Роль устных упражнений при обучении математике.
статья по алгебре на тему

Роль устных упражнений при обучении

 математике.

        Не приходится доказывать, что систематическое проведение устных упражнений вызывает интерес к математике и дисциплинирует учащихся, позволяет экономить время, развивать внимание, наблюдательность, смекалку, повышает культуру математических вычислений.

        Особенно большое значение имеют устные вычисления для сознательного усвоения законов и свойств арифметических действий.

        Устные вычисления весьма ценны в методическом отношении, когда используются как подготовительная ступень при объяснении нового материала (в соответствии с известными дидактическим принципом «от лёгкого к трудному, от простого к сложному, от известного к неизвестному») и особенно при переходе к решению трудных задач. Они вносят разнообразие в преподавании математики, способствуют закреплению знаний и дают возможность быстро проверять эти знания.

        Одним из вопросов, вызывающих затруднения учеников средней школы является нахождение неизвестного компонента арифметического действия. Известны случаи, когда даже ученик VII класса, решая уравнение 125\х =500 или 36х=12, допускает ошибку. Практика показывает, что для лучшего усвоения этих зависимостей полезно проводить устные вычисления в пределах 10, 20, 100, предлагать задачи, выраженные в «косвенной форме». Например, можно устно решать следующие задачи:

        в пределах 10: а) К какому числу надо прибавить 3, чтобы получилось 10? б) На тарелке лежало 9 яблок. Девочка взяла с тарелки несколько яблок, и после этого на тарелке осталось 6 яблок. Сколько яблок взяла девочка? в) 8 тетрадей разделили между учениками. Сколько учеников получили тетради, если каждому из них дали 2 тетради? и т. п.;

        в пределах 100: а) Если к 19 прибавить задуманное мною число, то получится 34. Какое число я задумал? б) Я задумал число, уменьшил его в 7 раз и получил 6. Какое число я задумал? и т. п.;

        в пределах 1000: а) К 285 я прибавил задуманное число и получил 809. Какое число я задумал? б) После того как из бочки продали 59 л керосина, в ней осталось 17 л. Сколько литров керосина было  в этой бочке? в) Какое число надо увеличить в 5 раз, чтобы получилось 820? г) Я задумал число, уменьшил его в 5 раз и получил 114. Какое число я задумал?

        Постепенное, планомерное увеличение трудностей повышает интерес учащихся к предмету, вызывает желание самостоятельно преодолевать эти трудности. На устных вычислениях учащиеся получают своеобразную тренировку, зарядку для отыскания рациональных способов вычисления в более сложных задачах. Устные вычисления имеют большое значение при закреплении и проверке знаний учащихся, а также и при повторении. Так, например, при изучении изменения результатов действий от изменения данных можно предлагать учащимся устно решать задачи следующих видов:

1. На теплоходе ехали 162 пассажира. На одной пристани вышли 109, а вошли 118 пассажиров. Сколько пассажиров продолжало путь?
2. Библиотека списала (по ветхости) 79 книг русских, 12 французских и 19 немецких, но вновь приобрела 110 книг русских, 15 французских 10 немецких. Как изменилось число книг библиотеки?
3. Огород прямоугольной формы имеет площадь, равную 600 кв. м. Длина другого огорода вдвое больше, а ширина вдвое меньше. Какова площадь второго огорода?
4. Турист прошёл за несколько часов 30 км. Сколько километров проехал бы велосипедист, если бы он ехал втрое дольше и в каждый час проезжал бы в 3 раза больше?

С целью закрепления и проверки знания законов арифметических действий в случае дробных чисел можно предлагать учащимся решать устно (с подробным обоснованием приёмов вычислений) следующие примеры:

(247+486+753 : 12 7\15 + 8 1\4) + 7 8\15;

(5\12 * 5\7 * 7\15) * 2 2\5;

84* 7 + 16 * 7; 15 1\18 * 9 + 34 17\18 * 9;

(0,12 * 0,8 * 8) : 0,04

        Проводя устный счёт, учитель имеет возможность быстро определять знания учащимися той или иной темы, степень подготовки класса и до некоторой степени видеть свою недоработку.

