Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие 4-6. Задачи на четность
план-конспект занятия по математике (7 класс) по теме

Задачи на четность

Вы, конечно, знаете, что числа бывают четные и нечетные.

Четные числа - это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K, подобрав подходящее целое K.

Нечетные числа - это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K + 1, подобрав подходящее целое K.

Говоря о чётности, надо помнить, что только целые числа могут быть чётными и нечётными. Поэтому число вида 2n, где n- любое целое число, всегда чётно, а число вида 2n+1 всегда нечётно. Число 0 является чётным числом.

Многие задачи решаются путем использования свойств четности чисел. Рассмотрим  некоторые свойства чётности:

• Произведение любого целого числа на чётное число чётно.
• Произведение двух нечётных чисел нечётно.
• Сумма двух чисел разной чётности нечётна.
• Сумма двух чисел одной чётности чётна.
• Если сумма двух чисел нечётна, то слагаемые имеют разную чётность.
• Если сумма двух чисел чётна, то слагаемые имеют одинаковую чётность.
• Чётность суммы двух чисел равна чётности их разности.
• Чётность суммы совпадает с чётностью количества нечётных слагаемых.

Рассмотрим несколько задач, решение которых построено на четности чисел:

 Задача 1: 

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могли ли получить число 11011811061018224521543?

 Решение: 

Если произведение (x – y) ∙ x ∙ y нечётно, то нечётны все множители, то есть (x – y), x и y. А это невозможно, так как если числа x и y нечётны, то их разность x – y чётна.

Ответ: нет, не могут.

 Задача 2: 

Чётова пишет на доску одно целое число, а Нечётов — другое. Если произведение чётно, победителем объявляют Чётову, если нечётно, то Нечётова. Может ли один из игроков играть так, чтобы непременно выиграть?

 Решение: 

Чётова может написать число 0. (Или любое другое чётное число.) Произведение любого чётного числа и любого целого числа чётно, поэтому Чётова всегда будет выигрывать.

Задача 3.

Сумма трёх чисел нечётна. Сколько слагаемых нечётно?

Решение:

Одно или три.

Нетрудно привести примеры, что оба случая возможны. Остальные два случая (нечётных слагаемых два или нет совсем) легко приводятся к противоречию.
ВЫВОД:
Чётность суммы совпадает с чётностью количества нечётных слагаемых.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4

Не вычисляя суммы 1+2+3+……+1999, определите её чётность.

Задача 5.

Ученица 5 класса Катя и несколько ее одноклассников встали в круг, взявшись за руки. Оказалось, что каждый держит за руки либо двух мальчиков, либо двух девочек. Если в кругу стоит пять мальчиков, то сколько там стоит девочек?

Задача 6 .

Вася на каникулах собирается съездить в Испанию. Он решил прочитать книгу об известном испанском архитекторе Антонио Гауди. Он узнал, что в его творчестве много раз присутствовал магический квадрат 4×4 (такой квадрат, сумма чисел в каждой строке и каждом столбце которого одинакова). Вася задумался: а можно ли составить такой квадрат из первых 16 простых чисел? А вы как думаете?

Задача 7.

Вася читал политический роман. В нем рассказывалось про страну, в парламенте которой две палаты, и в обеих палатах одинаковое число депутатов. В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причем воздержавшихся не было. В результате голосования председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса. Вася не стал дальше читать этот роман, так как его автор совсем не подумал о возможности такого голосования. В чем была ошибка автора?

Задача 8.

Следующая Васина книга была про капитана Кука. Уже под конец книги капитан Кук попал в плен к гавайскому племени. Их главарь требует у него выкуп, причем, будучи суеверным, хочет получить желаемую сумму ровно тринадцатью монетами. У Кука были только монеты достоинством в 10, 30, 70 и 150 дублонов, а выкуп был назначен в 1000 дублонов. Вася понял, чем кончится дело, и не стал дочитывать книгу. Как и что понял Вася?

Задача 9:

Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, поворачивая на 90 градусов каждые 15 минут. Доказать, что она может вернуться в исходную точку только через целое число часов.

Задача 10:

Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

Задача 11:

Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

Задача 12:

Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.

Задача 13:

Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

Задача 14:

В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними   знаки  « + » и « – » так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю?

Замечание: учтите, что отрицательные числа также бывают четными и нечетными.

Задача 15:

Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз – на 2 см и так далее. Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал.

Задача 16:

На доске написаны числа 1, 2, 3, …, 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них записать модуль их разности. В конце концов, на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Задача 17:

Можно ли покрыть шахматную доску доминошками 1 × 2 так, чтобы свободными остались только клетки a1 и h8?

