Пособие для учащихся «Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными»
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва

кандидат педагогических наук

Готовимся к ОГЭ

Пособие для учащихся «Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными»

Известны два основных метода решения систем уравнений с двумя переменными: метод подстановки и метод сложения. Но не всякую систему уравнений можно решить, используя эти методы, существуют некоторые особые виды систем уравнений.

Можно выделить три таких  вида систем  уравнений и обозначить  принципы их решения.

1-й вид. Системы,  в  которых  одно  из  уравнений  представлено в виде

 f (x) · g (x) = 0

Принцип решения: переход к совокупности двух систем

 2-й вид. Системы, в которых встречается однородное уравнение.

Принцип решения: деление однородного уравнения на одну из переменных  в  квадрате  и  решение  полученного  квадратного  уравнения

2-й вид. Симметрические системы уравнений.

Принцип решения: введение новых переменных

Рассмотрим примеры решения выделенных видов систем уравнений:

Пример1. Решить систему уравнений

Решение:

Эту систему можно решить двумя способами:

1) путем преобразований прийти к системе, в которой одно из уравнений представляется в виде: f (x) · g (x) = 0;

2) воспользоваться методом сложения и выразить одну переменную через другую.

Проанализировав условие системы, мы видим, что второй способ в данном случае – более простой.

Умножим первое уравнение системы на –3 и сложим почленно левые и правые части уравнений.

Получим:

11ху – 66 = 0;

ху = 6;

х = .

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы.

Получим:

 – 18 + 14 = 0;

 = 4;

у2 = 9;

у1 = 3          х1 = 2;

у2 = –3          х2 = –2.

Решением исходной системы является пара чисел: (2; 3), (–2; –3).

Ответ: (2; 3), (–2; –3).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение:

Метод замены переменной.

Обозначим буквой t и решим первое уравнение системы относительно новой переменной:

12t2 – 25t + 12 = 0;

D = 625 – 576 = 49;

t1 = ;

t2 = .

Обратная замена:

Получаем, что исходная система уравнений равносильна совокупности двух систем:

Решив полученные системы уравнений, получим решение исходной системы: (–4; –3), (4; 3).

Ответ: (–4; –3), (4; 3).

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение:

Обозначим:        х + у = U

                        xy = V

Тогда:

 х2 + у 2 = (х + у)2 – 2ху = U2 – 2V.

Получим систему:

U2 – 2 · 12 = 25;

U2 = 49;

U1 = 7;

U2= –7.

Значит, исходная система равносильна совокупности двух систем:

Решив полученные системы уравнений, получим решение исходной системы:

(–3; –4), (–4; –3), (3; 4), (4; 3).

Ответ: (–3; –4), (–4; –3), (3; 4), (4; 3).

Существуют системы уравнений, которые не относятся ни к одному из выделенных видов. Покажем, как они могут быть решены.

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение:

Разделим  почленно  правые  и  левые  части  первого  уравнения  на второе:

 = 2          х = 2у.

Значит, исходная система уравнений равносильна следующей системе:

3у2 = 3;

у2 = 1;

у1 = 1          х1 = 2;

у2 = –1          х2 = –2.

Решив полученные системы уравнений, получим решение системы:

(2; 1), (–2; –1).

Ответ: (2; 1), (–2; –1).

Пример 5. Решить систему уравнений

Решение:

Вычтем из второго уравнения первое.

Получим:

4х (х – у) – 4х (х + у) = 32;

4х (х – у – х – у) = 32;

4х · (–2у) = 32;

ху = –4;

у = .

Значит, исходная система уравнений равносильна следующей системе:

Замена: 

Пусть х2 = а, тогда получим:

4а2 – 65а + 16 = 0

D = 652 – 16 · 16 = (65 – 16) (65 + 16) = 49 · 81

Обратная замена:

х2 = 16,                х2 = ;

х = ±4,                х = ±.

Решив полученные системы уравнений, получим решение исходной системы:

(4; –1), (–4; 1), .

   О т в е т: (4; –1), (–4; 1),.