Подготовка учащихся 9-го класса к ОГЭ :составления уравнений, а также их систем на основании условий разного типа задач.
консультация по алгебре (9 класс) на тему

 Подготовка учащихся 9-го класса к ОГЭ :

составления уравнений, а также их систем на основании условий  разного типа задач.

Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.

Рассмотрим типовые задачи и их решения.

§ 1. Задачи на движение

1. Основными компонентами этого типа задач являются: а) пройденный путь (S); б) скорость (V); в) время (t). Зависимость между указанными величинами выражается известными формулами:

S= V· t; ; .        (1)

Все указанные величины должны быть в одной системе единиц.

2. Алгоритм  решения :

а) выбираем одну из величин, которая по условию задачи является неизвестной, и обозначаем ее через X, Y или Z;

б) устанавливаем, какая из величин по условию задачи является известной;

в) третью (из оставшихся) величин выражают через неизвестную (Х) и известную с помощью одной из формул (1);

г) составляем уравнение на основании условий задачи, в котором указано, как именно изменилась третья величина.

3. Если два каких-либо тела начинают движение одновременно, то в случае, если они встречаются, каждое с момента выхода и до встречи затрачивает, очевидно, одинаковое время другое (вводится понятие «скорости сближения»).

 Аналогично и в случае, если одно тело догоняет (вводится понятие «скорости «вдогонку».

 4. Если тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает времени больше то, которое выходит раньше.

5. В задачах на движение по реке необходимо помнить следующие формулы:

Vпо теч.= Vсоб.+ Vтеч.;

Vпротив теч.= Vсоб.– Vтеч.;

Vсоб.=.

Задача № 1.^[1][1] 

Первый турист, проехав 1,5 часа на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле второй турист со скоростью 56 км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?

Решение.

Из условия ясно, что первый турист вышел в путь на 4 ч раньше второго. В точке В (рис. 1.1) он сделал остановку на 1,5 ч.

Рис. 1.1

Второй турист догнал первого в точке Д. Чтобы проехать это расстояние АД, первый турист затратил больше времени, чем второй, на 2,5 часа (4–1,5=2,5).

Пусть х – расстояние (в км) от А до Д. Тогда:

ч – время, за которое первый турист проезжает расстояние АД;

ч – время, за которое второй турист проезжает расстояние АД.

=2,5 ч.

Составим и решим уравнение: ; х=56 км.

Ответ: 56 км.

1.2. Движение из одного пункта в другой с остановкой в пути

Задача №2.

Расстояние между станциями А и В равно 103 км. Из А в В вышел поезд и, пройдя некоторое расстояние, был задержан, а потому оставшийся путь до В проходил со скоростью на 4 км/ч больше прежней. Найти первоначальную скорость поезда, если известно, что оставшийся путь до В был на 23 км длиннее пути, пройденного до задержки, и на прохождение пути после задержки было затрачено на 15 мин больше, чем на прохождение пути до задержки.

Решение.

Так как путь ОВ (после задержки) был на 23 км длиннее и расстояние АВ равно 103 км, то можно найти, какой путь прошел поезд до О (целесообразно делать рисунок).

 (103 км – 23 км)/ 2 = 40 км – это путь АО;     40+23=63 (км) – это путь ОВ.

Пусть х км/ч – это скорость поезда до остановки в О, (х+4) км/ч – это скорость поезда после задержки.      ч – это время поезда до остановки;ч – это время поезда после задержки.Так как на прохождение пути после задержки поезд затратил на 15 мин = ч больше, то: и . Решаем последнее уравнение и получаем х=80 км/ч – это первоначальная скорость поезда.

Ответ: 80 км/ч.

1.3. Движение из разных пунктов навстречу друг другу

Задача № 3.

Пешеход и велосипедист отправляются одновременно навстречу друг другу из городов А и В, расстояние между которыми 40 км, и встречаются спустя 2 часа после отправления. Затем они продолжают путь, причем велосипедист прибывает в А на 7,5 ч раньше, чем пешеход в В. Найти скорости пешехода и велосипедиста, полагая, что оба все время двигались с неизменными скоростями.

Решение.

1. Пусть Vпешехода = х км/ч; Vвелосип.= y км/ч; SAC = 2х;
SBC = 2y .                                                       Тогда t1=– время, которое затратил велосипедист на путь из С в А;      t2=– время, которое затратил пешеход на путь из С в В.

2. Из условия задачи следует, что 2х+2у=40. Так как велосипедист прибывает в А на 7,5 ч раньше, то на основании этого составим второе уравнение: .

3. Составим систему уравнений и решим ее:

Пусть , тогда второе уравнение запишем в виде:

 (не удовлетворяет условию, так как • 0).

Ответ: 4 км/ч; 16 км/ч.

1.4. Движение по водному пути

Задача № 4.

В 9 ч самоходная баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в пункт В; 2 ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась в обратный путь и прибыла в А в 19 ч 20 мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки – 3 км/ч и собственная скорость баржи все время постоянна, определить, в котором часу баржа прибыла в пункт В. Расстояние между А и В равно 60 км.

Решение.

1. Для решения этого типа задач следует использовать указание 5.

2. Обозначим собственную скорость баржи через х км/ч. Тогда время, затраченное на движение по течению реки, составляет часов, а против течения реки – часов.

3. Всего было затрачено времени (в часах) . На основании этого составим уравнение и решим его:

; х1=15; х2=–0,6 (х2 не удовлетворяет условию).

4. Время, затраченное на движение против течения реки, ч.

Ответ : баржа прибыла в пункт В в 14 ч.

1.5. Пройденный путь принимается за 1, а единственной данной величиной является время

Задача № 5.

Один турист вышел в 6 ч, а второй навстречу в 7 ч. Встретились они в 8 ч и, не останавливаясь продолжили путь. Сколько времени затратил каждый из них на весь путь, если первый пришел в то место, из которого вышел второй, на 28 мин позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый? Считается, что каждый шел без остановок с постоянной скоростью.

Решение.

1. Особенностью этой задачи является то, что в ней нет никаких данных о пройденном расстоянии. В таких случаях удобно все расстояние принять за 1, тогда скорость , а (где х часов – это время в пути первого пешехода, а у часов – это время второго пешехода).

2. Так как первый был в пути на 1 ч 28 мин больше, то
х–у=или х–у=. Из условия задачи видно, что первый до встречи шел 2 часа, а второй – 1 час, тогда составим еще одно уравнение: . Получим систему:

3. Решая эту систему, получим х=3 ч 40 мин; у=2 ч 12 мин.

1.6. Скорость выражена косвенно через время

Задача №6.

Два велосипедиста выехали одновременно из двух пунктов в третий, куда они договорились прибыть одновременно. Первый прибыл на место встречи через 2 ч, а второму, чтобы прибыть вовремя, надо было проезжать каждый километр на 1 мин быстрее первого, так как его путь был длиннее на 6 км. Какова скорость каждого велосипедиста?

Решение.

1. Особенностью этой задачи является не прямое, а косвенное указание скорости велосипедистов.

2. Пусть первый велосипедист проезжал каждый километр за х мин, то есть его скорость была км/ч. Тогда скорость второго км/ч.

3. Составим уравнение и решим его:

(посторонний корень).

4. Следовательно, км/ч; км/ч.

1.7. Тела движутся по окружности

Задача № 7.

По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них делает полный оборот на 5 сек быстрее другой. При этом совпадения точек происходят каждый раз через 1 мин. Определить скорости точек.

Решение.

1. Пусть первая точка проходит полный оборот за х сек, а вторая точка – за у сек. Тогда: м/с =м/мин, м/с=
=м/мин.

2. Будем полагать, что х • у, тогда из условия задачи следует уравнение у–х=5.

3. Так как точки встречаются каждую минуту, и первая движется быстрее, то она должна за 1 мин пройти полный круг – 60 м и еще столько, сколько успеет пройти за 1 мин вторая, то есть м.

4. Отсюда имеем второе уравнение: .

