Задачи планиметрии для подготовки учащихся 10 – 11 классов к ЕГЭ.
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (11 класс) на тему

        Работа учителя математики                                                                                                                                         ГБОУ школа № 1412 с углублённым изучением иностранных языков                                                                        Северо – Восточного округа города Москвы

Шмигельской Марины Анатольевны.

Задачи планиметрии

для подготовки учащихся 10 – 11 классов

к выполнению задания В-11 ЕГЭ.

                                                                                       2016 год.

 Оглавление.

Введение  .............................................................................................................. стр. 2-3

Треугольники  …………………………………………………………………………………………………. стр. 4-15

Четырёхугольники  …………………………………………………………………………………………. стр. 16-25       

Круг, окружность  …………………………………………………………………………………………… стр. 26-28

Правильные n -  угольники ……………………………………………………………………………. стр. 29

Литература ……………………………………………………………………………………………………… стр. 30              

Введение.

Единый государственный экзамен по математике совмещает два экзамена – выпускной школьный и вступительный в высшие и средние специальные учебные заведения. В рамках этого экзамена наряду с проверкой овладения материалом школьного курса алгебры и начал анализа 10-11 классов, контролируются также овладение некоторыми вопросами курса алгебры основной школы и курсов геометрии основной и старшей школы. Поэтому при подготовке к этому экзамену надо повторить не только материал курса алгебры и начал анализа, но и некоторые темы и разделы курса математики основной и средней школы, а также материал курса планиметрии 7–9 классов и курса стереометрии 10-11 классов (расположение прямых и плоскостей в пространстве, многогранники и тела вращения).

Задания вариантов контрольно - измерительных материалов распределены на три части, которые различаются по своему назначению, а также по содержанию, числу, сложности и типам включённых в них заданий.

Стереометрические задачи. Содержательная линия этих задач в основе своей представлена комбинацией различных плоскостей, позволяющей формировать у учащихся пространственное мышление.  Классифицируем задачи по следующим типам:

- призма (наклонная, прямая, правильная, куб);

- пирамида (общего вида, правильная треугольная, правильная четырёхугольная, усечённая);

- цилиндр;

- конус;

- шар.

Задачи планиметрии. Содержание этих задач позволяет классифицировать их по видам рассматриваемых фигур и тематическим модулям:

- треугольник (признаки подобия треугольников; площадь треугольников; треугольник, вписанный в окружность; треугольник, описанный около окружности; свойство касательной и секущей, проведённых к окружности из одной точки; теорема косинусов);

- четырёхугольники:                                                                                                                                                   а) параллелограмм (площадь параллелограмма);                                                                                             б) ромб  (площадь ромба);                                                                                                                                       в) трапеция ( площадь трапеции; трапеция, описанная около окружности; свойство средней линии трапеции);                                                                                                                                                              

    - окружность (окружность, вписанная в угол);            

    - правильные многоугольники ( квадрат, шестиугольник).

В заданиях 2 части проверяется умение решать стереометрические задачи на комбинацию геометрических тел (многогранников и тел вращения).

В данной работе собраны задачи для подготовки учащихся к выполнению задания В-11. Она может быть использована как пособие для элективного курса по геометрии в 10-11 классах и при итоговом  повторении в 8- 9 классах.

При подборке задач использованы открытые варианты контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2010-2015 годов.

Треугольники.

№1. Через вершину угла величиной 75⁰ равнобедренного треугольника проведена прямая под углом 30⁰ к основанию, разбивающая треугольник на две части. Найти отношение площадей этих частей.

Решение:            

                   В                        Так как треугольники АМС и АМВ имеют общую высоту, то для

нахождения отношения площадей этих треугольников достаточно         

        найти отношение оснований МС и МВ.  АМС -

        равнобедренный с основанием МС. Выразив МС и ВС через а,

        найдём отношение МС к МВ.

                                             М        Рассмотрим треугольник АВС:  пусть С=75⁰, МАС=30⁰, АС=а.

А        По теореме синусов:  =   ;                                                      BC=   ;

        BC=2a sin75⁰.

Рассмотрим  треугольник АМС: А=30⁰, С=75⁰,тогда  М=75⁰.Треугольник – равнобедренный с основанием МС:  МС= 2а sin15⁰.                                                                                                                           ВМ = ВС – МС=2а sin75⁰- 2a sin15⁰ =2a 2sin30⁰cos45⁰ =a.                                                                              = sin 15⁰.

