Применение производной при решении текстовых задач
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Применение производной при решении текстовых задач Учитель высшей категории Гаврилова В.И. г. Нефтекумск

Слайд 2

Способ решения задач с помощью применения производной, есть своего рода универсальный способ, так как он распространяется на любой из видов задач, независимо от содержания. - Научиться решать задачи с применением производной функции; - Разработать алгоритм решения задач на экстремум. Систематизация и обобщение ГИПОТЕЗА: ЦЕЛЬ: МЕТОДЫ:

Слайд 3

Рассмотрим ряд текстовых задач, при решении которых будем использовать механический смысл производной. Мама с своей дочкой гуляла в парке. Девочка захотела покататься на каруселях, а мама решила сфотографировать очку. Вращение карусели совершается по закону φ ( t)=t³⁄9-5t²⁄2 . Фотография может быть хорошего качества только при ускорении равном 3 м/с². В какой момент времени необходимо сделать снимок? задача 1.

Слайд 4

Скорость движения карусели ω ( t)= φ י ( t)=t²/3-5t ; Ускорение a(t)= ω י (t)=2t/3-5 . Так как фотография будет хорошего качества при ускорении 3 м/с² ,тогда 2 t/3-5=3 2t-15=9, 2t=24, t=12. Таким образом фотографировать девочку необходимо на 12 секунде. на 12 секунде. РЕШЕНИЕ: Ответ:

Слайд 5

Из пункта А по двум лучам, угол между которыми 60 º , движется два тела: первое равномерно со скоростью 10 км/ч, второе – по закону S(t)=2t²+t. С какой скоростью они отдаляются друг от друга? ЗАДАЧА 2.

Слайд 6

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ: Используя теорему косинусов имеем : ВС²=АВ²+АС²-2АВ АС cos60º BC= ,т.к.ВС= S, V(t)=S’(t)= ( )’ V (t ) = 91t-24t²+8t³ ; ОТВЕТ: 91t - 24t² + 8t³ . А В С S (t); V(t) S (t); V(t)

Слайд 7

Текстовые задачи на экстремум ЗАДАЧА 3. Корабль находится от точки А берега на расстоянии 3 км. С корабля отправлен гонец с донесением в штаб В, находящийся от точки А на расстоянии 10 км по берегу. Лодка движется со скоростью 4 км/ч, а гонец, выйдя из лодки может в час пройти 5 км. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы донесение в штаб было доставлено в кротчайшее время?

Слайд 8

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ Выразим время, затраченное на путь КВМ, через х. Тогда из прямоугольного треугольника АКМ, по теореме Пифагора, имеем: КМ= Время, затраченное на путь КВМ, будет t(x)= Найдем критические точки функции t на [0;10] t י (x) = . В А К 10км 3 км

Слайд 9

Производная всюду существует, так как знаменатель дроби не обращается в нуль ни при каких значениях х. Следовательно, критическими точками могут быть те, в которых производная равна нулю. =0; = 0; = 5х; х²=16; х=4 или х=- 4 Точку х=-4 проверять не нужно, так как она не принадлежит промежутку [0;10] . Найдем значения функции в точке х=4 и на концах отрезка х=0 и х=10. t(4)= 2 ; t(0)= 2 ; t(10)= Таким образом наименьшее значение функция достигает а точке х=4. ОТВЕТ: донесение будет доставлено в штаб в кратчайший промежуток времени, если лодка пристанет к берегу в месте, отстоящем от точки А на расстоянии, равном 4 км.

Слайд 10

m(t)=0; 1-2t/3=0; t=3/2/ Капля испарится на 3/2 сек. Обозначим время падения капли через t; V(t)=gt; ω (t)=m(t)∙V²(t) ⁄ 2. Найдем критические точки на [0;3/2]

Слайд 11

Дождевая капля падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так ,что её масса m изменяется по закону m(t)=1-2t/3. Через сколько времени после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?

Слайд 12

1) ω '(t) = g²t - g²t² = g²t(1-t). 2) ω '(t)=0; g²t(1-t)=0 t=0 или t=1 3) ω (0)=0; ω (1)=g²/6; ω (3/2)=0; ОТВЕТ: через 1 секунду после падения кинетическая энергия капли будет наибольшей.

Слайд 13

Среди всего материала, касающегося применения производной, наибольшую сложность вызывают текстовые задачи на экстремум. Общеизвестно, что решение любой задачи может быть облегчено выработкой определённого плана, алгоритма её решения.

Слайд 15

Данная тема представляет собой благодатный материал для формирования диалектико-материалистического представления о предмете математики. Мы показали, как понятие производной используется для изучения многообразных явлений и процессов реального мира, как с помощью этого понятия получают единую трактовку многие понятия в физике, химии, биологии, географии и т.д. ВЫВОД:

Слайд 16

РЕСУРСЫ: Моhttp://images.yandex.ru/yandpage?&p=2&text=%EA%EE%EB%E5%E1%E0%ED%E8%E5%20%F1%F2%F0%F3%ED%FB&rpt=simage http://images.yandex.ru/yandpage?&p=1&text=%EA%EE%EB%E5%E1%E0%ED%E8%E5%20%F1%F2%F0%F3%ED%FB&rpt=simage http://images.yandex.ru/yandpage?&p=138&text=%EA%EE%F0%E0%E1%EB%FC%20%F3%20%E1%E5%F0%E5%E3%E0&rpt=simage http://images.yandex.ru/yandsearch?&p=1&text=%F4%EE%F2%EE%E3%F0%E0%F4%E8%FF+%F3%F7%E5%ED%EE%E3%EE+%CD%FC%FE%F2%EE%ED%E0&stype=image http://images.yandex.ru/yandsearch?&p=1&text=%F4%EE%F2%EE%E3%F0%E0%F4%E8%FF+%F3%F7%E5%ED%EE%E3%EE+%CB%E5%E9%E1%ED%E8%F6%E0&stype= http://images.yandex.ru/yandsearch?text=%F4%E8%E7%E8%F7%E5%F1%EA%E8%E9+%F1%EC%FB%F1%EB+%EF%F0%EE%E8%E7%E2%EE%E4%ED%EE%E9&stype=imageimage

Слайд 17

7. Е. Г. Глаголева, И. Л. Никольская. Формирование материалистического мировоззрения на уроках алгебры и начала анализа. 8. Е. Г. Глаголева Б. В. Сорокин. Предел и непрерывность функции в курсе 10 класса. 9. А. Я. Блох, И. А. Павленкова. Орешении задач на экстремум при изучении производной в 10 классе. 10. А. К. Арнольд. Теория катастроф. 11. А. А. Пинский, С. Т. Тхамафокова. Основные направления взаимосвязи курса «Алгебра и начала анализа» с курсом физики 9-10 классов. 12. Э. К. Розенов. Статьи о музыке. 13. Ч. Тейлор. Физика музыкальных звуков. 14. Н. Я. Виленкин. Специализированные учебные пособия. 15. Л. В. Тарасов. Математический анализ. Беседы об основных понятиях.