        Устные вычисления имеют и образовательное значение. Письменные вычисления основаны на определённых приёмах действий и, естественно, во многих случаях производятся однообразно, по шаблону. В устных же вычислениях нет готового шаблона, приёмы вычислений здесь разнообразны, а поэтому мысль учащихся работает при устных вычислениях интенсивно и творчески.

        Приведу пример:

Целые числа: 425

           +  189        

               175

Письменное решение этого примера шаблонно, оно основано на знании таблицы сложения и правила сложения многозначных чисел. Устное решение примера предполагает применение переместительного и сочетательного законов сложения:

425 + 189 + 175 = (425 + 175) + 189 = 600 + 189 = 789

        При выполнении устных вычислений учащемуся представляется возможность выбирать те или иные приёмы, а это развивает наблюдательность, смекалку.

        Прививая любовь к устным вычислениям, учитель тем самым воспитывает у учащихся навыки сознательного усвоения изучаемого материала, приучает ценить и экономить время, развивает желание поиска рациональных путей решения задачи.

                        Содержание материала по устным

вычислениям.

        При развитии навыков действий над натуральными числами обращается внимание на законы арифметических действий, на зависимость между данными числами и результатами действий над ними, на изменение результатов действий. При изучении натуральных чисел эти вопросы рассматриваются в связи с упрощением устных и письменных вычислений. При изучении дробей (обыкновенных и десятичных) продолжается работа по развитию навыков устных вычислений.

        Приведём примерное содержание устных вычислений с применением приёмов, которыми пользуются учащиеся V-VI классов:

        I. Сложение: 1) Замена нескольких слагаемых их суммой (сочетательный закон). 2) Перестановка слагаемых (переместительный закон). 3) Прибавление суммы к числу. 4) Прибавление числа к сумме.

5) Прибавление к сумме другой суммы.

II. Сложение и вычитание: 1) Перестановка членов ряда сложений (свойство переместительности ряда сложений и вычитаний). 2) Прибавление разности к числу (первый случай сочетательного свойства ряда сложений и вычитаний). 3) Вычитание суммы из числа (второй случай сочетательности ряда сложений и вычитаний). 4) Вычитание разности из числа (третий случай сочетательности ряда сложений и вычитаний). 5) Вычитание числа из суммы. 6) Вычитание числа из разности. 7) Вычитание из суммы другой суммы. 8) Вычитание из разности другой разности. 9) Округление одного или нескольких слагаемых. 10) Округление уменьшаемого или вычитаемого. 11) Замена вычитания сложением и сложения вычитанием. 12) Одновременное сложение и вычитание.

III. Умножение:  1) Замена нескольких сомножителей их произведением (сочетательный закон умножения). 2) Перестановка сомножителей (переместительный закон). 3) Умножение произведения на число. 4) Умножение числа на произведение. 5) Умножение произведения на произведение.

IV. Умножение и деление: 1) Перестановка членов ряда умножений и делений (переместительность ряда умножений и делений). 2) Умножение числа на частное. 3) Деление числа на произведение. 4) Деление числа на частное. 5) Деление произведения на число. 6) Деление произведения нескольких сомножителей на другое произведение. 7) Сокращённый способ умножения: а) умножение на 5, 50, 500 и т. п., б) умножение на 25, 250, 2500 и т. п., в) умножение на 125, 1250 и т. п., г) умножение на 37. 8) Сокращённый способ деления: а) деление на 5, 50, 500 и т. п., б) деление на 25, 250 и т. п., в) деление на 125, 1250 и т. п.

V. Все действия: 1) Распределительность произведения.

2) Умножение разности на число. 3) Деление суммы на число.

 4) Деление разности на число. 5) Округление сомножителей.

6) Округление множителя: а) умножение на 15, 150 и т. п., б) умножение на 9, 99, 999 и т. п., в) умножение на 19, 29, 39 и т.п.

7)Округление слагаемых и замена сложения умножением. 8) Округление уменьшаемого и вычитаемого. 9) Округление делимого. 10) Умножение на 11 по способу округления.

Организация и методика проведения

устных упражнений.

В плане работы учителя (годовым, четвертном) по математике можно выделить специальную графу, в которой записывается материал по устным упражнениям.

