материал к занятию по теме «Решение квадратных уравнений способом «переброски»

Тема: «Решение квадратных уравнений способом «переброски»

Тип занятия: Изучение нового материала и первичное закрепление с комплексным применением знаний и способов деятельности

Вид занятия: Урок  углубления знаний

Возраст учащихся: 8 класс

Форма работы: индивидуальная, групповая

Оборудование: мультимедийный компьютер

Методы обучения:

• Познавательный
• Систематизирующий
• Коммуникативный
• Логический

Цель:

Формирование знания решения квадратных уравнений с помощью способа «переброски»

Задачи:

Обучающие:

• Познакомить с теорией способа решения квадратных уравнений с помощью способа «переброски»
• Познакомить с применением способа решения квадратных уравнений с помощью способа «переброски»
• Сформировать умения составлять алгоритмы для данного способа решения квадратных уравнений
• Развитие вычислительных навыков
• Развитие  кругозора учащихся

Развивающие:

• Развитие умения наблюдать, анализировать
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся
• Познакомить учащихся с интересными фактами из истории
• Развитие коммуникативных качеств личности

Воспитательные:

• Воспитание навыков сотрудничества в процессе совместной работы.

• Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей
• Воспитание самостоятельности, умения представлять выбранный способ решения уравнения

Структура занятия

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя
2. Актуализация опорных теоретических и практических знаний о  квадратных уравнениях
3. Объяснение нового материала
4. Закрепление нового материала
5. Подведение итогов

Оформление доски: на доске написано

«Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением. Извне он может получить только возбуждение».  А Дистервег

Организационный момент.          

Вступительное слово учителя. Сообщается цель, задачи занятия, план работы на занятии.

Актуализация опорных теоретических и практических знаний.

Коллективная работа. Устно.

  Прежде всего, вспомним, какие уравнения называются квадратными. /Уравнение вида , где х- переменная, a,b,c – числа , называется квадратным./ Квадратное уравнение, записанное в таком виде, является стандартным видом уравнения. Как называются числа  a, b, c ?

/ а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член/

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения разных видов. Первый вид квадратных уравнений – неполные квадратные уравнения. С этим видом квадратных уравнений мы познакомились на первых уроках изучения квадратных уравнений. Вспомним, какие виды неполных квадратных уравнений бывают и как они решаются.

Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения, записанные в стандартном виде. Прежде всего, обратимся к понятию дискриминанта. Для чего и зачем он нужен? Вспомните слово “дискриминация”, что оно означает? Оно означает унижение одних и возвышение других, т.е. различное отношение к разным людям. Оба слова (и дискриминант, и дискриминация) происходят от одного латинского слова, означающего “различающий”. Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней (анализ слайда). Важное дополнение: в таких случаях (D<0) обычно уточняют – нет действительных корней. Дело в том, что в математике, кроме действительных чисел, рассматриваются так называемые мнимые числа; так вот, мнимые корни у такого уравнения есть. О мнимых числах и разрешимости таких квадратных уравнений мы поговорим в старших классах. Мы вспомнили всю “азбуку” квадратного уравнения?

/Нет. Мы не вспомнили теорему Виета./

Решение задач на применение теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.

а) В уравнениях найти подбором корни уравнения:

б) Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

в) Один из корней уравнения равен 3. Найти второй корень уравнения.

Подведем итог этого этапа:

• Что утверждает теорема Виета?

• Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

• Чему равна сумма и произведение корней квадратного уравнения   ах2 + + вх + с = 0?

Это интересно. Биографическая миниатюра. Ф. Виет. (Сообщение учащегося).

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые написаны в 1202 году. Вывод формулы решения квадратного уравнения встречается у французского математика Ф. Виета. Франсуа Виет родился в провинции Франции в 1540 году. Виет имел возможность получить хорошее образование и относился к обучению очень серьезно. Став юристом, он продолжал заниматься математикой, астрономией и космологией. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней формулами. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

По праву достойна в стихах быть воспета.
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого,
Умножишь ты корни – и дробь уж готова.
В числителе С, в знаменателе А.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда?
В числителе В, в знаменателе А.

