Исследовательская работа "Степень числа" 7 класс
творческая работа учащихся по алгебре (7 класс) на тему

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  «КРАСНОГВАРДЕЙСКАЯ ШКОЛА  №2»

КРАСНОГВАРДЕЙСКОГО РАЙОНА

РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

«СТЕПЕНЬ ЧИСЛА»  

Выполнила:

учащаяся  7-а класса

  Хребтова Наталия

Руководитель:

учитель математики

 Орлова Елена Витальевна

 п Красногвардейское  2016

          Цель работы:

формирование умения определять последнюю цифру степени любого натурального числа и применять его для решения математических задач.

Задачи:

1. выяснить, какая существует закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа;

2. научиться определять последнюю цифру степени любого натурального числа;

3. научиться решать математические задачи повышенной трудности по данной теме.

Содержание

1. Введение………………………………………………………………...4

2. Как определить последнюю цифру степени натурального числа…..5

3. Примеры математических задач……………………………………...10

4. Заключение…………………………………………………………… 18

5. Список литературы……………………………………………………19

Введение

Я провела небольшое исследование: выяснила, есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра степени натурального числа.

        В ходе исследования выяснилось, что закономерность есть, и её можно использовать при решении различных математических задач. Я  сделала подборку задач по рассматриваемой теме из различных источников, в том числе привожу примеры двух задач, предлагаемых в разные годы на II туре математической олимпиады для учащихся 11-х классов; несколько аналогичных задач составила самостоятельно.

Как определить последнюю цифру степени натурального числа

Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 2?

Выпишем несколько первых степеней числа 2: , , , , , , , , , , , .

Можно заметить, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется.

Расположим полученные числа в таблице:

Заметив, что последняя цифра степени числа 2 повторяется через каждые четыре шага, можно определить последнюю цифру  для любого показателя n.

Возьмём число . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени , , , показатели которых кратны 4. Значит, число , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.

Вообще, все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп: числа, делящиеся на 4; числа, дающие при делении на 4 остаток, равный 1; числа, дающие при делении на 4 остаток, равный 2; числа, дающие при делении на 4 остаток, равный 3. И последняя цифра числа  определяется тем, в какую из этих групп попадёт показатель n.

Так, например, число  оканчивается цифрой 2, так как , то есть 101 при делении на 4 даёт в остатке 1; число  – цифрой 4, так как , то есть при делении на 4 даёт в остатке 2; число  – цифрой 8, так как , то есть при делении на 4 даёт в остатке 3.

Рассуждая аналогично, можно определить не только последнюю цифру степени 2, но и последнюю цифру степени любого многозначного числа, оканчивающегося на 2.

Рассмотрим, какой цифрой оканчивается число . Последняя цифра числа  такая же, какой является последняя цифра числа . Разделим 2087 на 4. Получим . Так как  оканчивается цифрой 8, то и , и  оканчивается цифрой 8.

Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 3?

Заполним таблицу:

Устанавливаем закономерность: через четыре шага последняя цифра повторяется.

Рассмотрим примеры.

1. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 120 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 1.

2. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 281 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 3.

3. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 398 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 9.

4. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 2011 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 7.

5. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 2011 на 4. Получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 7.

Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 4?

Заполним таблицу:

Устанавливаем закономерность: через два шага последняя цифра повторяется.

Заметим, что нечётная степень числа 4 оканчивается цифрой 4, а чётная степень числа 4 оканчивается цифрой 6.

Рассмотрим примеры.

1. Какой цифрой оканчивается число ?

321 – нечётное число. Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 4.

2. Какой цифрой оканчивается число ?

586 –чётное число.Следовательно, , как и ,оканчивается цифрой 6.

3. Какой цифрой оканчивается число ?

2000 – чётное число. Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 6.

Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 7?

Заполним таблицу:

Устанавливаем закономерность: через четыре шага последняя цифра повторяется.

Рассмотрим примеры.

1. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 23 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 3.

2. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 90 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 9.

3. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 521 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 7.

4. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 1024 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 1.

5. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 243 на 4. Получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 3.

Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 8?

Заполним таблицу:

Устанавливаем закономерность: через четыре шага последняя цифра повторяется.

Рассмотрим примеры.

1. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 26 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 4.

2. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 67 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 2.

3. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 401 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 8.

4. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 1268 на 4. Получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 6.

5. Какой цифрой оканчивается число ?

