Уравнения высших степеней
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Уравнения высших степеней (корни многочлена от одной переменной).

Слайд 2

П лан лекции. № 1 . Уравнения высших степеней в школьном курсе математики. № 2 . Стандартный вид многочлена. № 3 .Целые корни многочлена. Схема Горнера. № 4. Дробные корни многочлена. № 5. Уравнения вида: ( х + а )( х + в )( х + с ) … = А № 6. Возвратные уравнения. № 7. Однородные уравнения. № 8. Метод неопределенных коэффициентов. № 9. Функционально – графический метод. № 10. Формулы Виета для уравнений высших степеней. № 11. Нестандартные методы решения уравнений высших степеней.

Слайд 3

Уравнения высших степеней в школьном курсе математики . 7 класс. Стандартный вид многочлена. Действия с многочленами. Разложение многочлена на множители. В обычном классе 42 часа , в спец классе 56 часов. 8 спецкласс . Целые корни многочлена, деление многочленов, возвратные уравнения, разность и сумма п – ых степеней двучлена, метод неопределенных коэффициентов. Ю.Н. Макарычев « Дополнительные главы к школьному курсу алгебры 8 класса», М.Л.Галицкий Сборник задач по алгебре 8 – 9 класс». 9 спецкласс . Рациональные корни многочлена. Обобщенные возвратные уравнения. Формулы Виета для уравнений высших степеней. Н.Я. Виленкин « Алгебра 9 класс с углубленным изучением. 11 спецкласс . Тождественность многочленов. Многочлен от нескольких переменных. Функционально – графический метод решения уравнений высших степеней.

Слайд 4

Стандартный вид многочлена. Многочлен Р( х ) = а ⁿ х ⁿ + а п-1 х п-1 + … + а₂х ² + а₁х + а₀. Называется многочленом стандартного вида. а п х ⁿ - старший член многочлена а п - коэффициент при старшем члене многочлена. При а п = 1 Р( х ) называется приведенным многочленом. а ₀ - свободный член многочлена Р( х ). п – степень многочлена.

Слайд 5

Целые корни многочлена. Схема Горнера. Теорема № 1. Если целое число а является корнем многочлена Р( х ), то а – делитель свободного члена Р( х ). Пример № 1 . Решите уравнение. Х⁴ + 2х³ = 11х² – 4х – 4 Приведем уравнение к стандартному виду. Х⁴ + 2х³ - 11х² + 4х + 4 = 0. Имеем многочлен Р( х ) = х ⁴ + 2х³ - 11х² + 4х + 4 Делители свободного члена: ± 1, ± 2, ±4. х = 1 корень уравнения т.к. Р(1) = 0, х = 2 корень уравнения т.к. Р(2) = 0 Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р( х ) на двучлен ( х – а) равен Р(а). Следствие. Если а – корень многочлена Р( х ), то Р( х ) делится на ( х – а ). В нашем уравнении Р( х ) делится на ( х – 1) и на ( х – 2), а значит и на ( х – 1) ( х – 2). При делении Р( х ) на ( х ² - 3х + 2) в частном получается трехчлен х ² + 5х + 2 = 0, который имеет корни х =( -5 ± √17)/2

Слайд 6

Дробные корни многочлена. Теорема №2. Если р / g корень многочлена Р( х ), то р – делитель свободного члена, g – делитель коэффициента старшего члена Р( х ). Пример № 2. Решите уравнение. 6х³ - 11х² - 2х + 8 = 0. Делители свободного члена: ±1, ±2, ±4, ±8. Ни одно из этих чисел не удовлетворяет уравнению. Целых корней нет. Натуральные делители коэффициента старшего члена Р( х ): 1, 2, 3, 6. Возможные дробные корни уравнения: ±2/3, ±4/3, ±8/3. Проверкой убеждаемся, что Р(4/3) = 0. Х = 4/3 корень уравнения. По схеме Горнера разделим Р( х ) на ( х – 4/3).

