Пособие для учащихся "Исследование степенных и иррациональных функций"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва,

кандидат педагогических наук

Готовимся к ЕГЭ

Пособие для учащихся

«Исследование степенных и иррациональных функций»

В этой статье мы поговорим о задачах, в которых рассматриваются функции и в условии стоят вопросы, связанные с их исследованием.

Это целая группа задач входящих в ЕГЭ по математике. Обычно ставится вопрос о нахождении точек максимума (минимума) или определения наибольшего (наименьшего) значения функции на заданном интервале. 

Рассматриваются:

— Степенные и иррациональные функции.      

— Рациональные функции.     

— Исследование произведений и частных.    

— Логарифмические функции.         

— Тригонометрические функции.

Для успешного решения данных задач необходимо знать теорию пределов, понятие производной, свойства производной  для исследования графиков функций и её геометрический смысл. Свойства производной необходимы для исследования поведения функции на возрастание и убывание.

Что ещё необходимо знать для решения задач на исследование функций: таблицу производных  и  правила дифференцирования. Это базовые знания, в теме производной. Производные элементарных функций нужно  знать на отлично.

Свойства производной

1. Производная на интервалах возрастания имеет положительный знак (при подстановке значения из интервала в производную получается положительное число).

Значит, если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет положительное значение, то график функции на этом интервале возрастает.

2. На интервалах убывания производная имеет отрицательный знак (при подстановке значения из интервала в выражение производной получается отрицательное  число). 

Значит, если производная в определённой точке из некоторого интервала имеет отрицательное значение,  то график функции на этом интервале убывает. 

Задачи на нахождение точек максимума и минимума

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции: 

1.  Находим производную функции f’(x).

2. Находим нули производной (приравниванием производную к нулю f’(x)=0  и решаем полученное уравнение). Также находим точки, в которых производная не существует (в частности это касается дробно-рациональных функций).

3.  Отмечаем полученные значения на числовой прямой и определяем знаки производной на этих интервалах путём подстановки значений из интервалов в выражение производной.

4.  Далее делаем вывод.

Вывод будет один из двух:

1. Точка максимума это точка, в которой производная меняет значение с положительного на отрицательное.

2. Точка минимума это точка, в которой производная меняет значение с отрицательного на положительное.

Задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения

функции на интервале.

В другом типе задач требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции на заданном интервале.

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции:

1. Определяем, есть ли точки максимума (минимума). Для этого находим производную f’(x), затем решаем f’(x)=0 .

2.  Определяем, принадлежат ли полученные точки заданному интервалу и записываем  лежащие в его пределах.

3.  Подставляем в исходную функцию (не в производную, а в данную  в условии) границы данного интервала и точки (максимума-минимума), лежащие в пределах интервала.

4.  Вычисляем значения функции.

5.  Выбираем из полученных значений наибольшее (наименьше) значение, в зависимости от того, какой  вопрос был поставлен в задаче и  далее записываем ответ.

Рассмотрим примеры решения задач на исследование функций.

Пример 1.

Найдите точки максимума и минимума функции    .

Решение:

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке

поведение функции:

         +                          _                               +

              y                       -4                        4

                                    max                        min

Искомая точка максимума x= -4, искомая точка минимума x=4.

Ответ: −4; 4.

Пример 2.

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .
Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

                                 _                     +

              y                       0                        3                   4

                                                                min

В точке x=3 заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

Ответ: −54.

Пример 3.

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

                                 _                     +

              y                       -2                       -1                 0

                                                                max

В точке x= -1 заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

Ответ: 6.

Предлагаем вам решить тренировочные варианты на нахождение точек максимума и точек минимума, наибольшего и наименьшего значения степенных и иррациональных функций. Задачи соответствуют заданию № 12 и взяты из открытого банка ФИПИ.

Тренинг по теме

«Исследование степенных и иррациональных функций»

Задание № 12

Вариант 1.

1. Найдите точку максимума функции 

2. Найдите точку минимума функции 

3. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

4. Найдите наибольшее значение функции  

на отрезке 

Вариант 2.

1. Найдите точку максимума функции .

2. Найдите точку минимума функции .

3. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .

4. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

Вариант 3.

1. Найдите точку максимума функции .

2. Найдите точку минимума функции .

3. Найдите наименьшее значение функции  

на отрезке .

4,. Найдите наибольшее значение функции  

на отрезке .

Вариант 4.

1. Найдите точку максимума функции 

2. Найдите точку минимума функции 

3. Найдите наименьшее значение функции  

на отрезке 

4. Найдите наибольшее значение функции  

на отрезке 

Вариант 5.

1. Найдите точку максимума функции .

2. Найдите точку минимума функции 

3. Найдите наименьшее значение функции  

на отрезке 

4. Найдите наибольшее значение функции  

на отрезке 

Вариант 6.

1. Найдите точку максимума функции 

2. Найдите точку минимума функции 

3. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

4. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Вариант 7.

1. Найдите точку максимума функции 

2. Найдите точку минимума функции 

3. Найдите наименьшее значение функции  

    на отрезке 

4. Найдите наибольшее значение функции 

    на отрезке 

Вариант 8.

1. Найдите точку максимума функции 

2. Найдите точку минимума функции 

2. Найдите наименьшее значение функции  

на отрезке 

4. Найдите наибольшее значение функции  

    на отрезке 

Вариант 9.

1. Найдите точку минимума функции 
2. Найдите точку максимума функции .

3. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

4. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке       

Вариант 10.

1. Найдите точку минимума функции 
2. Найдите точку максимума функции 
3. Найдите наименьшее значение функции  

на отрезке 

4. Найдите наибольшее значение функции 

 на отрезке 

Вариант 11.

1. Найдите точку минимума функции 

2. Найдите наименьшее значение функции  

на отрезке 

3. Найдите точку минимума функции 

4. Найдите наибольшее значение функции 

 на отрезке 

Вариант 12.

1. Найдите точку максимума функции 
2. Найдите точку максимума функции .
3. Найдите наибольшее значение функции  

на отрезке 

 4. Найдите наименьшее значение функции  

на отрезке 

Вариант 13.

1. Найдите наибольшее значение функции 

 на отрезке 

2. Найдите наибольшее значение функции  

на отрезке