5. Составим систему и решим ее:

Ответ: 4 м/с; 3 м/с.

§ 2. Задачи на совместную работу

Некоторые указания к задачам на совместную работу.

1.Основными компонентами этого типа задач являются: а) работа; б) время; в) производительность труда (работа, выполненная в единицу времени).

2. Алгоритм  решения:

а) принимаем всю работу, которую необходимо выполнить,
за 1;

б) находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, то есть , где – время, за которое указанный рабочий сможет выполнить всю работу, работая отдельно;

в) находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий за то время, которое он работал;

г) составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (то есть 1) к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым рабочим (если в условии сказано, что при совместной работе всех рабочих выполнен весь объем работы).

3. Следует заметить, что в указанных задачах не всегда сравнивается выполняемая работа. Основанием для составления уравнения может служить также указанное в условии соотношение затраченного времени или производительности труда.

2.1. Вычисление неизвестного времени работы

Задача № 8.

Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 1,5 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет выполнено только всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения данного задания?

Решение.

1. Пусть вся работа может быть выполнена бригадой учеников за х ч, а бригадой слесарей – за (х–15) ч.

2. Всю работу примем за 1,

– это производительность бригады учеников;

– производительность бригады слесарей;

– часть работы, выполненная бригадой учеников;

– часть работы, выполненная бригадой слесарей.

3. Составим уравнение и решим его: . Имеем х1=45; х2=10 (посторонний корень, так как бригада учеников выполняла задание на 15 ч дольше, чем бригада слесарей).

Ответ: 45 ч.

§ 3. Задачи на планирование

К задачам этого раздела относятся те задачи, в которых выполненный объем работы известен или его нужно определить (в отличие от задач на совместную работу). При этом сравнивается работа, которая должна быть выполнена по плану, и работа, которая выполнена фактически.

Так же, как и в задачах на совместную работу, основными компонентами задач на планирование являются: а) работа (выполненная фактически и запланированная); б) время выполнения работы (фактическое и запланированное); в) производительность труда (фактическая и запланированная).

Замечание. В некоторых задачах этого раздела вместо времени выполнения работы дается количество участвующих в ее выполнении рабочих.

3.1. Задачи, в которых требуется определить объем выполняемой работы

Задача № 9.

Ученик токаря вытачивает шахматные пешки для определенного числа комплектов шахмат. Он хочет научиться изготавливать ежедневно на 2 пешки больше, чем теперь, тогда такое же задание он выполнит на 10 дней быстрее. Если бы ему удалось научиться изготавливать ежедневно на 4 пешки больше, чем теперь, то срок выполнения такого же задания уменьшился бы на 16 дней. Сколько комплектов шахмат обеспечивает пешками этот токарь, если для каждого комплекта нужно 16 пешек?

Решение.

1. Пусть токарь вытачивает х пешек для определенного числа комплектов шахмат. Будем также полагать, что в день он вытачивает у пешек. Тогда задание он выполнит за дней.

2. Соответственно, если он будет вытачивать в день (у+2) пешки или (у+4) пешки, то он выполнит задание за или дня.

3. На основании условия задачи составим систему уравнений и решим ее:

4. Так как на каждый комплект нужно 16 пешек, то число комплектов равно .

Ответ: 15.

3.2. Задачи, в которых требуется найти производительность труда

Задача № 10.

Бригада рыбаков намеревалась выловить в определенный срок 1800 ц рыбы. Треть этого срока был шторм, вследствие чего плановое задание ежедневно недовыполнялось на 20 ц. Однако, в остальные дни бригаде удавалось ежедневно вылавливать на 20 ц больше дневной нормы, и плановое задание было выполнено за день до срока. Сколько центнеров рыбы намеревалась вылавливать бригада рыбаков ежедневно?

Решение.

1. х дней – планируемый срок лова рыбы.

2. у ц – планировалось вылавливать в день.

3. Составим уравнение: х⋅у=1800.

4. Так как планируемого срока был шторм, то за это время бригада выловила (у–20)⋅⋅х (ц).