Разделим 999 на 4. Получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 3.

Какими цифрами могут оканчиваться числа, получающиеся при возведении в степень числа 9?

Заполним таблицу:

Устанавливаем закономерность: через два шага последняя цифра повторяется.

Заметим, что нечётная степень числа 9 оканчивается цифрой 9, а чётная степень числа 9 оканчивается цифрой 1.

Рассмотрим примеры.

1. Какой цифрой оканчивается число ?

35 –нечётное число. Следовательно,,как и ,оканчивается цифрой 9.

2. Какой цифрой оканчивается число ?

7654 – чётное число. Следовательно, , как и ,оканчивается цифрой 1.

3. Какой цифрой оканчивается число ?

28 – чётное число. Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 1.

Осталось отметить, что числа, получающиеся при возведении в степень чисел 0, 1, 5 и 6, оканчиваются одной и той же цифрой: 0, 1, 5 и 6 соответственно.

Примеры математических задач

1. Задачи, в которых требуется узнать последнюю цифру числа или числового выражения

1. На какую цифру оканчивается число ?

Решение:

Число 1999 оканчивается цифрой 9, следовательно, последняя цифра числа  такая же, какой является последняя цифра числа . Так как , ,, то есть последняя цифра степени числа 9 повторяется через два шага, то разделим 2003 на 2, получим . Значит, , как и , оканчивается цифрой 9. Таким образом, и  оканчивается цифрой 9.

Ответ: 9.

2. Какая цифра будет последней в записи результата ?

Решение:

 оканчивается цифрой 3,

 оканчивается цифрой 9,

 оканчивается цифрой 7,

 оканчивается цифрой 1,

 оканчивается цифрой 3.

Последняя цифра степени числа 3 повторяется через четыре шага. Разделим 99999 на 4, получим . Следовательно, , как и  , как и , оканчивается цифрой 7.

Ответ: 7.

3. Какой цифрой оканчивается сумма ?

Решение:

, как и , оканчивается цифрой 1.

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 3,

 оканчивается цифрой 9,

 оканчивается цифрой 7,

 оканчивается цифрой 1,

 оканчивается цифрой 3.

Последняя цифра степени числа 3 повторяется через четыре шага. Разделим 22 на 4, получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 9.

Таким образом, сумма  оканчивается цифрой 0 .

Ответ: 0.

4. Какой цифрой оканчивается произведение ?

Решение:

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 2,

 оканчивается цифрой 4,

 оканчивается цифрой 8,

 оканчивается цифрой 6,

 оканчивается цифрой 2.

Последняя цифра степени числа 2 повторяется через четыре шага. Разделим 15 на 4, получим . Следовательно, , как и, как и , оканчивается цифрой 8.

, как и , оканчивается цифрой 5.

Таким образом,  произведение оканчивается цифрой 0 .

Ответ: 0.

5. Какой цифрой оканчивается сумма ?

Решение:

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 4,

 оканчивается цифрой 6,

 оканчивается цифрой 4.

Последняя цифра степени числа 4 повторяется через два шага. Разделим 35 на 2, получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 4.

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 8,

 оканчивается цифрой 4,

 оканчивается цифрой 2,

 оканчивается цифрой 6,

 оканчивается цифрой 8.

Последняя цифра степени числа 8 повторяется через четыре шага. Разделим 21 на 4, получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 8.

Таким образом, сумма  оканчивается цифрой 2 .

Ответ: 2.

6. Какой цифрой оканчивается число ?

Решение:

Установим, какой цифрой оканчивается число .

Последняя цифра степени числа 3 повторяется через четыре шага. Разделим 77 на 4, получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 3.

Установим, какой цифрой оканчивается число .

Последняя цифра степени числа 7 повторяется через четыре шага. Разделим 33 на 4, получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 7.

Таким образом, число  оканчивается цифрой 0 .

Ответ: 0.

2. Задачи, в которых требуется доказать, что значение данного выражения кратно 10

Признак делимости на 10: если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10, то есть кратно 10.

1. Докажите, что значение выражения  кратно 10.

Решение:

, как и , оканчивается цифрой 1.

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 4,

 оканчивается цифрой 6,

 оканчивается цифрой 4.

Последняя цифра степени числа 4 повторяется через два шага. Разделим 6 на 2, получим . Следовательно, , как и , как и  оканчивается цифрой 6.