Ответ:  sin 15⁰.

№ 2. Найдите острый угол между биссектрисами углов А и В треугольника АВС, если величина угла С равна 48⁰.

 Решение:                                                                                                С                                        

 Обозначим точку пересечения биссектрис углов А и В                                                                         буквой К.  По теореме о сумме углов треугольника:                                                                                   180⁰-48⁰=132⁰.                                                                                                                                                        132⁰: 2=66⁰.                                                                                                                                                          Острый угол между биссектрисами углов А и В                                                                                           ΔАВС является внешним углом ΔАВК при                                                                                                 вершине К и поэтому равен сумме внутренних                                                                                         углов, не смежных с ним.                                                                                                                                  Поэтому этот угол равен 66⁰.  

Ответ: 66⁰.        А        В

№ 3. В  ΔАВС  АВ=АС. Биссектриса угла при основании этого треугольника разбивает его на два равнобедренных треугольника. Найти углы ΔАВС.

Решение:

Пусть ВМ – биссектриса равнобедренного  Δ АВС, в котором АВ=АС.                                А  

Обозначим  ВАС=α. Из равнобедренности треугольников, на которые                                биссектриса угла при основании разбивает исходный треугольник, следует,                                             что АМ=МВ=ВС.  По свойству углов при основании равнобедренного                                 треугольника, получим, что ВАС =АВМ=α.

Угол ВМС- внешний угол треугольника АВМ. ПО свойству внешнего угла                                       находим  ВМС= ВАМ+АВМ=2α.Но ΔСВМ равнобедренный.                                                               Поэтому  ВМС= ВСМ. Отсюда  ВМС= ВСМ=2α. Т.к. ВМ- биссектриса                                             М     Δ АВС, то  МВС= МВА=α. По свойству внутренних углов Δ АВС, получим:                                                         α+2α+2α=180⁰; α=36⁰

Ответ:  36⁰, 72⁰, 72⁰.        

        В        С

№ 4. Стороны треугольника равны 7,8 и 9. Найдите длины отрезков, на которые вписанная в этот треугольник окружность делит его стороны.

Решение:        В

Пусть О- центр окружности, вписанной в треугольник АВС,                                                                            в котором АВ=9, ВС=7, СА=8. Пусть М,Р,К- точки касания                                                                             вписанной окружности и сторон ВС, СА, АВ соответственно.           К                                                          Радиусы вписанной окружности, проведённые в точки                                                        М                          касания, перпендикулярны соответствующим                                                                                                     сторонам Δ АВС. Поэтому прямоугольные                                                                                                треугольники АОР и АОК, ВОМ и ВОК, СОМ и СОР                                                                            соответственно равны по катету и гипотенузе            А                                                                                         (ОР=ОК, ОА – общая гипотенуза и т. д.). Отсюда                                          Р                                                    следуют равенства:  АР=АК, ВМ=ВК, СМ=СР.

Пусть АР = х, тогда РС=8-х,  МВ=х-1,  ВК=х-1,  КА=10-х.        С

КА=АР, следовательно, 10-х=х;  х=5.  КА =АР=5,  СР=СМ=8-х=3, МВ=ВК=х-1=4.

Ответ: 3;  4;  5.

№ 5. Определите отношение, в котором окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, делит его основание.

Решение:

Пусть окружность с диаметром ВС пересекает основание АВ                                С                       равнобедренного Δ АВС в точке Р. Тогда Р ΔВСР – прямой,                                                     следовательно, СР – высота равнобедренного треугольника,                                                                опущенная на его основание. Но тогда эта высота есть                                                                               медиана этого треугольника и, следовательно,                                                                                                                  Р – середина АВ, то есть отношение АР  РВ =11.

Ответ:  11.

        А                В

        Р

№ 6. Хорда АВ окружности перпендикулярна диаметру СТ и делит его в отношении  13. Определите углы четырёхугольника АСВТ.

Решение:

Пусть диаметр СТ окружности с центром в точке О пересекает                                                                  хорду АВ в точке М, причём МТ<МС. Тогда по условию                                             С                                 МТМС = 13. Обозначим  МТ=х, тогда МС=3х, а СТ=4х.                                                                                  Отсюда ОТ=ОС=2х,  а  МО=х.  Следовательно,                                                                                                        АМ – медиана треугольника ОАТ,  которая                                                                                                             является его высотой, т. к. по условию АВ                                                                                                перпендикулярна СТ. Значит, Δ ОАТ – равно-                                                                                                       бедренный и АО=АТ. Поскольку, СТ – диаметр                                                                                       окружности, то Δ САТ – прямоугольный и,                                                                                                       значит, АО=ОС=ОТ. Следовательно, Δ ОАТ –                                             А                                               В равносторонний. Получаем величины углов                                                                Т                                          четырёхугольника АСВТ: А=L В=90⁰,  С=60⁰,  Т=120⁰.

