Преобразование тригонометрических выражений
учебно-методический материал по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему

1. Приемы обучения учащихся выполнению тождественных преобразований тригонометрических выражений

Тригонометрические преобразования – одна из самых сложных тем школьной программы. Одна из причин – множество формул в данном разделе. Запоминание, осознание формул – длительный и, к сожалению, обратимый процесс. Нельзя хранить такой объем данных без многократного обращения к этой информации. Любое запоминание происходит в процессе какой-то деятельности при переключении внимания с одного объекта на другой и обратно на первый. Работа по пониманию, осознанию формул должна проводиться поэтапно.

Этап первый. Знакомство с формулами одной группы.

Этот этап во многом зависит от уровня обученности и обучаемости учеников. Кого-то достаточно только познакомить с формулами, с кем-то целесообразно доказать все основные тригонометрические формулы, с кем-то всего лишь часть из них.

Запомнив какую-то особенность вывода формулы, способный ученик сможет связать ее с общей структурой. Но это для сильного ученика. В ином случае полезно заводить с учащимися тетради с формулами.

Если мы говорим о математической школе, то вопроса доказывать или не доказывать формулы не стоит. В обычной школе учащимся бывает достаточно сложно запомнить, усвоить и, главное, понять доказательство, например такой формулы, как косинус суммы. Но показывать, как из косинуса суммы получить косинус разности необходимо.

Отказаться от доказательств в теме тождественных преобразований нельзя. Обязательно присутствие вывода остальных формул через синус/косинус суммы, и ученики должны уметь воспроизводить эти доказательства. Во время введения формулы важно проводить работу по ее анализу.

Этап второй. Анализ формул одной группы.

Очень важно провести с учащимися работу по сравнению формул одной группы между собой. Помочь выявить определенные аналогии их структур и закономерности образования.

Выделяем у формул общее, смотрим, чем они отличаются, сопоставляем их с формулами другой изученной группы. На этом специально следует сделать акцент, поскольку механизмы работы ассоциативной памяти позволяют максимально долго удерживать информацию по сравнению с любой из других ее видов.

Рассмотрим этот этап на примере формул сложения

Разделим на две подгруппы: синус/косинус и тангенс.

(Котангенс суммы редко используется, почти не приводится в учебниках).

Синус, косинус суммы

Во-первых, необходимо сделать акцент на то, что синус /косинус суммы чисел сводится к  сумме/разности синусов и косинусов каждого из аргументов. Во-вторых, в формуле косинуса в произведениях записаны одноименные функции, а формуле синуса – разноименные функции. Также важно обратить внимание на знак суммы или разности между произведениями. Синус суммы (или разности) есть сумма или разность произведений, а у косинуса наоборот. После этого встает вопрос, а с чего начинать писать правую часть формулы? С функции аргумента: функция та, что стоит справа, аргумент тот, что первый стоит в записи суммы или разности аргументов. Оставшаяся часть формулы получается сама собой.

Полезно для учащихся иметь сравнительную таблицу. В ней нет формул, а значит, у учащегося нет готового результата, чтобы его получить, необходимо затратить усилия.

Таблица сравнения

синуса и косинуса суммы

Тангенс

Так как тангенс – это отношение синуса к косинусу, то в формуле тангенса суммы (разности) также есть дробь. С числителем все просто: сумма или разность тангенсов (первым идет тангенс того аргумента, который в сумме или разности стоит первым). В знаменателе важно обратить внимание на наличие 1, знак между 1 и произведением тангенса.

При выполнении упражнений надо иметь в виду, что учащиеся часто затрудняются, когда им приходится пользоваться формулами, читая их не в прямом, а в обратном порядке. Учитель должен дать достаточное количество примеров, позволяющих использовать формулы перехода от правой части к левой.

После таких разговоров, проведенных не раз во время занятий, у ученика будет работать ассоциативная память, и формулы сами будут «всплывать» в нужный момент

Третий этап. Переход одной группы формул к другой.

Итак, мы усвоили формулы одной группы. При переходе к следующей группе необходимо иметь в виду, что новая информация будет «вытеснять» старую. Запомнить одну формулу несложно, держать в голове все сразу — значительно сложнее.