Слайд 7

Примеры для самостоятельного решения. Решите уравнения: 9х³ - 18х = х – 2, х ³ - х ² = х – 1, х ³ - 3х² -3х + 1 = 0, Х ⁴ - 2х³ + 2х – 1 = 0, Х⁴ - 3х² + 2 = 0, х ⁵ + 5х³ - 6х² = 0, х ³ + 4х² + 5х + 2 = 0, Х⁴ + 4х³ - х ² - 16х – 12 = 0 4х³ + х ² - х + 5 = 0 3х⁴ + 5х³ - 9х² - 9х + 10 = 0. Ответы: 1) ±1/3; 2 2) ±1, 3) -1; 2 ±√3 , 4) ±1, 5) ± 1; ±√2 , 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -1; ±2, 9) – 5/4 10) -2; - 5/3; 1.

Слайд 8

Уравнения вида ( х + а)( х + в)( х + с )( х + d )… = А. Пример №3 . Решите уравнение ( х + 1)( х + 2)( х + 3)( х + 4) =24. а = 1, в = 2, с = 3, d = 4 а + d = в + с. Перемножаем первую скобку с четвертой и вторую с третьей. ( х + 1)( х + 4)( х + 20( х + 3) = 24. ( х ² + 5х + 4)( х ² + 5х + 6) = 24. Пусть х ² + 5х + 4 = у, тогда у( у + 2) = 24, у² + 2у – 24 = 0 у₁ = - 6, у₂ = 4. х ² + 5х + 4 = -6 или х ² + 5х + 4 = 4. х ² + 5х + 10 = 0, Д < 0 корней нет. Из второго уравнения имеем х₁=0, х₂=-5. · Пример № 4. ( х ² - 3х)( х – 1)( х – 2) = 24. Произведение второй и третьей скобок дает выражение первой скобки. · Пример № 5. (8х + 7)²(4х + 3)( х + 1) = 9/2. (8х + 7)(8х + 7)(4х + 3)( х + 1) = 9/2, а = 7/8, в = 7/8, с = ¾, d = 1 . а + в = с + d . · Перемножаем первую скобку со второй и третью с четвертой.

Слайд 9

Примеры для самостоятельного решения. ( х + 1)( х + 3)( х + 5)( х + 7) = -15, х ( х + 4)( х + 5)( х + 9) + 96 = 0, х ( х + 3)( х + 5)( х + 8) + 56 = 0, ( х – 4)( х – 3)( х – 2)( х – 1) = 24, ( х – 3)( х -4)( х – 5)( х – 6) = 1680, ( х ² - 5х)( х + 3)( х – 8) + 108 = 0, ( х + 4)² ( х + 10)( х – 2) + 243 = 0 ( х ² + 3х + 2)( х ² + 9х + 20) = 4, Указание: х + 3х + 2 = ( х + 1)( х + 2), х ² + 9х + 20 = ( х + 4)( х + 5) Ответы: 1) -4 ±√6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5± √97)/2 7) -7; -1; -4 ±√3.

Слайд 10

Возвратные уравнения. Определение №1. Уравнение вида: ах⁴ + вх ³ + сх ² + вх + а = 0 называется возвратным уравнением четвертой степени. Определение №2. Уравнение вида: ах⁴ + вх ³ + сх ² + квх + к² а = 0 называется обобщенным возвратным уравнением четвертой степени. к² а : а = к² ; кв : в = к. Пример №6. Решите уравнение х ⁴ - 7х³ + 14х² - 7х + 1 = 0. Делим обе части уравнения на х ² . х ² - 7х + 14 – 7/ х + 1/ х ² = 0, ( х ² + 1/ х ²) – 7( х + 1/ х ) + 14 = 0. Пусть х + 1/ х = у. Возводим обе части равенства в квадрат. х ² + 2 + 1/ х ² = у² , х ² + 1/ х ² = у² - 2. Получаем квадратное уравнение у² - 7у + 12 = 0, у₁ = 3, у₂ = 4. х + 1/ х =3 или х + 1/ х = 4. Получаем два уравнения: х ² - 3х + 1 = 0, х ² - 4х + 1 = 0. Пример №7. 3х⁴ - 2х³ - 31х² + 10х + 75 = 0. 75:3 = 25, 10:( – 2) = -5, ( -5)² = 25. Условие обобщенного возвратного уравнения выполняется к= -5. Решается аналогично примеру №6. Делим обе части уравнения на х ². 3х⁴ - 2х – 31 + 10/ х + 75/ х ² = 0, 3( х ⁴ + 25/ х ² ) – 2( х – 5/ х ) – 31 = 0. Пусть х – 5/ х = у, возводим обе части равенства в квадрат х ² - 10 + 25/ х ² = у² , х ² + 25/ х ² = у² + 10. Имеем квадратное уравнение 3у² - 2у – 1 = 0, у₁ = 1, у₂ = - 1/3. х – 5/ х = 1 или х – 5/ х = -1/3. Получаем два уравнения: х ² - х – 5 = 0 и 3х² + х – 15 = 0

Слайд 11

Примеры для самостоятельного решения. 1. 78х⁴ - 133х³ + 78х² - 133х + 78 = 0, 2. х ⁴ - 5х³ + 10х² - 10х + 4 = 0, 3. х ⁴ - х ³ - 10х² + 2х + 4 = 0, 4. 6х⁴ + 5х³ - 38х² -10х + 24 = 0, 5. х ⁴ + 2х³ - 11х² + 4х + 4 = 0, 6. х ⁴ - 5х³ + 10х² -10х + 4 = 0. Ответы: 1) 2/3; 3/2, 2) 1;2 3) -1 ±√3; (3±√17)/2, 4) -1±√3; (7±√337)/12 5) 1; 2; (-5± √17)/2, 6) 1; 2.

Слайд 12

Однородные уравнения. Определение. Уравнение вида а₀ u³ + а₁ u² v + а₂ uv² + а₃ v³ = 0 называется однородным уравнением третьей степени относительно u v . Определение. Уравнение вида а₀ u⁴ + а₁ u³v + а₂ u²v² + а₃ uv³ + а₄ v⁴ = 0 называется однородным уравнением четвертой степени относительно u v . Пример №8. Решите уравнение ( х ² - х + 1)³ + 2х⁴( х ² - х + 1) – 3х⁶ = 0 Однородное уравнение третьей степени относительно u = х ²- х + 1, v = х ². Делим обе части уравнения на х ⁶. Предварительно проверили, что х = 0 не является корнем уравнения. ( х ² - х + 1/ х ²)³ + 2( х ² - х + 1/ х ²) – 3 = 0. ( х ² - х + 1)/ х ²) = у, у³ + 2у – 3 = 0, у = 1 корень уравнения. Делим многочлен Р( х ) = у³ + 2у – 3 на у – 1 по схеме Горнера. В частном получаем трехчлен, который не имеет корней. Ответ: 1.

Слайд 13

Примеры для самостоятельного решения. 1. 2( х ² + 6х + 1)² + 5(Х² + 6Х + 1)(Х² + 1) + 2(Х² + 1)² = 0, 2. (Х + 5)⁴ - 13Х²(Х + 5)² + 36Х⁴ = 0, 3. 2(Х² + Х + 1)² - 7(Х – 1)² = 13(Х³ - 1), 4. 2(Х -1)⁴ - 5(Х² - 3Х + 2)² + 2( х – 2)⁴ = 0, 5. ( х ² + х + 4)² + 3х( х ² + х + 4) + 2х² = 0, Ответы: 1) -1; -2±√3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2;4 4) ±√2; 3±√2, 5) Корней нет.

Слайд 14

Метод неопределенных коэффициентов. Теорема №3. Два многочлена Р( х ) и G( х ) тождественны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую степень и коэффициенты при одноименных степенях переменной в обоих многочленах равны. Пример №9. Разложить на множители многочлен у⁴ - 4у³ + 5у² - 4у + 1. у⁴ - 4у³ + 5у² - 4у + 1 = (у² + ву + с)(у² + в₁у + с₁) =у ⁴ +у³(в₁ + в) + у²(с₁ + с + в₁в ) + у( вс ₁ + св ₁) + сс ₁. Согласно теореме №3 имеем систему уравнений: в₁ + в = -4, с₁ + с + в₁в = 5, вс ₁ + св ₁ = -4, сс ₁ = 1. Необходимо решить систему в целых числах. Последнее уравнение в целых числах может иметь решения: с = 1, с₁ =1; с = -1, с₁ = -1. Пусть с = с ₁ = 1, тогда из первого уравнения имеем в₁ = -4 –в. Подставляем во второе уравнение системы в² + 4в + 3 = 0, в = -1, в₁ = -3 или в = -3, в₁ = -1. Данные значения подходят третьему уравнению системы. При с = с ₁ = -1 Д < 0 . Ответ: (у² - у + 1)(у² -3у + 1).

Слайд 15

Пример №10. Разложить на множители многочлен у³ - 5у + 2. у³ -5у + 2 = (у + а)(у² + ву + с) = у³ + (а + в)у² + ( ав +с)у + ас. Имеем систему уравнений: а + в = 0, ав + с = -5, ас = 2. Возможные целые решения третьего уравнения: (2; 1), (1; 2), ( -2; -1), ( -1; -2). Пусть а = -2, с = -1. Из первого уравнения системы в = 2, что удовлетворяет второму уравнению. Подставляя данные значения в искомое равенство получим ответ: (у – 2)(у² + 2у – 1). Второй способ. У³ - 5у + 2 = у³ -5у + 10 – 8 = (у³ - 8) – 5(у – 2) = (у – 2)(у² + 2у -1).

Слайд 16

Примеры для самостоятельного решения. Разложите на множители многочлены: 1. у⁴ + 4у³ + 6у² +4у -8, 2. у⁴ - 4у³ + 7у² - 6у + 2, 3. х ⁴ + 324, 4. у⁴ -8у³ + 24у² -32у + 15, 5. Решите уравнение, используя метод разложения на множители: а) х ⁴ -3х² + 2 = 0, б) х ⁵ +5х³ -6х² = 0. Ответы: 1) (у² +2у -2)(у² +2у +4), 2) (у – 1)²(у² -2у + 2), 3) ( х ² -6х + 18)( х ² + 6х + 18), 4) (у – 1)(у – 3)(у² -4у + 5), 5а) ± 1; ±√2 , 5б) 0; 1.

Слайд 17

Функционально – графический метод решения уравнений высших степеней. Пример №11. Решите уравнение х ⁵ + 5х -42 = 0. Функция у = х ⁵ возрастающая, функция у = 42 – 5х убывающая ( к < о ). Теорема №4. Если функция f( х ) возрастающая, а g ( х ) убывающая, то уравнение f( х ) = g ( х ) имеет на ее области определения не более одного корня. Искомое уравнение имеет не более одного корня. Подбираем корень уравнения х = 2. Ответ: 2. Пример №12. Решите уравнение х ⁴ - 8х + 63 = 0. х ⁴ = 8х – 63. Построим графики функций: у = х ⁴, у = 8х – 63. Графики функций не имеют общих точек. Уравнение не имеет корней.

Слайд 18

Примеры для самостоятельного решения. 1. Используя свойство монотонности функции, докажите, что уравнение имеет единственный корень, и найдите этот корень: а) х ³ = 10 – х , б) х ⁵ + 3х³ - 11√2 – х. Ответы: а) 2, б) √2. 2. Решите уравнение, используя функционально – графический метод: а) х = ³ √х , б) l х l = ⁵ √х , в) 2 = 6 – х , г) (1/3) = х +4, д ) ( х – 1)² = log₂ х , е) log = ( х + ½)² , ж) 1 - √х = ln х , з ) √х – 2 = 9/х. Ответы: а) 0; ±1, б) 0; 1, в) 2, г) -1, д ) 1; 2, е) ½, ж) 1, з ) 9.