 А все могло быть по-другому. Эта замечательная теорема могла быть открыта совсем другим талантливым человеком. А знаете почему?

Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря этому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Известно, что Виет, две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки – Виет. Будучи уверенными, в невозможности разгадать способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед Папой Римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виета обвинили, что он был в союзе с дьяволом и приговорили его к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции.

Решение квадратных уравнения, используя свойства коэффициентов. (Повторение предыдущей темы факультативных занятий)

1. 345х2 – 137х  –  208 = 0
2. 313х2 + 326х + 13 = 0

Задание учащиеся выполняют самостоятельно. Взаимоконтроль.

Решение:

1. 345х2  – 137х – 208 = 0

а +   b +  с  =  345  –  137  –  208  = 0, значит, х = 1,  х =  – 208/345

2. 313х2 +  326х + 13 = 0

а  –  b +  с  =  313  –  326  +  13 = 0, значит,  х = – 1,  х =  – 13/313

Изучение нового материала. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений, который можно назвать так: способ «переброски».

Рассмотрим квадратное уравнение

                                      ах2   +   bх  +  с =  0,  а  ≠  0.

Умножая обе его части на  а, получаем уравнение

                                      а2 х2 +  а bх +  ас  = 0.

Пусть  ах =  у, откуда  х =  ; тогда приходим к уравнению

                                      у2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у1 и у2   найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 =   и  х1 =  . При этом способе коэффициент  а  умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют  способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

• Пример 1 (объясняет учитель)

 Решим уравнение  2х2   – 11х  + 15 =  0.

Решение. «Перебросим» коэффициент  2  к свободному члену, в результате получим уравнение

                                    у2 – 11y + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

 Ответ: 2,5; 3.

• Пример 2 (один ученик решает на доске, остальные в тетрадях)

2х2 – 9х + 9 = 0

                        Решение:

у2 – 9у + 18 = 0

у1 = 6        х1 = 6/2        х1 = 3

у2 = 3  ↔  х2 = 3/2 ↔   х2 = 1,5

Ответ: 3; 1,5.

«Математическая эстафета». Работа по командам. На последней парте каждого ряда находится листок с 6 заданиями (по 2 задания на каждую парту). Ученики, получившие листок, выполняют первые 2 задания (разрешается совместная работа) и передают листок впереди сидящим ребятам.

Решите уравнения, используя метод «переброски»:

1. 10х2 – 11х +  3 = 0         3.  3х2 + 11х + 6  =  0         5.  6х2 + 5х  –  6 = 0

2. 2х2 +  х – 10 = 0             4.  5х2 – 11х + 6 = 0            6.   4х2 + 12х + 5  = 0

Работа считается оконченной, когда учитель получает три листка (по количеству рядов) с выполненными 6 заданиями.

Побеждают учащиеся того ряда, в котором раньше решат шесть примеров.

Проверка итогов работы осуществляется с помощью мультимедийного компьютера.

Оценка – 6 баллов (по 1 баллу за каждый верно выполненный пример).

Итог занятия.

1. Самооценка труда учащихся:

• В каких знаниях уверен;
• Выполнил ли программу занятия полностью;
• Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения;
• Помогло ли занятие продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету.

2. Оценка труда товарищей:

• Насколько результативным было занятие сегодня;
• Кто, по вашему мнению, внёс наибольший вклад в его результаты;
• Кому, над чем следовало бы ещё поработать.

3. Оценка результатов занятия учителем:

• Оценка работы группы (активность, адекватность ответов, неординарность работы отдельных детей, уровень самоорганизации, прилежание).

4. Выводы по занятию.

Домашнее задание.

Решить уравнения. Каждое решить 3 различными способами.

• 3х2 + 5х  –  2  =  0
• х2  –  8х +  7  =  0
• 5х2 – 11 х  +  2  =  0