Ответ: 60⁰, 90⁰, 90⁰, 120⁰.

№ 7. В прямоугольном треугольнике один катет равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16. Найти площадь круга, описанного около этого треугольника.

Решение:

Пусть в Δ АВС   С=90⁰, ВС=15, СТ- высота треугольника.                                                                                     Тогда СТ перпендикулярна АВ и, значит, АТ – проекция                                                                                    катета АС на гипотенузу АВ. По условию АТ =16.                                      В                                                    Достаточно найти диаметр описанного круга,                                                        Т                                        которым является гипотенуза АВ Δ АВС.  Квадрат                                                                                                катета равен произведению гипотенузы и                                                                                                        проекции этого катета на гипотенузу.                                                                                                                              В нашем случае, обозначив  ВТ=𝔁, получим ВС²=АВ · ВТ.                                                                                  Подставив значения, получим уравнение  15²=(х+16)·𝔁;                      С                                                       А                               𝔁²+16𝔁-225=0.                                                                                                                                                                 Решив квадратное уравнение, найдём его                                                                                             положительное решение   𝔁=ВТ=9.                                                                                                              Следовательно, гипотенуза АВ=ВТ+АТ=9+16=25.                                                                                                              Отсюда площадь описанного круга равна ·АВ² =

Ответ:

№ 8. В прямоугольный  треугольник с катетами 10 м и 15м вписан квадрат, имеющий с треугольником общий угол. Найдите площадь квадрата.

Ответ: 36.

№ 9. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 13, а высота, опущенная на гипотенузу, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 202,8.

№ 10. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если его высота ВН равна 12 и известно, что sinА = , sinС =

Ответ: 4.

№ 11. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 30⁰, длина боковой стороны равна 6 см. Найдите площадь треугольника, образованного отрезками двух медиан и стороной данного треугольника.

Ответ: 9 см².

№ 12. Основание ВС равнобедренного Δ АВС равно 12. Биссектриса угла В делит медиану АМ в отношении 53, считая от вершины А. Найдите площадь Δ АВС.

Ответ: 48.

№ 13. Биссектрисы АМ и ВК Δ АВС пересекаются в точке О, АО=2, ОМ=1, АК=2, СК=3. Найдите периметр треугольника .

Ответ: 11,25.

№ 14. Основание равнобедренного треугольника равно 24 см, а его площадь равна 108 см². Найти расстояние между центром описанной около треугольника окружности и центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ: 7,5 см.

№ 15.  Основание равнобедренного треугольника равно 16, а высота, проведенная к основанию равна 6. Найдите расстояние между центром описанной около треугольника окружности и центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ: 5.

№ 16. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках Н и К, НК=4 см. Найти периметр треугольника.

  Ответ: 30 см.

№ 17. Найти площадь прямоугольного треугольника, если радиус  вписанной в него окружности равен 1 см, а  описанной около него окружности равен 5 см.

Ответ: 11.

№ 18. В треугольнике известны две стороны 6 см и 3 см. найдите третью сторону, если полу сумма высот, проведённых к данным сторонам, равна третьей высоте.

Ответ: 4 см.

№ 19. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если известны его гипотенуза  4 см и сумма синусов его острых углов .

Ответ: 2 см².

№ 20. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 4, а угол 30⁰. В этот треугольник вписан  прямоугольник, у которого одна сторона в 2 раза больше другой. Найти площадь прямоугольника, если его большая сторона лежит на гипотенузе, а две вершины – на катетах.

Ответ: 24(7-4.

№ 21. Известны длины сторон Δ МКР: МК=4, КР=3, МР=6. На луче КР выбрана такая точка В, что,       КМВ =  КРМ. Найдите большую сторону Δ МРВ.

Ответ: 8.

№ 22. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120⁰. Боковая сторона равна 4. Найдите квадрат длины медианы, проведённой к боковой стороне.

Ответ: 28.

№ 23. Катеты прямоугольного треугольника имеют длину 12 и 5. Найдите длину медианы, проведённой к гипотенузе.

