Алгебра 7 класс. Умножение многочленов. Урок открытия новых знаний
план-конспект занятия по алгебре (7 класс) на тему

Предмет, класс: Математика, 7 класс

Тема: «Умножение многочлена на многочлен»

Основные цели:

1) сформировать представление о «произведении многочленов»;

2) вывести правило умножения многочлена на многочлен;

3) формировать умение применять это правило для умножения многочленов;

4) формировать умения применять правило умножения многочленов  при решении уравнений, доказательстве тождеств, а также для рационализации вычислений;

5) тренировать мыслительные операции анализ, синтез, сравнение, речь, логическое мышление, навыки самоконтроля;  коммуникативные и познавательные умения

1.Мотивация к учебной деятельности

Цель этапа:

1) включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока: продолжаем работать с многочленами

Организация учебного процесса на этапе 1:

– Здравствуйте, ребята! Я рада вас видеть в хорошем настроении. И начать сегодняшнюю работу позвольте с  высказывания Ж.Ж.-Руссо, французского философа, писателя: «Среди многих боковых тропинок, сокращающих дорогу к знанию, нам нужнее всего - одна, которая бы научила нас искусству приобретать знания с затруднениями».  Как вы его понимаете? Пусть он будет девизом нашего урока.

– Какой темой мы занимались на предыдущих уроках? (теорией одночленов и  многочленов)

- Какие действия с одночленами и многочленами вы уже умеете выполнять? (сложение, вычитание многочленов, умножение одночлена на многочлен, разложение многочлена на множители путём вынесения общего множителя)

- Напомните, в каких областях находит применение эта тема? (При решении уравнений, доказательстве тождеств, рационализации вычислений)

- Сегодня и в дальнейшем вам понадобятся эти знание и умения для получения новых знаний. А раз сегодня урок открытия новых знаний, то … (должны понять, что мы знаем, что мы ещё не знаем и сами найдём способ)

2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии.

Цель этапа:

1) организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для построения нового знания и вывести правило умножения многочлена на многочлен;

2) зафиксировать актуализированные способы действий в речи;

3) зафиксировать актуализированные способы действий в знаках (эталоны);

4) организовать обобщение актуализированных способов действий;

5) организовать актуализацию мыслительных операций, достаточных для построения нового

знания: анализ, аналогия, обобщение;

6) мотивировать к выполнению пробного действия;

7) организовать самостоятельное выполнение пробного учебного действия;

8) организовать фиксацию индивидуальных затруднений в выполнении учащимися пробного учебного действия или в его обосновании.

Организация учебного процесса на этапе 2:

1. Представьте в виде степени произведение: x5• x8, а9 • а, y2 • yp,  xm • xm+1
2. Представьте в виде одночлена стандартного вида: 4y • 2y, 3а2 • 2а3, -2xy2 •5x4, -7b  •(-3b2c)
3. Выполните умножение: 3x5(5x3 + a),  -6ab(2a + 4b – b2), х(с + d), (а + в)(с + d)

- Кто не справился с последним заданием? Почему? (Я не могу выполнить умножение многочлена на многочлен; я выполнил задание неверно).

- Кто справился с заданием? У кого есть результат? Можете ли вы его обосновать? ( Я справился с заданием, но не могу обосновать правильность своего решения)

3. Выявление места и причины затруднения

Цель этапа:

1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;

 -Какое задание вы должны были выполнить?  (Найти произведение многочленов)

 -В каком месте возникло затруднение? (Я не смог умножить многочлены)

-А почему оно возникло? ( Я не знаю правила умножения многочлена на многочлен)

4. Построение проекта выхода из затруднения

Цель этапа:

1)организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2)согласовать цель и тему урока

-Значит,  какую цель вы перед собой поставите?  (Вывести правило умножения многочленов, учиться его применять)

-Сформулируйте тему нашего сегодняшнего урока (Умножение многочлена на многочлен)

-А какими средствами мы будем достигать поставленной цели? (можно найти соответствующий материал в учебнике, поискать правило в интернете, спросить у учителя, вывести новое свойство самостоятельно, используя уже известные алгоритмы, правила и свойства).

-Как вы будете действовать? Составим план ваших дальнейших действий (составление плана возможно совместно с детьми в диалоге):

1. Обозначим двучлен а+в через х;

2. Выполним умножение одночлена на многочлен

3. В полученном выражении вместо х обратно подставим двучлен а+в;

4. Выполним умножение одночлена на многочлен

5. Проанализируем полученный результат, сформулируем гипотезу

6. Установим её истинность

5. Реализация построенного проекта

Цель этапа:

1) вывести правило умножения многочлена на многочлен

2) зафиксировать новую формулу в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона.

Организация учебного процесса на этапе 5:

Каждый учащийся работает самостоятельно. На доске задание может быть выполнено по шагам и закрыто. По мере того как учащиеся выполняют задание, запись открывается.