Задача 18:

К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы четна.

Задача 19:

В народной дружине 100 человек и каждый вечер трое из них идут на дежурство. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз?

Задача 20:

На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

Задача 21:

По кругу расставлено 9 чисел – 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

Задача 22:

25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа – мальчики.

Задача 23:

Улитка ползет по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом. Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.

Задача 24:

Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Задача 25:

Можно ли выписать в ряд по одному разу цифры от 1 до 9 так, чтобы между единицей и двойкой, двойкой и тройкой, …, восьмеркой и девяткой было нечетное число цифр?

Задача 26.

На плоскости расположено 13 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно? А если шестеренок 14?

Задача 27.

Квадрат 5x5 заполнен числами так, что произведение чисел в

каждой строке отрицательно. Доказать, что найдется столбец, в котором произведение чисел отрицательно.

Задача 28.

Можно ли доску размером 5x5 заполнить доминошками размером 1x2?

Задача 29.

16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них расположить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1?

Задача 30.

Сумма 2002 натуральных чисел - число нечетное. Каким числом: четным или нечетным является произведение этих чисел?

Задача 31.

В вершинах куба записаны числа 2, 0, 0, 3, 1, 9, 5, 7. За один ход разрешается прибавить к числам, стоящим на концах одного ребра, одно и то же целое число. Можно ли за несколько ходов получить нули во всех вершинах?

Задача 32.

У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечетное число рук, четно.

Задача 33.

Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

Задача 34.

На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?

Задача 35.

На доске написаны натуральные числа от 1 до 2010. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность. Сколько раз нужно выполнить эту операцию, чтобы на доске осталось одно число? Какое это число – четное, или нечетное?

Задача 36.

Из поврежденной книги выпала часть сшитых вместе листов. Номер первой выпавшей страницы – 143. Номер последней записан теми же цифрами, но в ином порядке. Сколько страниц выпало из книги?

Задача 37.

Если в числовой автомат ввести какое-то число, то он может за один шаг прибавить к нему 2 или 3 или умножить его на 2 или на 3. В автомат ввели число 1 и заставили его перебрать  все возможные комбинации из трех ходов. Сколько раз при этом в результате получились четные числа?

Задача 38.

В одном месяце три среды выпали на четные числа. Какого числа в этом месяце было второе воскресенье?

Решения, ответы к задачам

Задача 4

Решение:

В этой сумме 1000 нечётных слагаемых. Следовательно, она чётна.

Задача 5.

Решение. 

Одна девочка в кругу уже есть — это сама Катя. Тогда соседние с ней мальчики должны стоять между двумя девочками и так далее. То есть если с одной стороны от мальчика стоит девочка, то и с другой тоже. Поэтому мальчики и девочки в кругу чередуются. Значит, мальчиков и девочек там равное количество, а именно по 5.

Ответ. 5 девочек.

Задача 6 .

Решение. 

Среди первых 16 простых чисел (да и вообще среди простых чисел) только число 2 четно, а все остальные нечетны (иначе они делились бы на 2 и были бы составными). В строке, где находится число 2, будет одно четное число и три нечетных, значит, сумма чисел в этой строке также будет нечетна. А в остальных строках будет по четыре нечетных числа, и их сумма будет четна. Поэтому магический квадрат из первых 16 простых чисел составить нельзя.

Ответ. Нельзя.

Задача 7.

Решение.

Предположим, что «против» проголосовало n депутатов, тогда «за» проголосовало n+23 депутатов. Поскольку голосовали все, то общее число депутатов в парламенте равно n+n+23=2n+23. Это нечетное число, поскольку 2n четно, а 23 нечетно. Но поскольку в обеих палатах парламента равное число депутатов, то общее число депутатов в парламенте должно быть четным. Полученное противоречие доказывает, что автор книги ошибся.

Задача 8.

Решение. 

Числа 10, 30, 70 и 150 состоят из нечетного числа десятков, поэтому сумма 13 монет с такими достоинствами тоже будет состоять из нечетного числа десятков. А число 1000 состоит из 100, то есть четного числа, десятков. Поэтому набрать ровно 1000 дублонов монетами по 10, 30, 70 и 150 дублонов не удастся.

Ответ. 

Вася понял, что капитан Кук при всем желании не сможет выполнить требования главаря племени и дела его, по всей видимости, очень плохи.