Во-первых, необходимо постоянное повторение и многократное обращение к ранее изученным формулам. Для этого хорошо подходят задания, в которых необходимо применять формулы из нескольких групп.

Также в начале каждого занятия полезно проводить актуализацию знаний.

Возможные варианты заданий на этапе актуализации, при необходимости повторения формул:

1. на восстановление

Учитель на доске пишет левую или правую часть формулы, ученик в тетради должен дописать ее

2. на соответствие

 Варианты могут быть разные:

В виде таблицы. Где в левом столбце - одна часть формулы (причем лучше не только левые), а в правом другая. Необходимо собрать формулы из левой и правой частей

В виде карточек, на которых находятся части формул, из которых надо будет собирать готовый результат.

И в карточках, и в таблице можно делать пропуски в формулах, тем самым усложняя задание.

На первых этапах работы с большим количеством формул полезно держать у детей перед глазами не сами формулы — готовый продукт, а сравнительные таблицы групп формул, так как для извлечения нужного материала необходимо будет затратить усилия.

1. Разработка фрагмента урока по теме «Формулы сложения» по учебнику Мордковича с применением различных приемов обучения.

Цели урока:

1. познакомиться с формулами сложения
2. создание условий для формирования навыков применения формул при преобразовании тригонометрических выражений
3. создание условий для формирования междпредметных связей.

2 Этап Актуализация знаний

(выполняется учениками устно, ответы записываются на листочек)

Последнее задание можно использовать как еще один элемент мотивации.

3 Этап Мотивация

Задача о преломлении светового луча при переходе из одной среды в другую

При конструировании оптических приборов приходится решать такие задачи: как надо направить луч на границу двух сред, чтобы угол падения луча превышал угол преломления на данную величину?

Если α1>α2 на αº, то отыскание искомого угла падения х сводится к решению уравнения:

Найти угол падения х, если α=10º , коэффициент преломления воды n≈1,33.

4 этап введение нового материала.

Чтобы решить данную задачу, нам нужно знать, чему равен или как заменить это выражение на другое, тождественно равное ему.

Для этого познакомимся с формулами: .

Учитель: какие у вас будут идеи записи для этих формул?

Учащиеся: Например

Учитель: Если эта формула верна, то давайте проверим, работает ли она для тех углов, которые мы уже знаем: 30, 60, 90.

По-вашему предположению имеем

Но с другой стороны sin(30°+60°)=sin 90°=1 , что не равно .

Значит наше предположение неверно.

(Ученикам дается возможность проверить и другие предположения, проверить различные формулы для косинуса)

Конечно, как мы могли убедиться, формула не так проста.

проведем сравнительный анализ этих двух формул

(проводится при работе учеников)

Таблица сравнения

синуса и косинуса суммы

Но для того, чтобы решить задачу о преломлении луча, нам нужно с вами знать формулу .

Представим разность в виде суммы: и подставим в уже известную нам формулу:

(аналогично выводится формула косинуса разности. Учащиеся выводят самостоятельно, затем проверяем)

(вспоминаем четность, нечетность синуса и косинуса)

Вот теперь мы с вами можем решить нашу задачу:

Так как, то        

или

Перепишем равенство в виде пропорции:

или

 х=36º40ʹ

Ответ: угол падения должен быть 36º40ʹ, чтобы он превышал угол преломления с водой на 10º.        

Задание на первичное закрепление:

1. Используя формулы сложения, преобразуйте выражения:

        a) sin (60º – b)

        b) cos (b – 30º)

        c) sin(a – 30º)

        d) cos(60º – a)

2. Найти значение выражения:

a) cos 107º cos17º + sin107ºsin17

b) cos36º cos24º – sin36º sin24º

c) sin63ºcos27º + cos63º sin27º

d) sin51º cos21º – cos 51º sin21º

(при не достаточном уровне подготовки школьников, на данном этапе у учеников перед глазами должны быть не формулы, а таблица сравнений формул, что будет способствовать развитию ассоциативного мышления)

Также на последующих уроках при актуализации знаний будет полезно давать задание на установление соответствий между левыми и правыми частями формулам. Причем, чем больше формул, тем это задание становится сложнее выполнять

3. Банк задач

В рассмотренных учебниках выявилось несколько проблем. Одна из них: недостаточное количество эвристических задач, другая: эти задачи даже если и приводятся, то обособленно, нет заданий, которые бы способствовали решению нестандартных задач.