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 3,

 оканчивается цифрой 9,

 оканчивается цифрой 7,

 оканчивается цифрой 1,

 оканчивается цифрой 3.

Последняя цифра степени числа 3 повторяется через четыре шага. Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 7.

Таким образом,значение выражения оканчивается цифрой 0 .

Следовательно, значение выражения  кратно 10.

2. Докажите, что значение выражения  кратно 10.

Решение:

, как и , оканчивается цифрой 6.

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 2,

 оканчивается цифрой 4,

 оканчивается цифрой 8,

 оканчивается цифрой 6,

 оканчивается цифрой 2.

Последняя цифра степени числа 2 повторяется через четыре шага. Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 2.

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 8,

 оканчивается цифрой 4,

 оканчивается цифрой 2,

 оканчивается цифрой 6,

 оканчивается цифрой 8,

 оканчивается цифрой 4.

Последняя цифра степени числа 8 повторяется через четыре шага. Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 4.

Таким образом, значение выражения оканчивается цифрой 0 .

Следовательно, значение выражения  кратно 10.

3. Докажите, что значение выражения  кратно 10.

Решение:

, как и , оканчивается цифрой 1.

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 2,

 оканчивается цифрой 4,

 оканчивается цифрой 8,

 оканчивается цифрой 6,

 оканчивается цифрой 2.

Последняя цифра степени числа 2 повторяется через четыре шага. Разделим 12 на 4, получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 6.

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 3,

 оканчивается цифрой 9,

 оканчивается цифрой 7,

 оканчивается цифрой 1,

 оканчивается цифрой 3.

Последняя цифра степени числа 3 повторяется через четыре шага. Разделим 13 на 4, получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 3.

Таким образом, значение выражения  оканчивается цифрой 0 .

Следовательно, значение выражения  кратно 10.

3. Задачи, в которых требуется выяснить, каким является данное число: простым или составным

Натуральные числа, имеющие только два делителя, называют простыми.

Натуральные числа, имеющие более двух делителей, называют составными.

При решении подобных задач используются также признаки делимости на 2, 5 и 10.

Признак делимости на 2: если последняя цифра числа чётная, то оно делится на 2.

Признак делимости на 5: если последняя цифра числа 5 или 0, то оно делится на 5.

Признак делимости на 10: если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

1. Докажите, что число  – составное число.

Решение:

Определим последнюю цифру числа .

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 2,

 оканчивается цифрой 4,

 оканчивается цифрой 8,

 оканчивается цифрой 6,

 оканчивается цифрой 2.

Последняя цифра степени числа 2 повторяется через четыре шага. Разделим 10 на 4, получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 4.

 оканчивается цифрой 5.

Таким образом, число  оканчивается цифрой 0 .

Следовательно, число  кратно 10, а это означает,  число  составное.

2. Докажите, что число  составное.

Решение:

Определим последнюю цифру числа .

 Установим, какой цифрой оканчиваются числа  и .

 оканчивается цифрой 2,

 оканчивается цифрой 4,

 оканчивается цифрой 8,

 оканчивается цифрой 6,

 оканчивается цифрой 2.

Последняя цифра степени числа 2 повторяется через четыре шага.

Разделим 2000 на 4, получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 6.

Разделим 1999 на 4, получим . Следовательно, , как и , оканчивается цифрой 8.

Таким образом, значение выражения  оканчивается цифрой 5 .

Следовательно, значение выражения  кратно 5, а это означает, что число  составное.

Примечание: эта задача была предложена на II туре математической олимпиады для учащихся 11 класса в 2000 году.

4. Разные задачи

1. Докажите, что при любом натуральном k число  оканчивается единицей.

Решение:

 оканчивается цифрой 3,

 оканчивается цифрой 9,

 оканчивается цифрой 7,

 оканчивается цифрой 1,

 оканчивается цифрой 3.

Последняя цифра степени числа 3 повторяется через четыре шага. Так как  кратно 4, то , как и , оканчивается цифрой 1.

2. Не вычисляя значение выражения , установите, чётным или нечётным оно является.

Решение:

 оканчивается цифрой 3,

 оканчивается цифрой 9,

 оканчивается цифрой 7,

 оканчивается цифрой 1,

 оканчивается цифрой 3.

Последняя цифра степени числа 3 повторяется через четыре шага. Таким образом,

любая степень числа 3 оканчивается нечётной цифрой. Следовательно, числа , ,  нечётные, и их сумма  также является нечётным числом.

3. Докажите, что число  кратно 5.

Решение:

Признак делимости на 5: если последняя цифра числа 5 или 0, то оно делится на 5, то есть кратно 5.

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 9,

 оканчивается цифрой 1,

 оканчивается цифрой 9.

Последняя цифра степени числа 9 повторяется через два шага. Разделим 100 на 2, получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 1.

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 4,

 оканчивается цифрой 6,

 оканчивается цифрой 4.

Последняя цифра степени числа 4 повторяется через два шага. Разделим 50 на 2, получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 6.

Таким образом, значение выражения  оканчивается цифрой 5 .

Следовательно, значение выражения  кратно 5.

4.  На доске написано число . У этого числа вычислили сумму его цифр, у полученного числа вновь вычислили сумму его цифр и т.д. до тех пор, пока не получилось однозначное число. Что это за число?

Решение:

.

. Вычислим сумму цифр числа 64: ; вычислим сумму цифр полученного числа 10: ; получили однозначное число 1.

. Вычислим сумму цифр числа 512: ; получили однозначное число 8.

. Вычислим сумму цифр числа 4096: ; вычислим сумму цифр полученного числа 19: ; вычислим сумму цифр полученного числа 10: ; получили однозначное число 1.

. Вычислим сумму цифр числа 32768: ; вычислим сумму цифр полученного числа 26: ; получили однозначное число 8.

Устанавливаем закономерность: через два шага повторяется 8 или 1. Разделим 2008 на 2, получим . Следовательно, при указанных вычислениях для данного числа , как и для числа , полученное однозначное число будет равно 1.

Ответ: 1.

Примечание: эта задача была предложена на II туре математической олимпиады для учащихся 11 класса в 2008 году.

5. Авторские задачи

1. Найти последнюю цифру числа .

Решение:

Число 2012 оканчивается цифрой 2, следовательно, последняя цифра числа  такая же, какой является последняя цифра числа . Так как , ,, , , то есть последняя цифра степени числа 2 повторяется через четыре шага, то разделим 2012 на 4, получим . Значит, , как и , оканчивается цифрой 6. Таким образом, и  оканчивается цифрой 6.

2. Докажите, что число  чётное.

Решение:

Определим последнюю цифру числа .

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 9,

 оканчивается цифрой 1,

 оканчивается цифрой 9.

Последняя цифра степени числа 9 повторяется через два шага. Разделим 2010 на 2, получим . Следовательно, , как и , как и  оканчивается цифрой 1.

, как и , оканчивается цифрой 0.

, как и , оканчивается цифрой 1.

Таким образом, значение выражения  оканчивается цифрой 2 .

Следовательно, число  чётное.

3. Докажите, что число  составное.

Решение:

Определим последнюю цифру числа .

Установим, какой цифрой оканчивается число .

 оканчивается цифрой 2,

 оканчивается цифрой 4,

 оканчивается цифрой 8,

 оканчивается цифрой 6,

 оканчивается цифрой 2.

Последняя цифра степени числа 2 повторяется через четыре шага. Разделим 2011 на 4, получим . Следовательно, , как и , как и , оканчивается цифрой 8.

, как и , оканчивается цифрой 1.

Таким образом, значение выражения  оканчивается цифрой 5 .

Следовательно, значение выражения  кратно 5, а это означает, что число  составное.

Заключение

После изучения данного вопроса кажется, что всё достаточно просто. Но недаром задачи по этой теме предлагаются на математических олимпиадах. Иной раз требуются длительные напряжённые размышления для того, чтобы найти решение «в одну строчку».

В заключение приведу слова Д. Пойа: «Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путём подражания или упражнения».

          Я решила исследовать  степень числа, чтобы в дальнейшем использовать этот метод в подготовке к ГИА и ЕГЭ.

Литература

1. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.; под ред. Г.В. Дорофеева; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2008.

2. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7 – 9 классов: Кн. Для учителя / Н.П. Кострикина – М.: Просвещение, 1991.

3.  Математические олимпиады в школе. 5 – 11класс / А.В. Фарков. – 4-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2005.

4. Алгебра: Учебник для 7 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1991.

5. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся / Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1984.

6. Удивительный мир чисел: (Матем. головоломки и задачи для любознательных): Кн. для учащихся / Б.А. Кордемский, А.А. Ахадов. – М.: Просвещение, 1986.