Задача 9:

Решение:

Вправо улитка должна ползти столько же времени, сколько влево, а вверх – столько же, сколько вниз. Значит, улитка проползла чётное число вертикальных и чётное число горизонтальных «пятнадцатиминутных» отрезков. К тому же вертикальные и горизонтальные отрезки чередуются, значит, общее их число делится на 4.

Задача 10:

Ответ: Нет

Задача 11:

Решение:

На каждом листе сумма номеров страниц нечетна, а сумма 25 нечетных чисел – нечетна.

Задача 12:

Решение:

Среди этих чисел – четное число «минус единиц», а для того, чтобы сумма равнялась нулю, их должно быть ровно 11.

Задача 13:

Решение:

Среди этих чисел одно (2) – четное, а остальные – нечетные. Поэтому в той строке, где стоит двойка, сумма чисел нечетна, а в других – четна.

Задача 14:

Решение:

В самом деле, сумма чисел от 1 до 10 равна 55, и изменяя в ней знаки, мы меняем все выражение на четное число.

Задача 15:

Решение:

Указание: Сумма 1 + 2 +  …  + 1985 нечетна.

Задача 16:

Решение:

Проверьте, что при указанных операциях четность суммы всех написанных на доске чисел не меняется.

Задача 17:

Решение:

Каждая доминошка  покрывает одно черное и одно белое поле, а при выкидывании полей a1 и h8 черных полей остается на 2 меньше, чем белых.

Задача 18:

Решение:

Разберите два случая: сумма первой и последней цифр числа меньше 10, и сумма первой и последней цифр числа не меньше 10. Если допустить, что все цифры суммы – нечетны, то в первом случае не должно быть ни одного переноса в разрядах (что, очевидно, приводит к противоречию), а во втором случае наличие переноса при движении справа налево или слева направо чередуется с отсутствием переноса, и в результате мы получим, что цифра суммы в девятом разряде обязательно четна.

Задача 19:

Решение:

Так как на каждом дежурстве, в котором участвует данный человек, он дежурит с двумя другими, то всех остальных можно разбить на пары. Однако 99 – нечетное число.

Задача 20:

Решение:

Для любой точки X, лежащей вне AB, имеем AX – BX =  ± AB. Если предположить, что суммы расстояний равны, то мы получим, что выражение  ± AB ± AB ±  …  ± AB, в котором участвует 45 слагаемых, равно нулю. Но это невозможно.

Задача 21:

Решение:

Ясно, что комбинация из девяти единиц раньше, чем девять нулей, получиться не может. Если же получилось девять нулей, то на предыдущем ходу нули и единицы должны были чередоваться, что невозможно, так как их всего нечетное количество.

Задача 22:

Решение:

Проведем наше доказательство от противного. Занумеруем всех сидящих за столом по порядку, начиная с какого-то места. Если на k-м месте сидит мальчик, то ясно, что на (k – 2)-м и на (k + 2)-м местах сидят девочки. Но поскольку мальчиков и девочек поровну, то и для любой девочки, сидящей на n-м месте, верно, что на (n – 2)-м и на (n + 2)-м местах сидят мальчики. Если мы теперь рассмотрим только тех 25 человек, которые сидят на «четных» местах, то получим, что среди них мальчики и девочки чередуются, если обходить стол в каком-то направлении. Но 25 – нечетное число.

Задача 23:

Решение:

Ясно, что количество a участков, на которых улитка ползла вверх или вниз, равно количеству участков, на которых она ползла вправо или влево. Осталось только заметить, что a – четно.

Задача 24:

Решение:

Нужно отложить данную монету в сторону, а затем разделить остальные 100 монет на две кучки по 50 монет, и сравнить веса этих кучек. Если они отличаются на четное число грамм, то интересующая нас монета настоящая. Если же разность весов нечетна, то монета фальшивая.

Задача 25:

Решение:

В противном случае все цифры в ряду стояли бы на местах одной и той же четности.

Задача 26.

Решение:

Пусть первая шестеренка вращается по часовой стрелке, тогда вторая - против часовой стрелки, третья - по часовой стрелке и т. д. Получим, что двенадцатая будет вращаться против часовой стрелки, а тринадцатая - по часовой стрелке.

Значит, первая должна вращаться против часовой, что противоречит тому, что она вращается по часовой стрелке. Поэтому, все 13 шестеренок вращаться одновременно не могут. А вот 14 уже могут.

Задача 27.

Решение:

найдём произведение всех чисел в квадрате: так как произведение чисел в одной строке отрицательно, то произведение всех чисел (5 строк) будет отрицательно. Но с другой стороны, произведение всех чисел равно и произведению чисел в столбцах (5 столбцов). А так как произведение всех чисел отрицательно, то найдется столбец, в котором произведение чисел является отрицательным.

