План урока "Понятие производной"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

План урока по алгебре в 10 классе

«Понятие производной, правила нахождения производной,

ее физический смысл»

Учитель математики Кувандыкова Г.Н., СШЛ№20

Цели: вычислять производные, развивать умение логически мыслить.

Тип урока: урок усвоения нового материала

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Этап подготовки учащихся к активному сознательному усвоению знаний.

А) Теоремы о пределах:

1. Предел алгебраической суммы двух функций при  есть сумма пределов от каждой из этих функций при .
2. Предел произведения функций есть произведение пределов.
3. Предел частного двух функций есть частное пределов от этих функции

                                                               (условие: знаменатель не равен нулю).

В) Уравнения  первой, второй и третьей степени. 

    Линейная, квадратичная и кубическая функции.

Задание:

Определите степень функций и вычислите их  пределы:

3. Этап усвоения нового материала.

План:

1. Понятие производной.
2. Правило нахождения производной.
3. Кинематический смысл производной.

1. Понятие производной

Пусть  – некоторая функция, определенная на промежутке (a; b) и  - некоторая фиксированная  точка этого промежутка. Возьмем произвольное значение x из промежутка (a; b) и составим разность x -. Разность x - называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) функции   в точке  и обозначают:

= x -     (1)

Приращением функции  в точке  называют разность между значением функции в точке  и значением функции в точке  и обозначают  :

=    (2).

Т.к. точка  считается фиксированной, приращением функции  является функцией приращения аргумента .

Составим отношение

,

которое также будет функцией приращения аргумента  ; и рассмотрим предел этого выражения при , стремящемся к нулю:

        .        

Если этот предел существует, то говорят, что функция  имеет производную в точке  и пишут:

    (3).

Число  называется производной функции в точке .

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Если существует предел (3), также говорят, что функция   дифференцируема в точке  . Если функция  дифференцируема в каждой точке промежутка  (a; b),  то говорят, что она дифференцируема в промежутке (a; b). Производная функции , дифференцируемой в промежутке  (a; b), сама является функцией  x.

2. Правило нахождения производной

Чтобы вычислить производную функции  в точке  нужно:

1. найти разность .
2. найти отношение  .
3. найти предел этого отношения при :    

      Определим  производные следующих функций:

а) линейной функции

б) квадратичной функции

в) кубической функции

Решение:

а)          

     т.к.

1.  

2.

3. .

б)

т.к.

1.  

2.

3. .

в)

т.к.

1.

2.

3.

3. Кинематический смысл производной

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и  XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и Г.В.Лейбница.

Ньютон пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).

Пусть материальная точка движется по прямой под действием некоторых сил, не меняя направления своего движения, и пусть  S(t) - расстояние, пройденное точкой от некоторого момента времени, который принят за нулевой, до момента t. Выберем какой-либо момент времени и рассмотрим промежуток времени от момента  до момента . За этот промежуток времени точка пройдет некоторый путь, который обозначим . Этот путь есть функция . По известному из физики определению отношение / есть средняя скорость движения точки за время . Будем рассматривать все меньшие и меньшие  промежутки , устремляя к нулю.

Предел  называется мгновенной скоростью точки в момент времени .

4. Закрепление новых знаний.

1. Вычислите производные следующих выражений:

2. Определите скорость тела в момент времени  =3с., если .

     Решение:

 м/с

5. Этап информации о домашнем задании.

Вопросы на повторение

1.Приращение аргумента

2.Приращение функции

3.Определение производной

4.Производная – это предел отношения…

5.Физический смысл производной

6.Мгновенная скорость – это производная …

7.Дифференцируемость в точке и в промежутке

8.Определение касательной

9.Геометрический смысл производной

10.Уравнение касательной

11.Производная числа равна …

12.Производная линейной функции равна …

13.Производная аргумента  равна …

14.Производная квадратичной функции равна …

15.Производная аргумента в третьей степени равна …

Литература

1. Алгебра и начала анализа. Математика для техникумов. Часть 1. Редактор Т.А.Панькова. Москва, издательство «Наука», 1981г.
2. Математика: учебное пособие для техникумов. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Москва, «Высшая школа», 1991г.
3. Практические занятия по математике: учебное пособие для техникумов. Богомолов Н.В. Москва, «Высшая школа», 1990г.