Главные вкладки

    Занятие математического кружка "Лист Мебиуса"
    план-конспект занятия по алгебре (6 класс) на тему

    Найда Светлана Николаевна

    К программе "Занимательная математика"

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Файл zanyatie_list_mebiusa.docx144.03 КБ

    Предварительный просмотр:

    Занятие 49. Лист Мёбиуса.

     Цель: познакомить учащихся с известной топологической фигурой.

    Методические рекомендации. К занятию, посвященному листу Мёбиуса, полезно подготовить достаточное количество бумажных лент, с которыми будут проводиться эксперименты. Хороши ленты, у которых длина примерно в 4 раза больше ширины. При разрезании листов Мёбиуса, склеенных из более узких лент, получатся слишком тонкие "кольца". Предложите набор лент, клей и ножницы каждому школьнику для экспериментальной работы сначала параллельно с учителем, а потом самостоятельно.

    Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

    У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может.

    Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии. 

    Изготовление и знакомство с листом Мёбиуса.

    Смотрите, я беру бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией. Прикладываю ее концы АВ и СD друг к другу и склеиваю. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С. Перед склейкой я перекрутила ленту один раз. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть даже особое название - "Лист Мёбиуса". Лист Мёбиуса - неориентируемая поверхность с краем, которая получается при отождествлении точек двух противоположных сторон прямоугольника(рис.1).

    Расположенный в пространстве лист Мёбиуса является односторонней поверхностью. Его можно расположить в пространстве, сделав не только один полуоборот полоски ( как на рис.2), но и произвольное число оборотов.

                

    Рис.1        Рис.2.  Один полуоборот                   Рис.3. Три                                                             полуоборотаполоски                                                                                                   полоски.

     Показать учащимся, что это односторонняя поверхность: лист Мёбиуса склеить               (лучше скотчем), провести линию, показать, что она замкнулась.

    Сколько сторон у листа Мёбиуса?

    У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!

    Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса - кусок за куском, не переходя за край ленты. И что же? Вы закрасите весь лист Мёбиуса! "Если кто-нибудь вздумает раскрасить "только одну" сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской"- пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге "Что такое математика".

    Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную - муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи, не так ли? А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее!

    Топология как наука.  

    Лист Мёбиуса - один из объектов области математики под названием "топология" (по-другому - "геометрия положения"). Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.

    В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

    С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

    Среди букв русского алфавита тоже есть топологически одинаковые буквы. Предлагаю детям представить, что они сделаны из мягкой проволоки и перечислить топологически родственные буквы (проволоку можно гнуть и растягивать).http://www.im-possible.info/images/articles/escher_math/mobius_strip_small.gif

                                               

                                             

    М. Эшер. Лист Мёбиуса.

    Работа в парах

     1. Склеить лист Мёбиуса.

    2.Ответить на вопросы:

    • Что получится, если разрезать ленту Мёбиуса (ЛМ) по середине?
    • Если начать закрашивать ЛМ с одной стороны, не переходя через край, то какая часть ЛМ окажется в результате закрашенной.
    • Что получится, если перекрутить ленту дважды, а потом разрезать вдоль посередине?
    • На обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев провести по две пунктирные линии. Склеить лист Мёбиуса. Разрезать по пунктирным линиям. Описать полученный результат. (Получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое - лист Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса.
    • Дать прогноз для подобного эксперимента, но когда лента не была перекручена. (Два тонких кольца и центральная часть).
    • Приготовьте ленту шириной 5 см, на которой нанесите пунктир, отступив от края на1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделайте из неё лист Мёбиуса. Что получится, если разрезать его по пунктиру? Получим 3 кольца: кольцо - лист Мёбиуса - 1 перекрут, ширина 1 см, длина равна длине исходного кольца. II, III – кольца,  кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа. II и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой.
    • Предложить свой эксперимент с ЛМ.


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Занятие математического кружка "Фокусы-магия или математический расчёт?", 6 класс

    На занятии математического кружка "Фокусы - магия или математический расчёт?" шестиклассники в игровой форме разгадывают секрет математических задач и не только....

    Презентация к занятию математического кружка в 5 классе. Тема занятия "Волшебный мир иллюзий".

    Презентация создана с учетом возрастных особенностей и содержит познавательный материал, развивающий интерес к математике учащихся 5 классов....

    Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие 1. Арифметика

    Математический кружок- одна из наиболее эффективных форм внеклассных занятий. Для меня, как учителя, важно иметь под рукой пособие, в котором представлены идеи решений и которое позволило бы провести ...

    Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие 2. Арифметика

    Математический кружок- одна из наиболее эффективных форм внеклассных занятий. Для меня, как учителя, важно иметь под рукой пособие, в котором представлены идеи решений и которое позволило бы провести ...

    Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие 3. Задачи на четность

    Математический кружок- одна из наиболее эффективных форм внеклассных занятий. Для меня, как учителя, важно иметь под рукой пособие, в котором представлены идеи решений и которое позволило бы провести ...

    Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие 4-6. Задачи на четность

    Математический кружок- одна из наиболее эффективных форм внеклассных занятий. Для меня, как учителя, важно иметь под рукой пособие, в котором представлены идеи решений и которое позволило бы провести ...

    Занятие математического кружка для учащихся 6 - 8 классов по теме "Математические софизмы"

    Математические софизмы могут быть очень полезны. Разбор софизмов развивает логическое мышление, помогает сознательному усвоению обучаемого материала, воспитывает вдумчивость, наблюдательность, критиче...