Структура банка задач

Банк задач реализует простой, но в тоже время очень важный принцип: от простого к сложному. Весь набор задач разделен по видам преобразований, для каждого вида преобразований выделены блоки, каждый из которых отвечает какой-то идее преобразований. В блоке задания идут по увеличению трудности. Причем, каждый пример является, как бы, ступенькой к следующему.

Банк заданий может использоваться учителем в разных ситуациях. Во-первых, при подготовке к контрольной работе, сразу после прохождения темы, во-вторых, банк удобен для повторения как в конце 10 класса, так и в конце 11. Также банк можно использовать как элемент для самостоятельной работы учащихся. Задания построены так, что идею решения каждого следующего примера можно увидеть в предыдущем. В банке задач достаточно заданий, которые без подготовки решаются далеко не всеми школьниками, но если мы даем задание в системе, то ученики могут догадаться до решения сами.

Теоремы сложения

Блок А

Вычислить

1) sin 74° cos 16° + cos 74° sin16°

2)

3)

4)

5)

6)

7) sin 127° cos 23°+cos 194°+cos 37° cos 383°

Ответы:

1)1, 2) 0, 3), 4), 5) tg 3,14 6)         7) 0,5

Блок Б

Вычислить

1)  если sin a= - 0,6 при  

2) если  при  

3)  если

4)  если

5) cos(150° - a) – cos(210°+a)         

6)sin 75°

7)sin (65° + a), если sin(20°+a)=0,6 при 0°<a<30°

8) если при 270°<a<360°, 180°< β <270°

Доказать:

9) , если , при 0°<a <90°, 0°<β<90°

Ответы

1), 2)         3) -16/65        4) -84/85        5) 0, 6), 7), 8) 90°

Формулы приведения

Вычислить с помощью формул приведения

1. , , ,

Следующие тригонометрические

функции приведите к тригонометрическим функциям углов, меньших 45°

2. а) sin 81°; b) cos 73°; c) tg 66°; d) ctg 53°; e) sin 172°; f) cos 155°;

g) sin (-1112°); h) tg 1484°

Привести к функциям наименьшего положительного аргумента:

3. a)cos 2301°; b) ; c); d) sin 2; e)cos 7; f) tg3;

g) ctg 8,4

доказать тождество:

4. cos (45°+a)=sin (45° - a)

5. A, B, C – углы треугольника. Докажите, что

a) cos (A+B)= - cos C

b)

c)

Ответы:

1. -0,5;; ; -1

2. a) cos 9°; b) sin 17°; c) ctg 24°; d) tg 37°; e) sin 8°; f) -cos 25°; g) – sin 32°;

 h) tg 44°

3. a) – cos 39°; b) ; c); d) ; e)

f)  ; g)         

Формулы  двойного аргумента

Блок А

Вычислите

1) cos2a, если  sina=-0,6

2)

3) если sin 2a=0,4

4)

5)

6)

Ответы

1) 0,28 2) -cos2a 3)1,4; 4)sin a + cos a; 5) cos4a 6) cos2a.

Блок B

докажите тождества

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 8 ctg8°+ 4 tg4°+2tg2°+tg1°=ctg1°
6. ctga -  tga  - 2tg 2a +4tg4a – 8tg8a = 16 ctg 16a
7. 

вычислить:

8. tg 9° + ctg 9° - tg 27° - ctg 27°  (есть 2 способа решения:  с использованием тождества 3, тогда понадобиться формула синуса разности, или с использованием формула разности тангенсов)

Ответы: 8. 4;

Формулы суммы и произведения тригонометрических функций

Блок А

разложить на множители:

1)

2)

3)

4)

5)

Вычислить:

6)

7)

8*)преобразуйте в произведение сумму:

9*)

Ответы
1) ; 2); 3) ;

4. ; 5) ; 6) 3; 7) 3;

8)*; 9*) 

Блок B

Представить в виде суммы

1)

2)

3)

4)

5)

6)

вычислить:

7)

Ответы: 1); 2) sin5 – sin1; 3); 4); 5);

6); 7) .