1.Пусть а+в=х, тогда:

2.(а+в)(с+d)=х(с+d) = хс + xd

3. с(а+в) + d(а+в)

4. ас + вс + аd + bd

5. Проанализируйте полученный результат. Сопоставьте произведение (а+в)(с+d) с результатом ас + вс + аd + bd. Что вы замечаете? Сформулируйте гипотезу: как же выполняется умножение многочлена на многочлен?

6.  А как установить её истинность? (сделать проверку с научным источником, т.е. с книгой).

(Учащиеся сопоставляют результат с материалом учебника)

- Вы достигли поставленную цель? (Да, мы получили правило умножения многочлена на многочлен)

- Как зафиксируем полученный результат? (Словесно и в виде формулы) (Формула фиксируется на доске)

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

(а+в)(с+d) = ас + вс + аd + bd

− Какие задания вы теперь можете выполнять? (Мы теперь сможем выполнять умножение многочленов)

− Что теперь вы должны сделать? (Мы должны научиться применять новое правило.)

6.Первичное закрепление во внешней речи

Цель этапа: применение новой формулы в типовых заданиях

1. Предлагается устная фронтальная работа  с проговариванием: № 677(а,б,д,е) – устно
2. Решение у доски с подробным объяснением: № 679(д,е)
3. Работа в парах с проговариванием решения: № 680(д,е) (самопроверка по подробному образцу)

(а – 2)(4а3 – 3а2)=а•4а3 + а•(-3а2) -2•4а3 - 2•(-3а2) = 4а4 – 3а3 – 8а3 + 6а2 = 4а4 – 11а3 + 6а2

− Как вы выполняли задание?

− У кого выполнение задания вызвало затруднение?

− В каком месте?

− Почему у вас возникло затруднение?

7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Цель этапа:

проверить своё умение применять новое свойство в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

− Что теперь необходимо сделать? (Надо проверить, правильно ли поняли применение нового правила.)

Задания для самостоятельной работы: № 677(в,г), 678(д,е), 680(б,в)

Эталон для самопроверки

№ 677 (в,г)

в) (а – х)(в – у) = ав – ау – вх + ху

г) (х + 8)(у – 1) = ху – х + 8у – 8

№ 678(д,е)

д) (2у – 1)(3у + 2) = 2у•3у + 2у•2 - 1•3у - 1•2 = 6у2 + 4у – 3у – 2

е) (5х – 3)(4 – 3х) = 5х•4 + 5х•(-3х) - 3•4 - 3•(-3х) = 20х – 15х2 – 12 + 9х = -15х2+ 29х – 12

№ 680(б,в)

б) (m2 – n)(m2 + 2n2) = m2•m2 + m2•2n2 - n•m2 - n•2n2 = m4 + 2m2n2 – nm2 – 2n3

в) (4а2 + в2)(3а2 – в2) = 4а2•3а2 + 4а2• (-в2) + в2•3а2 + в2• (-в2) = 12а4– 4а2в2 + 3а2в2 – в4 = 12а4– а2в2 –в4 

− У кого задание вызвало затруднение?

− В каком месте возникло затруднение?

− Какое правило не выполнили?

− Кто может сказать, что правильно понял, как применять  правило умножения многочлена на многочлен?

− Кому еще надо учиться?

8. Включение в систему знаний и повторение

Цель этапа:

1) тренировать навыки использования нового правила при решении уравнений, доказательстве тождеств;

2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках.

− При выполнении каких заданий в алгебре вы можете применять новое правило? (При упрощении выражений, решении уравнений и доказательстве тождеств)

Задания выполняются на доске.

№ 687(а)

Упростить выражение: (3в – 2)(5 – 2в) + 6в2 = 15в – 6в2 – 10 + 4в + 6в2 = 19в – 10

№ 697(б)

Решить уравнение: (1 – 2х)(1 – 3х) = (6х – 1)х – 1

                                   1 – 3х – 2х + 6х2 = 6х2 – х – 1

                                  -3х – 2х + 6х2 – 6х2 + х = -1 – 1

                                  -4х = -2

                                   х = -2 : (-4)

                                   х = 0,5

                                   Ответ: 0,5

9. Рефлексия деятельности на уроке

Цель этапа:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2) оценить собственную деятельность на уроке;

3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;

4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;

5) обсудить и записать домашнее задание.

– Что нового вы узнали сегодня на уроке?

– Что использовалось при выведении нового правила?

– Какие знания нам помогли в работе?

– Оцените свою работу на уроке. Для этого определите истинность для себя одного из следующих утверждений:

1.Я понял, как  применять правило умножения многочленов.

2.Я знаю, как применить новое правило, но допускаю ошибки.

3.Я знаю, как исправить ошибку, если я выполнил задание неверно.

4.У меня есть вопросы по данной теме.

−Что вам нужно сделать, чтобы хорошо и быстро применять новое правило? (Потренироваться дома в решении задач)

      Д/з: п.29 – читать, № 678(а-г), 679(а – г), 681, 687(б,г), 697(а,в)