Квадратный трехчлен в задачах с параметрами
элективный курс по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему

Слайд 1

«Квадратный трехчлен в задачах с параметрами» Выполнил: Педь Т.В.

Слайд 2

Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3 На рисунке 1 D<0 , квадратный трехчлен не имеет корней . Рисунок 2 . D =0 и квадратный трехчлен имеет 1 корень кратности 2. Рисунок 3 – D>0 и трехчлен имеет два различных корня. Пусть дана функция f(х) = ах 2 + bx + с Графиком функции f(x) является парабола, которая может располагаться на координатной плоскости следующим образом. Если а>0 , то возможны три случая, изображенные на рисунках 1, 2 и 3 .

Слайд 3

Если a<0 , то возможны также три случая. Рисунок 4 Рисунок 5 На рисунке 4, 5 и 6 , где соответственно показано отсутствие корней ( D<0 ) , один корень ( D=0 ) и два различных корня ( D>0 ) Рисунок 6

Слайд 4

Возможные случаи расположения корней квадратного трехчлена в решении задач с параметрами Корни больше (меньше) некоторого числа n Корни лежат по разные стороны некоторого числа n Корни лежат (не лежат) на отрезке [m;n] Только один корень лежит на отрезке [m;n] Один корень расположен на отрезке [m;n] , а другой – (p;q)

Слайд 5

I . Какие условия надо выполнить, чтобы корни квадрантного трехчлена были больше некоторого заданного числа n Рисунок 7 Рисунок 8 Во-первых, очевидно, что вершина параболы должна находиться правее n Во-вторых, необходимо наличие корней Но выполнение этих двух условий, хотя является необходимым, но еще не достаточное условие выполнение задачи . Достаточным условием является : при а > 0, значение функции в точке x=n должно быть f(n)>0 , а при a<0 , f(n)<0 . Таким образом, получаем, что необходимым и достаточным условием выполнения условия исходной задачи является решением системы неравенств

Слайд 6

Аналогично для корней меньше n Рисунок 9 Рисунок 10

Слайд 7

II. Рассмотрим случай, когда корни лежат по разные стороны от числа n Рисунок 11 Рисунок 12 При a>0, f(n)<0 , следовательно a*f(n)<0 При a<0, f(n)>0 , следовательно a*f(n)<0 . Таким образом, получается, что необходимым и достаточным условием заданной задачи является a*f(n)<0 . D>0 будет выполняться автоматически

Слайд 8

Пример 1 Найти все значения параметра a , при которых уравнение имеет два различных корня, каждый из которых больше чем - 2 Решение : Рассмотрим функцию Условию задачи удовлетворяет положение функции f(x) , показанное на рисунке 13 . Рисунок 13 Следовательно, условие задачи обеспечивается решением системы неравенств: Ответ: Ответ:

Слайд 9

Пример 2 Найти все значения параметра a при которых уравнение Решение : Допустимые значения параметра Ведем новую переменную . Заметим, что . Тогда данное уравнение имеет вид . Это уравнение не будет иметь решений, если , либо t <1 . Пусть . Тогда условие t <1 обеспечивается решением следующей системы неравенств: Условие Ответ: не имеет решения