Ответ: 6,5.

№ 24. Известны длины сторон Δ АВС: АВ=6,СА=7, ВС=5. На луче ВС выбрана такая точка М, что          ВАМ =  АСВ. Найдите меньшую сторону Δ АСМ.

Ответ: 2,2.

№ 25. Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из его катетов равен 20, а проекция другого катета на гипотенузу  равна 9.

Ответ: 25.

№ 26. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: 25.

№ 27. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 2 и делит прямой угол в отношении 12. Найдите больший катет.

Ответ: 6.

№ 28. Окружность с центром О, вписанная в прямоугольный треугольник АВС, касается катета ВС  в точке М. Луч ВО пересекает катет АС в точке К. найдите АК, если СМ = 4, ВМ = 8.                        Ответ: 10.

№ 29. Точка О является центром окружности, вписанной в прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Луч АО пересекает катет ВС в точке К. Найдите гипотенузу АВ, если АС =6 и угол В в 4 раза больше угла КАС.

Ответ: 12.

№ 30. Найти площадь прямоугольного треугольника, если радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей равны 2 и 5 соответственно.

Ответ: 24.

№ 31. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковой стороны в точках А и В. Найдите АВ, если две стороны треугольника равны 4 и 8.

Ответ: 3.

№ 32. Две стороны равнобедренного треугольника равны 32 и 16. Вписанная в него окружность касается боковых сторон в точках К и Т. найти длину отрезка КТ.

Ответ: 12.

№ 33. Основание равнобедренного треугольника равно 8. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках В и С, ВС = 6. Найти периметр треугольника.

Ответ: 22.

№ 34. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 18, основание равно 12. Вписанная окружность касается боковых сторон в точках С и Е. найдите СЕ.

Ответ: 8.

№ 35. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках Е и Н. Найдите периметр треугольника, если ЕН = 3, а основание треугольника равно 12.

Ответ: 27.

№ 36. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках Р и Т. точка Р делит сторону на отрезки 10 и 15, считая от основания. Найти РТ.

Ответ: 12.

№ 37. Основание равнобедренного треугольника равно 10. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках М и К, МК = 8. Найдите периметр треугольника.

Ответ: 28.

№ 38. Две стороны равнобедренного треугольника 16 и 8. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках О и М. найдите ОМ.

Ответ: 6.

№ 39. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках К и Т. найдите КТ, если точка К делит сторону на отрезки 3 и 6, считая от основания.

Ответ: 4.

№ 40. Основание равнобедренного треугольника равно 12. Вписанная окружность касается его боковых сторон  в точках Н и К, НК = 4. Найдите периметр треугольника.

Ответ: 30.

№ 41. В равнобедренный треугольник АВС с основанием АС вписана окружность с центром О. луч СО пересекает сторону АВ в точке К, причем АК = 6, ВК = 12. Найдите периметр треугольника.

Ответ: 45.

№ 42. Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании 75⁰ описана окружность с центром О.Найдите её радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.

Ответ: 8.

№ 43. В равнобедренный треугольник РМК с основанием МК вписана окружность с радиусом 2. Высота РН делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1 считая от вершины Р. Найдите периметр треугольника РМК.

Ответ: 36.

№ 44. В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках К и Е. Найдите радиус окружности, если КЕ = 8, АС = 18.

Ответ: 12.

№ 45. Дан ромб АВСМ. Окружность, описанная около треугольника АВМ, пересекает  большую диагональ ромба АС в точке Е. Найдите СЕ, если АВ =8, ВМ = 16.

Ответ: 12.

№ 46. Равнобедренный треугольник вписан в окружность радиусов  4. Найдите высоту, проведённую к боковой стороне, если один из углов треугольника равен 120⁰.

Ответ: 6.

№ 47. Равнобедренный треугольник АВС с основанием АС  вписан в окружность с центром О. Площадь треугольника АВС равна  4, угол В равен 45⁰. Прямая, проходящая через точку О и середину отрезка ВС, пересекает сторону АВ в точке К. Найдите площадь треугольника ВСК.

Ответ: 4.

№ 48. Окружность с центром О, вписанная в равнобедренный треугольник АВС с основанием АС, касается стороны ВС в точке К, причём СК ВК = 5 8. Найдите длину отрезка ВО, если площадь треугольника АВС равна 540.

Ответ: 26.

№ 49. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с углом при основании 30⁰, если высота, проведённая к боковой стороне, равна 2 .

Ответ: 4.

№ 50. Точка М лежит внутри равнобедренного треугольника АВС с основанием АС на расстоянии 6 от боковых сторон и на расстоянии   от основания. Найдите основание треугольника, если В  = 120⁰.

Ответ: 30.

№ 51. Около равнобедренного треугольника МКН с основанием МК описана окружность с центром О. Найдите площадь треугольника МОК, если  КМН = 82⁰30, а радиус окружности равен 6.

Ответ: 9.

№ 52. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна  . Найдите площадь треугольника.

Ответ: 3.

№ 53. Окружность радиусом 6, вписанная в равнобедренный треугольник ВСМ, касается боковой стороны ВС в точке Р, причём  ВР  СР = 23. Найдите основание МС.

Ответ: 24.

№ 54. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность радиусом 9, которая касается стороны АВ в точке Е. Найдите основание треугольника, если АВ  АЕ = 52.

Ответ: 36.

№ 55. Периметр равнобедренного треугольника КАР с основанием АР равен 32. Вписанная в треугольник окружность касается боковой стороны РК в точке В, причём ВР = 6. Найдите радиус окружности.

Ответ: 3.

№ 56. В окружности радиуса    вписан правильный треугольник АВС. Хорда ВК пересекает сторону АС в точке Е,  АЕ  ЕС = 35. Найдите ВЕ.

Ответ: 7.

№ 57. Около треугольника АВС описана окружность.  Медиана треугольника АМ продлена до пересечения с окружностью в точке К. Найдите сторону АС, если АМ = 18, МК = 8, ВК = 10.

Ответ: 15.

№ 58. В окружность радиуса  4 вписан треугольник АВС, в котором  А= 60⁰, а сторона АВ в два раза больше стороны АС. В треугольнике проведена биссектриса АМ. Найдите длину отрезка АМ.

Ответ: 4.

№ 59. В треугольнике ВСЕ угол С равен 60⁰, СЕ ВС =31. Отрезок СК – биссектриса треугольника. Найдите КЕ, если радиус описанной около треугольника окружности равен 8.

Ответ: 18.

№ 60. Найти радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота ВН равна 12 и известно, что  =  ,  =  .

Ответ: 4.

№ 61. Найти сторону ВС в треугольнике АВС, где АС = 8, медиана АМ = 10, площадь треугольника = 48.

Ответ: 12.

№62.  В треугольнике АВС сторона АВ равна 10, а  А – тупой. Найдите медиану ВМ, если АС = 20, а площадь треугольника АВС равна 96.

Ответ: 16.

№ 63. В треугольнике АВС сторона АВ равна 10, а  А – острый. Найдите медиану ВМ, если АС = 20, а площадь треугольника АВС равна 96.

Ответ: 12.

№ 64. В треугольнике ВСЕ СЕ = 3 ВС,С равен 60⁰. Около треугольника описана окружность радиуса  8 , и в него же вписана окружность с центром О. Луч СО пересекает сторону ВЕ в точке К. Найти длину отрезка КЕ.

Ответ: 18.

№ 65. Около треугольника АВС описана окружность радиуса 4 , и в него же вписана окружность.  Хорда описанной окружности, проходящая через центр вписанной окружности и вершину А, пересекает сторону ВС в точке М. Найдите МС, если  А = 60⁰ и АВ = 2АС.

Ответ: 4.

№ 66. Найдите площадь треугольника АВС, если АС = 20, ВС = 2 , а медиана ВМ = 12.

Ответ: 96.

№ 67. Медиана, проведённая из вершины А треугольника АВС, продлена до пересечения в точке К с описанной окружностью. Найти сторону АС, если АК = 26, ВК = 10, медиана равна 18.

Ответ: 15.

№ 68. В треугольнике АВС сторона АВ =   и она больше половины АС. Найдите сторону ВС, если медиана ВМ = 5, а площадь треугольника АВС = 20.

Ответ: 8.

№ 69. В треугольнике АВС сторона ВС = 2 и она больше половины стороны АС. Найдите сторону АВ, если медиана ВМ = 12, а площадь треугольника АВС равна 96.                                     Ответ: 10.

№ 70. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 4 и АС = 7 взята точка К на стороне ВС, так что АК – биссектриса. На АК выбрана точка М так, что АМ  МК = 2  3. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника КВМ равна 12.

Ответ: 55.

