Сценарий занятия математического кружка по теме "Пределы".
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

№ ПП

Учебный материал

1

Определение предела.

Определение

Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного сколь угодно малого числа ε найдется такой номер , что для всех номеров n больших, чем  выполняется неравенство  в этом случае пишут . Или

Здесь буквы lim – сокращение латинского слова limes, обозначающего «предел».

2

Теоремы о пределах.

Последовательность  называется бесконечно большой, если  

О такой последовательности говорят, что она имеет предел равный бесконечности, и пишут:

Если, начиная с некоторого  номера, члены такой последовательности положительны(X>0), то пишут:

Например, 

Если, начиная с некоторого  номера, члены такой последовательности отрицательны (X<0), то пишут: .

Например, 

                .

Последовательность  называют бесконечно малой последовательностью, если

она имеет предел, равный нулю, и пишут:

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности связаны между собой: если   – бесконечно большая последовательность и , то  – бесконечно малая последовательность; если  – бесконечно малая последовательность и , то

 – бесконечно большая последовательность.

Например, если  – бесконечно большая последовательность, то   – бесконечно малая последовательность;

3

Для бесконечно малых последовательностей имеют место следующие свойства,

называемые  леммами о бесконечно малых последовательностях:

1.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2.Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

3.Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Эти леммы имеют важное значение при нахождении пределов.

Свойства предела последовательности:

1.Если последовательность имеет предел, то она ограниченна.

2.Если предел последовательности положительное (отрицательное) число, то, начиная с некоторого номера, все члены последовательности положительные (отрицательные) числа.

3.Если предел последовательности  равен а, то предел последовательности  равен .

4.Если предел последовательности существует, то он единственный.  

Существуют и другие свойства пределов последовательностей, называемые теоремы о пределах.

Пусть предел последовательности  равен а, а предел последовательности  равен b, тогда справедливы утверждения:

Утверждение А:

.

Утверждение Б:

где С=const.

Утверждение В:

.

Утверждение Г:

,

где b не равно нулю и  не равно нулю при любом n.

Утверждение Д:

, >0 и a>0.

4

Так как по условию пределы последовательностей существуют, то

Ответ:

Вопросы для самоконтроля:

1. Какая последовательность называется бесконечно большой последовательностью? Как обозначают ее предел?

2.Какая последовательность называется бесконечно малой последовательностью? Как обозначают ее предел?

3. Как связаны между собой бесконечно большая и бесконечно малая последовательность?

4. Какие леммы о бесконечно малых последовательностях вы знаете?

5. Какие свойства предела последовательности вы узнали?

6. Для чего используются теоремы о пределах?

7.  Какие теоремы о пределах последовательности вы знаете? На чем основано доказательство этих теорем?

5

Примите участие в учебной беседе.

Заданы последовательности:

1)Назовите номера:

  А) бесконечно больших      последовательностей;

  Б) бесконечно малых последовательностей.

2) Докажите, пользуясь определением, что последовательность  является бесконечно большой последовательностью.

Доказательство. Возьмем произвольное положительное число М (М>0). Будем искать N так, чтобы для любого n, большего N, выполнялось неравенство . То есть ,

. То есть для любого М>0 достаточно взять N=M/6, и тогда при любом n>N выполнится неравенство , значит,  - бесконечно большая последовательность.

6

Выполните  упражнения:

1) Укажите номера последовательностей, которые являются ограниченными:

1. ,        
2. ,      
3. ,      
4. ,      

2)Предел последовательности

 равен 5. Могут ли числа 6; -4,5; 8,1 являться пределом этой же последовательности?

3) Пользуясь теоремами о пределах, найдите пределы следующих последовательностей, если известно:

7

Нахождение пределов.

Нахождение пределов последовательностей связано с преобразованиями общего члена последовательности к такому виду, чтобы можно было воспользоваться понятиями б.б.п. и б.м.п., леммами о б.м.п. и теоремами о пределах последовательностей.

Рассмотрим решение примеров.

1. Найдем:

2. Найдем:

 3.Деление на старшую степень:

а) Найдем предел .

Теорему о пределе частного применять нельзя, так как , поэтому разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень (разделим на n²).

.

Тогда

б) Найдем

Решение: 

Теорему о пределе частного применять нельзя, так как , поэтому вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе:

4.Использование выражения,

       сопряженного данному:

Найдем .