5. В оставшееся время бригада выловила (у+20)⋅(–1) (ц).

6. Составим уравнение: (у+20)⋅(–1)+ (у–20)⋅=1800.

7. Решим систему:

Ответ: 100 ц.

3.3. Задачи, в которых требуется определить время, затраченное на выполнение предусмотренного объема работы

Задача № 11.

Планом было предусмотрено, что предприятие на протяжении нескольких месяцев изготовит 6000 насосов. Увеличив производительность труда, предприятие стало изготовлять в месяц на 70 насосов больше, чем было предусмотрено, и на один месяц раньше установленного срока перевыполнило задание на 30 насосов. На протяжении скольких месяцев было предусмотрено выпустить 6000 насосов?

Решение.

1. Пусть за х месяцев предусмотрено выполнение планового задания. Тогда за (х–1) месяцев было выпущено 6030 насосов.

2. В месяц по плану предприятие планировало выпускать насосов, а фактически выпустило в месяц насосов. Из условия задачи следует уравнение: –=70. Решая это уравнение получим: х1=10; х2=(не удовлетворяет условию задачи).

Ответ: 10 месяцев.

3.4. Задачи, в которых вместо времени выполнения некоторой работы дано число рабочих, участвующих в выполнении работы

Задача № 12.

Бригада каменщиков взялась уложить 432 м3 кладки, но в действительности на работу вышло на 4 человека меньше. Сколько всех каменщиков в бригаде, если известно, что каждому работавшему каменщику пришлось укладывать на 9 м3 больше, чем первоначально предполагалось?

Решение.

1. Пусть в бригаде х каменщиков. Тогда по условию задачи на работу вышло (х–4) каменщиков.

2. Каждый каменщик должен был по плану уложить м3, фактически же каждый уложил м3.

3. Из условия следует уравнение: –=9, решая которое, находим х=16.

Ответ: 16 человек.

§ 4. Задачи на проценты

Задачи этого раздела входят как составная часть в решение двух типовых задач. Заменяя проценты соответствующим количеством сотых долей, легко свести данную задачу на проценты к задаче на части.

Задача 13.

Из сосуда, наполненного 96-типроцентным раствором кислоты, отлили 2,5 литра и долили сосуд 80-типроцентным раствором той же кислоты. Затем еще раз отлили 2,5 литра и снова долили
80-типроцентным раствором кислоты. После этого в сосуде получился 89-типроцентный раствор. Найдите объем сосуда.

Решение.

Обозначим объем сосуда через V, тогда количество кислоты было . После того как из сосуда отлили 2,5 литра раствора, а затем долили сосуд 80-типроцентным раствором той же кислоты, в сосуде концентрация (С) раствора кислоты стала: , С=. Потом еще раз отлили 2,5 литра и снова долили 80-типроцентным раствором кислоты: .

После этого в сосуде получился 89-типроцентный раствор. Составим уравнение: . После преобразований получим уравнение: 7V2–80V+100=0. Решая его получим V=10 л.

Ответ: 10 л.

Задача 14.

Сплав состоит из олова, меди и цинка. Если от этого сплава отделить 20 г и сплавить их с 2 г олова, то во вновь получившемся сплаве масса меди будет равна массе олова. Если же отделить от первоначального сплава 30 г и прибавить 9 г цинка, то в этом сплаве масса олова равна массе цинка. Определить в процентах состав первоначального сплава.

Решение.

Пусть х % – было в сплаве олова;

у % – было в сплаве меди;

z % – было в сплаве цинка.

В 20 г сплава олова, меди и цинка было соответственно: г; г; г.

В 30 г сплава олова, меди и цинка было соответственно: г; г; г. Если 20 г сплава сплавит с 2 г олова, то в новом сплаве олова будет , что равно массе меди: =.

Если 30 г сплава сплавить с 9 г цинка, то в новом сплаве цинка будет , что равно массе олова =. Составим систему:

Решаем систему:

Ответ: олова х=40 %; меди у=50 %; цинка z=10 %.