Слайд 19

Формулы Виета для уравнений высших степеней. Теорема №5 ( Теореме Виета). Если уравнение а х ⁿ + а х ⁿ + … + а₁х + а₀ имеет n различных действительных корней х ₁, х ₂, … , х , то они удовлетворяют равенствам: Для квадратного уравнения ах² + вх + с = о: х ₁ + х ₂ = -в/а, х₁х ₂ = с/а; Для кубического уравнения а₃х ³ + а₂х ² + а₁х + а₀ = о: х ₁ + х ₂ + х ₃ = -а₂/а₃; х₁х ₂ + х₁х ₃ + х₂х ₃ = а₁/а₃; х₁х₂х ₃ = -а₀/а₃; …, для уравнения n –ой степени: х ₁ + х ₂ + … х = - а / а , х₁х ₂ + х₁х ₃ + … + х х = а / а , … , х₁х ₂·… · х = ( - 1) ⁿ а₀/а . Выполняется и обратная теорема.

Слайд 20

Пример №13. Напишите кубическое уравнение, корни которого обратны корням уравнения х ³ - 6х² + 12х – 18 = 0, а коэффициент при х ³ равен 2. 1. По теореме Виета для кубического уравнения имеем: х ₁ + х ₂ + х ₃ = 6, х₁х ₂ + х₁х ₃ + х₂х ₃ = 12, х₁х₂х ₃ = 18. 2. Составляем обратные величины данным корням и для них применяем обратную теорему Виета. 1/ х ₁ + 1/ х ₂ + 1/ х ₃ = ( х₂х ₃ + х₁х ₃ + х₁х ₂)/ х₁х₂х ₃ = 12/18 = 2/3. 1/ х₁х ₂ + 1/ х₁х ₃ + 1/ х₂х ₃ = ( х ₃ + х ₂ + х ₁)/ х₁х₂х ₃ = 6/18 = 1/3, 1/ х₁х₂х ₃ = 1/18. Получаем уравнение х ³ +2/3х² + 1/3х – 1/18 = 0 · 2 Ответ: 2х³ + 4/3х² + 2/3х -1/9 = 0.

Слайд 21

Примеры для самостоятельного решения. 1. Напишите кубическое уравнение, корни которого обратны квадратам корней уравнения х ³ - 6х² + 11х – 6 = 0, а коэффициент при х ³ равен 8. Ответ: 8х³ - 98/9х² + 28/9х -2/9 = 0. Нестандартные методы решений уравнений высших степеней. Пример №12. Решите уравнение х ⁴ -8х + 63 = 0. Разложим левую часть уравнения на множители. Выделим точные квадраты. Х⁴ - 8х + 63 = ( х ⁴ + 16х² + 64) – (16х² + 8х + 1) = ( х ² + 8)² - (4х + 1)² = ( х ² + 4х + 9)( х ² - 4х + 7) = 0. Оба дискриминанта отрицательные. Ответ: нет корней.

Слайд 22

Пример №14. Решите уравнение 21х³ + х ² - 5х – 1 = 0. Если свободный член уравнения равен ± 1, то уравнение преобразуется в приведенное уравнение с помощью замены х = 1/у. 21/у³ + 1/у² - 5/у – 1 = 0 · у³, у³ + 5у² -у – 21 = 0. у = -3 корень уравнения. (у + 3)(у² + 2у -7) = 0, у = -1 ± 2√2. х ₁ = -1/3, х ₂ = 1/ -1 + 2√2 = ( 2√2 + 1)/7, Х₃ = 1/-1 -2√2 =( 1-2√2)/7. Пример №15. Решите уравнение 4х³-10х² + 14х – 5 = 0. Умножим обе части уравнения на 2. 8х³ -20х² + 28х – 10 = 0, (2х)³ - 5(2х)² + 14·(2х) -10 = 0. Введем новую переменную у = 2х, получим приведенное уравнение у³ - 5у² + 14у -10 = 0, у = 1 корень уравнения. (у – 1)(у² - 4у + 10) = 0, Д < о, 2х = 1, х = 0,5. Ответ: 0,5