Решение:

Преобразуя общий член последовательности  путем умножения и деления его на выражение, сопряженное данному, получим:

.

Ответьте на вопросы для самоконтроля:

1. Какие понятия используются при нахождении пределов последовательности?

2. Какие способы нахождения пределов последовательности вы узнали?

Выполните  тренировочные упражнения:

Самостоятельно оцените, достигли ли вы цели. Для этого вернитесь к началу модуля и прочтите, какие цели перед вами стояли.

8

Освоение данного модуля необходимо для понимания темы о пределах функций, для строгости математических рассуждений, для подготовки к восприятию следующих тем.

Ознакомьтесь со следующими  теоретическими положениями.

Пусть определена в окрестности точке  (U()).

Определение1

Число а называется пределом функции  в точке , если

Определение2

Число а называется пределом функции  в точке , если

         у

  а+ε                       y=f(x)

      а                      

  а-ε            δ δ

                                                     х

Определение3

Если и , то пишут . Или

                     у

                                          а+ε

                              а

                                                                    а-ε

        -N(ε)                N(ε)         х

Функция f(x) называется бесконечно большой функцией, если

Функция  называют бесконечно малой функцией, если

Так как х может принимать как положительные так и отрицательные значения, то  предел функции рассматривают и при x→-∞ и x→+∞.

Например,                 g(x)

          f(x)

9

Бесконечно большие и бесконечно малые функции связаны между собой.

Задание: сформулируйте эту связь.

Свойства бесконечно малых функций и леммы о бесконечно малых функциях аналогичны леммам о бесконечно малых последовательностях.

Задание: сформулируйте их.

Для пределов функций справедливы теоремы о пределах, аналогичные теоремам о пределах последовательностей. Использование теорем о пределах функции позволяет находить значение предела.

Задание: сформулируйте их.

Дана функция .

Докажем, пользуясь определением предела функции, что

Решение:

Возьмем любое положительное число ε>0. Будем искать δ>0 так, чтобы для всех х из области определения и удовлетворяющих неравенству  выполнялось неравенство , то есть

Подставим в последнее неравенство явный вид функции :

То есть при любом ε>0 достаточно взять δ= ε/5, и тогда, если  , выполнится неравенство , а это означает, что предел функции  при х, стремящемся к 1, равен 3. Что и требовалось доказать.

Проверьте освоение теоретического материала.

Ответьте на вопросы самоконтроля:

1. Что называется функцией?
2. Что такое область    определения функции?
3. Дайте определение предела бесконечно большой и бесконечно малой функции.
4. Дайте определение предела функции на бесконечности и при .

10

Изучите следующий материал.

Нахождение пределов функций связано с преобразованием их к такому виду, чтобы можно было использовать понятия о бесконечно большой или бесконечно малой функции, леммы о бесконечно малой функции, теоремы о пределах функции.

1. Первый замечательный предел

2. Второй замечательный предел

Определение.

Функция  называется непрерывной при , если  

Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции:

Если функция  непрерывна, то

Рассмотрим решение примеров:

1.Найдем

Предел делимого

Предел делителя

.

Используя теорему о пределе частного, получим

2.Найдем

Решение:

Предел делимого

Предел делителя равен нулю, поэтому теорему о пределе частного применять нельзя.

Величина 1/x-3 является б.б.ф.

при x→3. Тогда  

При нахождении предела иногда сталкиваются с неопределенностями вида

Вид неопределенности записывается в круглых скобках после знака равенства. Отыскание предела в таких случаях называется раскрытием неопределенности.

Раскроем некоторые из этих неопределенностей.

1. Найдем  

Решение:

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю:

2. Найдем

3.Найдем

Проверьте освоение материала. Ответьте на вопросы для самоконтроля:

1. Какие понятия используются при нахождении пределов функций?
2. Назовите первый замечательный предел.
3. Назовите второй замечательный предел.
4. Как читается теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции?
5. Какие виды неопределенностей вы узнали?
6. Какие способы раскрытия неопределенностей вы узнали?

11

Найдите пределы:

Итоговый контроль.

1.Последовательность задана формулой  Является ли членом последовательности число

А)3

Б)66

В)103.

2. Пользуясь теоремами о пределах, найдите пределы последовательностей, если

Известно

3.Найдите пределы последовательностей

4.Докажите, пользуясь определением предела функции, что

5.Найдите пределы функций: