Урок-закрепление по теме: "Формулы двойного аргумента"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Тема урока: Формулы двойного аргумента (решение уравнений)

Цель урока: проверить знание формул двойного аргумента

1. Уметь применять знания формул  к доказательству тождеств, упрощению выражений, решению уравнений
2.  Повторить формулы тригонометрии, табличное значение тригонометрических  функций известных углов, решение простейших тригонометрических уравнений вида: sinx=a; cosx=a; tgx=a; ctgx=a., знать условие равенства дроби нулю.
3. Подготовиться к самостоятельной работе, выяснить при решение каких заданий они испытывают затруднения; т.е. провести  анализ потенциальных проблем, трудностей и рисков каждого ученика, определить  пути  их преодоления.
4. Использовать на уроке  демонстрирующих элементов нового материала в виде презентаций  

Ход урока.

1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания в виде индивидуальных заданий у доски (подобные работе заданной на дом), при этом проверяют индивидуальные задания 2 консультанта

2) Работа с классом (повторение теории) 2-3 минуты. На прошлом уроке остановились на формулах двойного аргумента

Вспомнили формулу sin (α +β) = sinαcosβ+cosαsinβ

                                     cos (α +β) = cosαcosβ- sinαsinβ

Аналогично докажем у доски:

Sin (α+α) = ?

Cos (α+α) = ?

Tg (α+α) = ?      

3) Устная работа с классом (задания заранее заготовлены на доске)

1. Следующие тригонометрические функции выразите через функции вдвое меньшего аргумента:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. sin (α+β) = ?
9. cos (α+β) = ?

2. Упростите:

1. 
2. 22
3.  =?
4. 
5.      22
6. 22 =?
7.      
8.      sin cos = ?
9.      cos2 - sin2 = ?
10. 4 sinx× cosx ×cos2x = ?
11. tgx × tg () =?
12. 1+ cos2x = ?
13. 1- cos2x = ?

3. Найдите корни уравнения:

4. Как выглядит уравнение, если его решение имеет вид:

5. Вычислите:

Консультанты докладывают о выполнении индивидуальной работы учащимися, выставляют предварительные оценки (задания остаются на доске)

Учитель анализирует работу учащегося и консультантов, продолжая работу с классом по решению тригонометрических  уравнений с использованием формул двойного угла методом разложения на множители. Суть метода учащимся знакома; если уравнение f(x)=0 удается преобразовать к виду f1(x)*f2(x)=0, то f1(x)=0  

                                        f2(x)=0.    

 В подобных случаях обычно говорят, что задача сводится к решению совокупности уравнений.

6. Решение уравнений. Учитель: К доске вызываю 3-х учащихся. Каждый ряд учащихся в классе решает задания. Вместе с ним проверяет и помогает ему.

     Учитель: Такие уравнения, показанные на доске,  являются фрагментами больших тригонометрических уравнений, с которыми встречаются ученики выпускных классов на ЕГЭ. Пробная работа для учащихся  XI классов по математике дает нам такое предусмотрено. Давайте посмотрим, как эта тема прослеживается в заданиях ЕГЭ, повторим и обратим внимание на отбор корней в тригонометрическом уравнении.                                

7. Работа с интерактивной доской.

Слово предоставляется ученице подготовившей презентацию по решению уравнения.

Решить уравнение:

а) sin2cos2 = cos 2x

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку []

 (cos2  – sin2) = cos 2x;        ОДЗ

cos x = cos 2x;                                                                      x ∊ R

2 cos  cos  = 0; 2 ≠ 0;

cos  = 0;       =  n ∊ Z  

cos  = 0;        =  m ∊ Z

x =; n ∊ Z

x = π + 2πm; m ∊ Z

2)   ≤ +  ≤ 2π;

      ≤  ≤ 2π − ;

      ≤  ≤ ;

      ≤ n ≤  

     n = 1 или n = 2

Если n = 1, то x =  = π;

Если n = 2, то x =  = ;

        Ответ: 1) π + 2πm; m ∊ Z

                                      2) {π;}.

     Учитель: Одновременно трудность представляют на ЕГЭ решения уравнений с определением ОДЗ для переменной входящей в это уравнение и отбором корней.

К доске приглашаю еще одного ученика, подготовившего такое уравнение:

(4sin  cos  − 1)( + 1) = 0

(2sin x  1)( + 1) = 0

  2sin x  1 = 0,        2sin x = 1,           sin x =

   + 1 = 0;     = −1;           

ОДЗ для переменной входящей в данное уравнение.

                                                  −cos x ≥ 0

                                                    cos x ≤ 0

        Решим уравнение с помощью тригонометрического круга:

sin x =

  x =  + 2πn; n ∊ Z

  x =  + 2πk; k ∊ Z

               С учетом ОДЗ для переменной х имеем:

  x =  + 2πk; k ∊ Z

Ответ:  + 2πk; k ∊ Z

                                  Самостоятельная работа.

Тетради взять на проверку.

Домашнее задание:

1. Доказать формулы

sin 3x = sin (2x + x) = …

cos 3x = cos (2x + x) = …

2. п. 24, №479,480
3. Выполнить работу «по образцу» (раздаю лист А4 с решенным одним уравнением, и 3 аналогичных уравнения предлагается сделать дома по образцу.)

                 Решить уравнение по следующему образцу:

( 2sin x – 1)( + 1) = 0

  2sin x – 1 = 0,   2sin x = 1                                    ОДЗ для переменной х,

 + 1; = −1                              входящей в данное уравнение          

                                                                               −cos x ≥ 0

                                                                               cos x ≤ 0

Арифметический квадратный корень определен для неотрицательных чисел, следовательно   = −1 уравнение решений не имеет, т.е. уравнение совокупности

         2sin x = 1 решим с помощью тригонометрического круга:

2sin x = 1

sin x =

  x =  +2πn; n ∊ Z

  x =  + 2πk; k ∊ Z

С учетом ОДЗ x =  + 2πk; k ∊ Z

Ответ: x =  + 2πk; k ∊ Z