№ 71. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 3 и АС = 5 взята точка К на стороне ВС, так что АК – биссектриса. На АК выбрана точка М так, что АМ  МК = 5  2. Найдите площадь треугольника АВМ, если площадь треугольника КВС равна 56.

Ответ: 15.

 № 72. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и К, так что                 АМ  МВ = 3   КС = 3  5. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника МКВ равна  9.

Ответ: 56.

№ 73. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М и Р, так что                  АМ  МВ = 5 3 и ВР  РС = 2  7. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника МРВ равна 11.

Ответ: 132.

№ 74. В треугольнике АВС   =  , АС = 5, ВС = 4. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности, если АВ  АС.

Ответ: 1.

№ 75. В треугольнике АВС   , АС = 5, радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 1. Найдите сторону ВС,  если АВ  АС.

Ответ: 4.

№ 76. В треугольнике АВСВ = 120⁰. Точка О – центр вписанной в этот треугольник окружности, причём АО = 6, СО = 4. Найти площадь треугольника АОС.

Ответ: 6.

№ 77. Около треугольника СКЕ, в котором  Е = 50⁰,  С = 25⁰, описана окружность с центром О и радиусом 12. Найдите площадь треугольника СОЕ.

Ответ: 36.

№ 78. В треугольнике АВС точка Е делит сторону АС на отрезки АЕ = 4 и ЕС = 5;  ВАС = 30⁰;                 АВЕ =  АСВ. Найдите площадь треугольника АВЕ.

Ответ: 6.

№ 79. Точка К лежит на стороне ВС треугольника АВС, ВК = 1, КС = 15,  ВАК =  АСК,  В = 30⁰. Найдите площадь треугольника ВАК.

Ответ: 1.

№ 80. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О,  ВАО= 20⁰. Найдите градусную меру острого угла, образованного прямыми, содержащими высоты АР и ВН данного треугольника.

Ответ: 70⁰.

№ 81. Около треугольника АВС описана окружность с центром О и радиусом, равным 8. Найдите площадь треугольника ВОС, если  А =105⁰.

Ответ: 16.

Четырехугольники.

№1. Найдите площадь равнобедренной трапеции, диагональ которой равна   и составляет с основанием угол  45.

Решение:                                                                                                    B                             C

1). Для того чтобы найти площадь трапеции,

 достаточно найти её высоту и длины

оснований (см.  формулу площади трапеции).

Высоту найдем с помощью теоремы Пифагора

из прямоугольного равнобедренного ΔACH

(почему?)                                                                              A                                            H          D

2C = , C = 9. Значит, высота CH = 3. Следовательно, AH = 3.

2). Обозначим длину HD через а, тогда AD= 3+а, BC = 3-а. Используя формулу для нахождения площади трапеции, получим:

S =   CH =  × 3 =9.

Ответ:  9.

№2. В параллелограмме ABCD биссектриса угла Bпересекает сторону AD в точке M так, что AM в 4 раза больше MD. Найдите длину большей стороны параллелограмма, если его периметр равен 36.

Решение:

1).Точка M делит сторону AD в отношении                          B          C

4 : 1, следовательно, обозначив длину MD

через  x,Получим AM = 4x, а BC = AD = 5x 

по свойству параллелограмма.

2).   AMB =   MBC как накрест лежащие  

при BC || AD и секущей BM, значит,          A             4x                  M     x        D

 AMB = ABM = MBC, поэтому  треугольник ABM – равнобедренный.

3). Получили, что длины сторон параллелограмма равны AB = DC = 4x, AD = BC = 5x.

Зная периметр , можем составить уравнение:

4x + 4x + 5x + 5x = 36;

18x = 36;

X = 2.

4). Получили что AB = DC = 8, AD = BC = 10.

Ответ: 10.

№3.  Основания равнобедренной трапеции равны  3м и 8м, а угол при основании 60.

Найдите диагональ.

Решение:

1). Пусть в трапеции ABCD основания AB и CD,                                 A           3                    B

 D = 60° и AD = BC. Тогда по свойству

 равнобедренной трапеции C =D = 60°,

A = B = 180° - 60° = 120°.

ABCK – параллелограмм. Отсюда KC = AB = 3м,

DK = 8 – 3 = 5м и BC = AK = AD.                                                 D             5                   K         3          C

3). В треугольнике ADK   AD = AK, D = 60°, следовательно, AKD = 60°, а значит, и DAK = 60°. Отсюда  AK = DK = 5м, но тогда BC = 5м.