Перед составлением плана занятий устными упражнениями надо прежде всего выяснить, насколько учащиеся овладели устным счётом в объёме программы предыдущих лет обучения.

Готовясь к уроку, учитель должен наметить целевую установку устных вычислений и соответственно этому подобрать упражнения, соблюдая строгую последовательность в подборе материала.

Если же устные вычисления служат для повторения материала, который в свою очередь является подготовкой к теме урока, то ученикам необходимо дать соответствующее домашнее задание.

Если с помощью устных упражнений предполагается закрепить следствия из законов сложения  или сведения об изменении частного при изменении данных, то учитель даёт задания ученикам повторить этот материал.

Таким образом, и ученик должен готовиться к занятиям устными вычислениями.

Если устные вычисления имеют целью проверку или выработку навыков быстрого (беглого) счёта, то соответствующие упражнения на основные и особые приёмы устных вычислений даются в классе без предварительного повторения учащимися. Для устных вычислений полезно отводить на уроке 5-7 мин. ежедневно. В большинстве случаев продолжительность устных вычислений определяет сам учитель, так как время, отводимое на устный счёт, зависит от многих причин: активности и подготовки учащихся, характера материала и т. п.

        В практике многих школ устный счёт ставят в начале урока, вслед за проверкой домашней работы. Но нельзя превращать это в шаблон. Устный счёт можно проводить в середине урока, например после вывода нового правила для закрепления его решением задач и примеров под руководством учителя, перед переходом к самостоятельной работе. На уроках, где преобладает решение задач, устные задачи решаются как подготовительные упражнения к предлагаемым трудным задачам с письменным решением.

        Конечно, это ни в коем случае не означает, что занятия устным счётом ограничиваются 5-7 мин. Преподаватель должен требовать от учащихся устных или полуписьменных вычислений при всех подсчётах с небольшими числами, а также и с большими числами, если можно применять приёмы устных вычислений.

        Во время устного счёта нужно обратить особое внимание на то, чтобы ничто не отвлекало учащихся, поэтому нужно всё (тетради, книги, ручки, карандаши и т. п.) убрать с парт, на классной доске не должно быть никаких записей, не относящихся к устному счёту, в классе должна быть полная тишина.

        Чтобы учащиеся лучше усвоили законы и свойства арифметических действий, особые приёмы устных вычислений, полезно включать в домашнее задание самостоятельное составление примеров и задач на ту или иную тему. На следующем уроке учащиеся устно решают предложенные товарищами упражнения, указывают на недостатки упражнений и дают им оценку.

        В методике математики рассматривают устные, полуписьменные и письменные вычисления.

Устные вычисления характеризуются тем, что окончательный  результат и получаемые промежуточные результаты не записываются, вычисления делаются исключительно устно.

Можно выделить следующие виды упражнений по устному счёту:  

1. слуховые упражнения: считающий воспринимает данные числа на слух, ничего не пишет и никакими пособиями не пользуется;
2. зрительные упражнения: считающий воспринимает числа зрением, при этом применяются различные наглядные пособия;
3. зрительно – слуховые упражнения: числа воспринимаются на слух и зрением.

Рассмотрим чисто слуховые устные вычисления, когда учащийся и учитель ничего не записывают и никакими наглядными пособиями не пользуются.

Возьмём примеры и задачи в одно действие. Учитель говорит: «Тридцать восемь умножить на шесть». Учащиеся решают, поднимают руки, показывая, что пример решён, сообщают ответ. Учитель читает: «Ученик израсходовал на книги 2 руб. 98 коп., а на тетради и карандаши 1 руб. 2 коп. Сколько всего ученик израсходовал на книги, карандаши и тетради?» Учащиеся решают задачу и говорят ответ. Можно дать задачу – загадку: «Я задумала число; если его увеличить в 6 раз, то получится 54. Какое число я задумала?» Учащиеся решают и поднимают руки.

        Переходим к составным примерам и задачам (слуховые упражнения). Примеры и задачи из двух и более действий предлагаются классу медленно (по частям), чтобы учащиеся успели запомнить условие и сделать вычисление. Условие не повторяется ни учителем, ни учениками.

