Рекомендация по решению заданий 19 ЕГЭ-2015
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре на тему

Рекомендация по решению задания 19 ЕГЭ – 2015

Задания 19 относятся к текстовым задачам со «сложными процентами».

Задача заключается в следующем:

Некоторая величина подвергается поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное  число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем  этапе.

Рассмотрим пример, когда в конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов – р%.

Некоторая величина А0 в конце первого этапа будет равна:

А1=А0  + *А0 =А0*(1 + )  

В конце второго этапа ее значение станет равным:

А2=А1  + *А1 =А0*(1 + )2

Таким образом, после N-го этапа ее значение станет равным:

Аn=Аn-1  + *Аn-1 =А0*(1 + )n

Формулы 1-3 находят практическое применение и в заданиях ЕГЭ-2015 данная категория задач идут под номером 19.

Рассмотрим 1 тип задачи на «сложные проценты»:

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит по 10% годовых. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг  четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение:

Пусть сумма кредита равна А0=9282000 рублей, а годовые обозначим через  р%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга будет: Аn=Аn-1  + *Аn-1 =А0*(1 + )n

Рассмотрим подробней:

Пусть n=1, т.е. рассмотрим первый год. Тогда сумма долга составит А1=А0  + *А0 =А0*(1 + ).

Для упрощения повторяющуюся часть формулы  (1 + ) обозначим через b=(1 + )=(1+0,01*p).

Тогда А1=А0*(1 + )=А0*b. После первой выплаты  сумму долга cоставит:

А11= А0*b-Х.

После второй выплаты сумма долга составит:

А21=А11*b-X= (А0*b-Х)*b-X= А0*b2-X*b-X= А0*b2-(1+b)*X

После третьей выплаты сумма долга составит:

А31=А21*b-X= (А0*b2-(1+b)*Х)*b-X= А0*b3-X*b2-X*b-X= А0*b3-(1+b+b2)*X= А0*b3-*X= А0*b3- *X.

Аналогично рассуждая, получим что:

А41= А0*b4- *X

По условию Алексей должен погасить долг за 4 года, поэтому А0*b4- *X=0. Следовательно, X=

Очевидно, что b=(1+0,1)=1,1

X=(928000*1,4641*0,1)/0,4641=2928200

Ответ: 2928200

Рассмотрим 2 тип  задачи на «сложные проценты».

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк очередной транш. Алексей выплатил кредит за два транша  ( т.е. за две выплаты или за два года), переводя первый раз 550 тысяч рублей, во второй 638,4 тыс рублей. Под какой процент банк выдал Алексею кредит?

Решение: Пусть сумма кредита равна А0=10000000 рублей, а годовые обозначим через  р%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга будет: Аn=Аn-1  + *Аn-1 =А0*(1 + )n и Х=550 тыс рублей и Y=638,4 тыс рублей.

Так как Алексей выплатил кредит за два транша, то А0*b2-b*X-Y=0. Решим квадратичное уравнение относительно переменной b:

D=X2+4*A0*Y=104*1692

Тогда b=(X+)/2*Ao=(104*51+104*169)/(2*104*100)=1,1. Так как b=1+0,01*р, то р=(b-1)*100=10

Ответ:10

Рассмотрим 3 тип задачи на «сложные проценты»:

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6951000 рублей в кредит годовых. под 10%. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк платеж. Алексей выплатил кредит за три равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2  равных платежа?

Решение:

Пусть сумма кредита равна А0=6951000 рублей, а годовые -  р=10%.

Очевидно, что А1=А0*(1 + )=А0*b. После первой выплаты  сумму долга cоставит:

А11= А0*b-Х.

После второй выплаты сумма долга составит:

А21=А11*b-X= (А0*b-Х)*b-X= А0*b2-X*b-X= А0*b2-(1+b)*X

После третьей выплаты сумма долга составит:

А31=А21*b-X= (А0*b2-(1+b)*Х)*b-X= А0*b3-X*b2-X*b-X= А0*b3-(1+b+b2)*X= А0*b3-*X= А0*b3- *X

Вычислим b=1+0,01*10=1,1

Найдем вносимую сумму Х при 3-х разовом платеже:

А0*b3*(b-1)/(b3-1)=(6951000*1,331*0,1)/(0,331)=925178/0,331=2795100

За три года Алексей выплатил: 2795100*3=8385300

Найдем вносимую сумму Х при 2-х разовом платеже:

А0*b2=6951000*1,21/2,1=8010200

Искомая разница в выплате будет составлять: 8385300-8010200=375100

Ответ: 375100

Рассмотрим 4 тип задачи на сложные проценты»:

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк платеж 3512320 рублей. Какую сумму взял Алексей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение:

b=1+0,12=1.12

Очевидно, чтоА0*b3-  *X=0. Тогда, А0=(3512320*0,404928)*(1,404928*0,12)=8436000

Ответ: 8436000

Рассмотрим 5 тип задачи на «сложные проценты»:

Алексей хочет взять в кредит 1,2 млн рублей. Погашение кредита происходит в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Родион взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 тыс рублей?

Решение:

Пусть через n лет кредит будет погашен. Тогда А0*bn-  *X=0. Таким образом, X=. По условию задачи .

1200000*1,1n*0,1320000*(1,1n-1). Разделив обе части неравенства на 10000, получим:

12*1,1n32*(1,1n-1). Тогда 20*1,1n.    1,1n. Это возможно, если n. Следовательно, минимальное количество лет на который может взять Алексей кредит с выплатой не более 320000 равно 5.

Ответ:5