4). В треугольнике ABC  A = A + B - 2AB × BC ×  (теорема косинусов), т.е.

A =  +  - 2 × 3 × 5 ×  =  +  - 2 × 3 × 5 × ( -) = 9 + 25 +15 = 49.

Итак, AC = 7м.

Ответ:  7м.

№4. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию с основаниями 12 и 16, и одной из боковых сторон, равной  15.

Решение:                                                                                               B             12              C

1). По свойству описанного  четырехугольника:

BC + AD = AB + CD;

12 + 16 = 15 + CD;        15

CD = 13.

2). Две высоты трапеции BK и CH отсекают на

большем основании три отрезка.        A        y        K               H        4 - y                   D

Пусть  AK = y,  а высота, то есть BK = x, KH = BC = 12, тогда HD = AD – AH = 16 – y – 12 = 4 – y.

3). По теореме Пифагора   ΔABK и ΔCDH:

 ;           ;

где x – высота трапеции, а   y – AK.

4). Диаметр окружности, вписанная в трапецию равна высоте трапеции, то есть  r = 6.

Ответ:  6.

№5.  Перпендикуляр, опущенный из вершины B ,параллелограмма на диагональ, делит её на отрезки AK и KC, где AK =6 и KC =15. Найдите стороны и диагонали параллелограмма, если известно, что разность сторон равна 7 см.

Решение:

1). Пусть AK= 6см, KC = 15 см, тогда AB < BC, значит            B                    x + 7                                C

BC = AB +7.

2).  Пусть x = AB , тогда BC = x + 7.        x

3).Так как , то ΔABK и

 ΔCBK – прямоугольные.

Значит по теореме Пифагора из ΔABK и       A        D

ΔCBK выразим BK:                                          

         ;      

Следовательно   = , тогда                                                                                                    -  =  -  ;                                                                                                                                                      =  + 14x +49 – 225 +36 ;

14x = 140;

X=10.

То есть AB=10см.

4). Тогда BC= 10+7, BC=17см. Далее AC =6+15, AC=21см.

5). Для нахождения второй диагонали можно воспользоваться следствием из теоремы косинусов:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Тогда   +  = 2 ( +);                                                                                                                             =  2( +) -=337;

BD = cм.

Ответ:  17см, 10см, 21см, cм.

№ 6. Разность сторон параллелограмма равна 2. Большая его диагональ равна 22, а меньшая диагональ равна большей стороне параллелограмма. Определить стороны параллелограмма.

Ответ: 12; 14.

№ 7. В параллелограмме острый угол равен 60⁰. Найдите отношение длин сторон параллелограмма, если отношение квадратов длин диагоналей равно   .

Ответ: 1.

№ 8. Периметр ромба равен 20, сумма длин диагоналей – 14. Найдите площадь ромба.

Ответ: 24.

№ 9. Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей – 15. Найдите площадь ромба.

Ответ: 150.

№ 10. Высота, проведённая в ромбе из вершины тупого угла, образует со стороной ромба угол в 10⁰. Вычислить периметр ромба, зная, что меньшая его диагональ равна 5,2.

Ответ: 20,8.

№ 11. Окружность, вписанная в ромб АВСЕ, касается сторон АВ и ВС в точках М и Р, причём МР = ВР. Найдите периметр этого ромба, если радиус окружности равен  .

Ответ: 16.

№ 12. Дан ромб АВСМ. Окружность, описанная около треугольника АВМ, пересекает большую диагональ ромба АС в точке Е. Найдите меньшую диагональ ромба, если АВ = 8 , СЕ = 12.

Ответ: 16.

№ 13. В выпуклом четырёхугольнике АВСМ углы при вершинах В и С прямые, а ВАМ = arctg  .Найдите длину диагонали ВМ, если известно, что длина СМ вдвое меньше длины АВ и на 21 меньше длины ВС.

Ответ: 105.

№ 14. Большее основание трапеции равно 24. Найдите меньшее основание, если известно, что расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 4.

Ответ: 16.

№ 15. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны, и большая из них точкой пересечения делится на отрезки, равные 36 и 64. Найдите основания трапеции.

Ответ: 45; 80.

№ 16. В трапеции, основания которой 4 и 6, проведена через точку пересечения диагоналей прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка прямой, отсекаемого от нее боковыми сторонами трапеции.                                                                                                                                                   Ответ: 4,8.