        Предлагая классу пример или задачу, учитель говорит (читает) каждое действие (звено) отдельно, делая паузу в несколько секунд после каждого звена; действия указываются в той последовательности, в которой они должны быть выполнены. Например, вычисление 225 х 2 : 50 х 70 – 298 должно быть предложено учащимся в следующей форме : «225 увеличилось в 2 раза» (даётся пауза, рассчитанная на то, чтобы учащиеся успели выполнить это действие), «полученное произведение разделить на 50» (пауза), «полученное частное умножить на 70» (пауза), «из полученного произведения вычесть 298» (пауза). «Сколько получилось?»

        Длительность паузы должна соответствовать среднему времени, необходимому для вычисления заданного звена, так как одинаково нецелесообразны ни слишком длинная, ни очень короткая пауза: длительная утомляет, заставляя удерживать в памяти найденный результат вычисления, а короткая пауза не даёт возможности производить вычисление. По окончании последней паузы учитель после ответов учащихся указывает правильный результат. Получив после опроса двух-трёх учащихся верные ответы, учитель обращается ко всему классу с вопросом: «У кого не такой ответ?» Если других ответов к данному примеру ни у кого нет, учитель переходит к решению следующего примера или задачи.

        Устный беглый счёт должен проводиться также и на задачах. Сложные задачи для устного счёта сначала лучше предлагать в «приведённом» виде,

т. е. в условии задачи числа должны быть расположены в том порядке, в котором должны производиться действия. Задача «приведённого» вида состоит из цепи простых задач (задач в одно действие), связанные между собой тем, что искомое (ответ) каждой задачи является одним из данных следующей задачи.

        Сначала учитель говорит (или читает) учащимся все условие задачи, а потом по звеньям, с паузами. Пока учащиеся не имеют навыка в беглом счёте при решении задачи, после каждой простой задачи можно ставить вопрос, но ответ учащиеся не говорят. Ответ даётся только на главный вопрос задачи.

        Формы слуховых упражнений таковы:

1. пример или задача в одно действие;
2. пример, содержащий от двух до пяти звеньев;
3. задача загадка;
4. задача в «приведённом» виде.

Как зрительно – слуховые, так и чисто слуховые упражнения могут быть даны в виде:

1. примеров;
2. задач без конкретного содержания;
3. задач с конкретным содержанием.

Устные контрольные работы.

На уроках математики учителя могут применять устные контрольные работы. Наиболее распространённые формы таких работ:

1. фронтальная;
2. групповая.

Содержание устной контрольной работы можно подразделить на вопросы трёх групп:

1. Определения формулировки правил.
2. Задачи и примеры.
3. Вопросы на сообразительность, требующие глубокого знания теоретического материала.

Готовясь к фронтальной контрольной работе, учитель подбирает для класса 45 – 60 вопросов, по 15 – 20 вопросов на каждую из указанных групп.

Приведем пример в качестве образца одну из контрольных работ на раздел «Десятичные дроби».

1. 1) Какая дробь называется десятичной?

2) Как увеличить десятичную дробь в 10, в 100, в 1000 раз?   Привести примеры.

     3) Как уменьшить десятичную дробь в 10, в 100, в 1000 раз?      Привести примеры.

       4) Как складываются десятичные дроби? Привести правило и пример.

     5) Как умножить десятичную дробь на целое число? Привести правило и пример.

     6) Как умножаются десятичные дроби? Привести правило и пример.

     7) Какие законы сложения вы знаете?

     8) Какие законы умножения вы знаете?

     9) Как разделить десятичную дробь на целое число? Привести пример.

     10) Как разделить десятичную дробь на десятичную дробь? Привести пример.

     11) Как найти дробь числа?

     12) Как найти число по данной его дроби?

     13) Как найти отношение двух чисел?

     14) Как найти процент числа?

     15) Как найти число по данному его проценту?

2.  Вычислить:

     1) 2,53 + 1,0047

     2) 2,53 + 2,75 + 7,47

     3) 13,854 – 4,999

     4) 32,48 : 16

     5) 12,42 : 0,3

     6) 18,12 увеличить в 3 раза

     7) 2,35 + (1\2 – 0,5)

     8) 0,78 + (3\4 + 0,25)