Слайд 23

Пример №16. Доказать, что уравнение х ⁴ + х ³ + х – 2 = 0 имеет один положительный корень. Пусть f ( х ) = х ⁴ + х ³ + х – 2, f’ ( х ) = 4х³ + 3х² + 1 > о при х > о. Функция f ( х ) возрастающая при х > о, а значение f (о) = -2. Очевидно, что уравнение имеет один положительный корень ч.т.д. Пример №17. Решите уравнение 8х(2х² - 1)(8х⁴ - 8х² + 1) = 1. И.Ф.Шарыгин « Факультативный курс по математике для 11 класса».М. Просвещение 1991 стр90. 1. l х l < 1, поскольку при l х l > 1 2х² - 1 > 1 и 8х⁴ -8х² + 1 > 1 2. Сделаем замену х = cosy , у € (0; п ). При остальных значениях у, значения х повторяются, а уравнение имеет не более 7 корней. 2х² - 1 = 2 cos²y – 1 = cos2y , 8х⁴ - 8х² + 1 = 2(2х² - 1)² - 1 = 2 cos²2y – 1 = cos4y . 3. Уравнение принимает вид 8 cosycos2ycos4y = 1. Умножаем обе части уравнения на siny . 8 sinycosycos2ycos4y = siny . Применяя 3 раза формулу двойного угла получим уравнение sin8y = siny , sin8y – siny = 0

Слайд 24

Окончание решения примера №17. Применяем формулу разности синусов. 2 sin7y/2 · cos9y/2 = 0 . Учитывая, что у € (0;п), у = 2пк/3, к = 1, 2, 3 или у = п /9 + 2пк/9, к =0, 1, 2, 3. Возвращаясь к переменной х получаем ответ: Cos2 п /7, cos4 п /7, cos6 п /7, cos п /9, ½, cos5 п /9, cos7 п /9 . Примеры для самостоятельного решения. Найти все значения а, при которых уравнение ( х ² + х )( х ² + 5х + 6) = а имеет ровно три корня. Ответ: 9/16. Указание: построить график левой части уравнения. F max = f(0) = 9/16 . Прямая у = 9/16 пересекает график функции в трех точках. Решите уравнение ( х ² + 2х)² - ( х + 1)² = 55. Ответ: -4; 2. Решите уравнение ( х + 3)⁴ + ( х + 5)⁴ = 16. Ответ: -5; -3. Решите уравнение 2( х ² + х + 1)² -7( х – 1)² = 13( х ³ - 1).Ответ: -1; -1/2, 2;4 Найдите число действительных корней уравнения х ³ - 12х + 10 = 0 на [-3; 3/2]. Указание: найти производную и исследовать на монот .

Слайд 25

Примеры для самостоятельного решения ( продолжение). 6. Найдите число действительных корней уравнения х ⁴ - 2х³ + 3/2 = 0. Ответ: 2 7. Пусть х ₁, х ₂, х ₃ - корни многочлена Р( х ) = х ³ - 6х² -15х + 1. Найдите Х₁² + х ₂² + х ₃². Ответ: 66. Указание: примените теорему Виета. 8. Докажите, что при а > о и произвольном вещественном в уравнение х ³ + ах + в = о имеет только один вещественный корень. Указание: проведите доказательство от противного. Примените теорему Виета. 9. Решите уравнение 2( х ² + 2)² = 9( х ³ + 1). Ответ: ½; 1; (3 ± √13)/2. Указание: приведите уравнение к однородному, используя равенства Х² + 2 = х + 1 + х ² - х + 1, х ³ + 1 = ( х + 1)( х ² - х + 1). 10. Решите систему уравнений х + у = х ², 3у – х = у². Ответ: (0;0),(2;2), (√2; 2 - √2), (- √2 ; 2 + √2). 11. Решите систему: 4у² -3ху = 2х –у, 5х² - 3у² = 4х – 2у. Ответ: ( о;о ), (1;1),(297/265; - 27/53).