Задача 28.

Решение:

Нет, так как общее число клеток - 25 не делится на 2.

Задача 29.

Решение:

Если число арбузов в соседних корзинах отличается на 1, то характер четности числа арбузов в этих корзинах будет разным.

Тогда четность числа арбузов в корзинах будет чередоваться, поэтому в половине корзин будет четное число арбузов, а в половине нечетное.

Так как четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых, то общее число арбузов в 8 корзинах с четным числом арбузов и в 8 корзинах с нечетным числом арбузов будет четным. По условию же всего арбузов - 55, а это нечетное число. Значит, разложить нельзя.

Ответ: нельзя.

Задача 30.

Решение:

Так как сумма 2002 чисел - число нечетное, то число нечетных слагаемых - нечетно. Тогда среди 2002 чисел есть хотя бы одно четное число. А значит, произведение 2002 чисел будет четным числом.

Ответ: чётное число.

Задача 31.

Решение:

Так как сумма данных чисел: число 27 - нечетное, а при прибавлении двух одинаковых целых чисел четность суммы не меняется.

Возможные варианты        

Пример

Н + Н = Ч        

27 + Ч = Н

Ч + Ч = Ч        

27 + Ч = Н

Т.о. получить все нули во всех вершинах не получится (сумма восьми нулей – число четное).

Ответ: нельзя.

Задача 32.

Решение.

Назовем марсиан с четным числом рук четными, а с нечетным  нечетными. Поскольку руки образуют пары, то общее число рук четно. Общее число рук у четных марсиан четно, поэтому общее число рук у нечетных марсиан тоже четно. Следовательно, число нечетных марсиан четно.

Задача 33.

Решение:

Если бы такое было возможно, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся. Однако тогда число звеньев должно быть четным.

Отметим ключевой момент рассуждения: если предметы можно разбить на пары, то их число - четно.

Задача 34.

Решение.

После подхода первой девочки количество оставшихся платков либо 19, либо 21 (нечетное количество); после подхода второй девочки – либо 18, либо 20, либо 22 (четное количество); после подхода третьей девочки – либо 17, либо 21, либо 23, либо 19 (нечетное количество). После подхода 17 девочки остается нечетное количество платков. Получается противоречие. Значит, 10 платков остаться не может.

Задача 35.

Решение:

 Каждый раз количество чисел уменьшается на 1 (вместо двух остается одно). Было 2010 чисел, осталось одно, шагов 2009. Так как числа, записанные на доске, натуральные и взяты последовательно, то они отличаются друг от друга на единицу, и, учитывая, что количество чисел четно, можно сделать вывод - в результате останется нечетное  число.

Ответ: 2009 раз нужно выполнить  операцию, чтобы на доске осталось одно число.  Оставшееся число будет нечетное.

Задача 36.

Решение:

Номер последней страницы должен быть четным числом, т.к. номер первой – число нечетное. Значит, номер последней страницы заканчивается цифрой 4. Осталось расставить цифры 1 и 3. Если на первом месте будет стоять цифра 1, то получим, что номер последней страницы меньше номера первой выпавшей, чего быть не может. Таким образом, получаем, что номер последней страницы 314. Количество выпавших страниц равно 314 – 142 = 172.

Ответ: 172 страницы.

Задача 37.

Решение:

(из нечетного получается на следующем шаге 2 четных, 2 нечетных, а из четного – 3 четных и 1 нечетное)

Ответ: в результате  42 раза получились четные числа.

Задача 38.

Решение. 

Если среда пришлась на четное число, то следующая придется на нечетное, поскольку неделя состоит из семи дней. Таким образом, для того, чтобы три среды выпали на четные числа, всего их должно быть в этом месяце пять. При этом первая среда должна приходиться на четное число. Если первая среда придется на четвертое число, то пятая должна быть тридцать второго числа, а в месяце не более тридцати одного дня. Тем более первая среда не может быть позже четвертого. Следовательно, первой средой будет второе число месяца. Тогда месяц начнется со вторника, первое воскресенье будет шестого, а второе воскресенье – тринадцатого.

Литература и интернет - источники

1. С.А.Генкин, И.В.Итенберг, Д.В.Фомин. Математический кружок. Четность. Четность и нечетность
2. http://matuha.ru/olimpiadnie-zadaniya/olimpiadnie-zadachi-na-ch-tnost-chetnost-i-nechetnost--otveti

http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=books.mk1.chetnost.chetnechet