Слайд 26

Контрольная работа. 1 вариант. 1. Решите уравнение ( х ² + х ) – 8( х ² + х ) + 12 = 0. 2. Решите уравнение ( х + 1)( х + 3)( х + 5)( х + 7) = - 15. 3. Решите уравнение 12х²( х – 3) + 64( х – 3)² = х ⁴. 4. Решите уравнение х ⁴ - 4х³ + 5х² - 4х + 1 = 0 5. Решите систему аравнений : х ² + 2у² - х + 2у = 6, 1,5х² + 3у² - х + 5у = 12.

Слайд 27

2 вариант 1. ( х ² - 4х)² + 7( х ² - 4х) + 12 = 0. 2. х ( х + 1)( х + 5)( х + 6) = 24. 3. х ⁴ + 18( х + 4)² = 11х²( х + 4). 4. х ⁴ - 5х³ + 6х² - 5х + 1 = 0. 5. х ² - 2ху + у² + 2х²у – 9 = 0, х – у – х²у + 3 = 0. 3 вариант . 1. ( х ² + 3х)² - 14( х ² + 3х) + 40 = 0 2. ( х – 5)(х-3)( х + 3)( х + 1) = - 35. 3. х4 + 8х²( х + 2) = 9( х+ 2)². 4. х ⁴ - 7х³ + 14х² - 7х + 1 = 0. 5. х + у + х ² + у ² = 18, ху + х ² + у² = 19.

Слайд 28

4 вариант. ( х ² - 2х)² - 11( х ² - 2х) + 24 = о. ( х -7)(х-4)(х-2)( х + 1) = -36. Х⁴ + 3( х -6)² = 4х²(6 – х ). Х⁴ - 6х³ + 7х² - 6х + 1 = 0. Х² + 3ху + у² = - 1, 2х² - 3ху – 3у² = - 4. Дополнительное задание: Остаток от деления многочлена Р( х ) на ( х – 1) равен 4, остаток от делении на ( х + 1) равен2, а при делении на ( х – 2) равен 8. Найти остаток от деления Р( х ) на ( х ³ - 2х² - х + 2).

Слайд 29

Ответы и указания: вариант № 1 № 2. № 3. № 4. № 5. 1. - 3; ±2; 1 1;2;3. -5; -4; 1; 2. Однородное уравнение: u = x -3, v =x² -2 ; -1; 3; 4. (2;1); (2/3;4/3). Указание: 1·(-3) + 2· 2 2. -6; -2; -4±√6. -3±2√3; - 4; - 2. 1±√11; 4; - 2. Однородное уравнение : u = x + 4, v = x² 1 ; 5;3±√13. (2;1); (0;3); ( - 3; 0). Указание: 2· 2 + 1. 3. -6; 2; 4; 12 -3; -2; 4; 12 -6; -3; -1; 2. Однородное u = x+ 2, v = x² -6 ; ±3; 2 (2;3), (3;2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7). Указание: 2 -1. 4. (3±√5)/2 2±√3 2±√3; (3±√5)/2 (5 ± √21)/2 (1;-2), (-1;2). Указание: 1·4 + 2 .

Слайд 30

Решение дополнительного задания. По теореме Безу: Р(1) = 4, Р(-1) = 2, Р(2) = 8. Р( х ) = G(x) ( х ³ - 2х² - х + 2) + ах² + вх + с. Подставляем 1; - 1; 2. Р(1) = G(1) ·0 + а + в + с = 4, а + в+ с = 4. Р(-1) = а – в + с = 2, Р(2) = 4а² + 2в + с = 8. Решая полученную систему из трех уравнений получим: а = в = 1, с = 2. Ответ: х ² + х + 2.

Слайд 31

Критерий № 1 - 2 балла. 1 балл – одна вычислительная ошибка. № 2,3,4 – по 3 балла. 1 балл – привели к квадратному уравнению. 2 балла – одна вычислительная ошибка. № 5. – 4 балла. 1 балл – выразили одну переменную через другую. 2 балла – получили одно из решений. 3 балла – одна вычислительная ошибка. Дополнительное задание: 4 балла. 1 балл – применили теорему Безу для всех четырех случаев. 2 балла – составили систему уравнений. 3 балла – одна вычислительная ошибка.