№ 17. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции с её основанием, равны 9 и 16. Найти площадь трапеции.

Ответ: 49.

№ 18. Основание АВ трапеции АВСМ вдвое длиннее основания СМ и вдвое длиннее боковой стороны АМ. Длина диагонали равна 4, а длина боковой стороны ВС равна 3. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 9.

№ 19. В равнобедренную трапецию вписан круг.  Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки 9 и 16. Определите площадь трапеции.

Ответ: 600.

№ 20. В окружность вписана трапеция, боковая сторона которой равна 15, средняя линия 16 и большее основание является диаметром окружности, Найдите площадь трапеции.

Ответ: 192.

№ 21. Вычислить площадь трапеции по разности оснований, равной 14, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

Ответ: 168.

№ 22. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основаниям трапеции и делящей трапецию на две равновеликие фигуры, заключённого между сторонами трапеции. Длины оснований трапеции равны 6 и 8.

Ответ: 5.

№ 23. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса 10. Верхнее основание трапеции в два раза меньше ее высоты. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 500.

№ 24. Около окружности, радиус которой равен 10, описана равнобедренная трапеция. Расстояние между точками касания окружности с боковыми сторонами трапеции 12. Найдите боковую сторону трапеции.

Ответ:  .

№ 25. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь в отношении 3  5. Найдите длины оснований трапеции.

Ответ: 5; 15.

№ 26. Около окружности описана трапеция, боковые стороны которой равны 13 и 15, а площадь равна 168. Найдите основание трапеции.

Ответ: 7; 21.

№ 27. В трапеции длины оснований равны 5 и 15, а длины диагоналей 12 и 16. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 96.

№ 28. Определите площадь равнобедренной трапеции, у которой длины оснований равны 10 и 26, а диагонали перпендикулярны сторонам.

Ответ: 216.

№ 29. Длина средней линии равнобедренной трапеции 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых равно 7 13. Найти длину высоты трапеции.

Ответ: 4.

№ 30. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8. Найти длину средней линии трапеции, если величина острого угла при её основании равна 30⁰.

Ответ: 4.

№ 31. Площадь равнобедренной трапеции равна 32. Котангенс угла между диагоналями трапеции и её основанием равен 2. Найдите высоту трапеции.

Ответ: 4.

№ 32.вокруг окружности описана трапеция, средняя линия которой равна 5, а синус острого угла при основании равен 0,8. Найти площадь трапеции.

Ответ: 20.

№ 33. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3  5. Найти длину оснований трапеции.

Ответ: 5; 15.

№ 34. В равнобедренную трапецию, основания которой 2 и 8, вписан круг. Найдите радиус этого круга.

Ответ: 2.

№ 35. В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 25.

№ 36. В трапеции АВМТ с основанием АВ и МТ диагонали пересекаются в точке С, причём СМ = 2 АС. Площадь треугольника СМТ  равна 24. Найти площадь трапеции.

Ответ: 54.

№ 37. Диагонали трапеции СЕКМ (ЕК и СМ – основания) пересекаются в точке О. площадь треугольника СОЕ равна 16. СО = 2 ОК. Найти площадь трапеции.

Ответ: 72.

№ 38. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 4 , а основания равны 4 и 5. Найти ее диагональ.

Ответ: 14.

№ 39. В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60⁰, а площадь равна 24 , вписана окружность. Найти радиус этой окружности.

Ответ: 3.

№ 40. В трапеции большее основание равно 25, одна из боковых сторон равна 15. Известно, что одна из диагоналей перпендикулярна задней боковой стороне, а другая делит угол между заданной боковой стороной и нижним основанием пополам. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 240.

№ 41. Около круга радиуса 2 описана равнобедренная трапеция с острым углом 30⁰. Найдите длину средней линии трапеции.

Ответ: 8.

№ 42. В трапеции АВСМ с большим основанием АМ диагонали АС и ВМ пересекаются в точке О. Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника ВОС равна 4, а площадь треугольника АОМ равна 9.

 Ответ: 25.

№ 43. В трапеции АВСЕ основание АЕ равно 16, СЕ = 8 . Окружность, проходящая через точки А, В и С, вторично пересекает прямую АЕ в токе Н. Найдите АС, если АНВ = 60⁰.

Ответ: 8.

№ 44. Продолжение боковых сторон АВ и СМ трапеции АВСМ пересекается в точке Е. Найдите периметр треугольника АЕМ, если АВ = 3, ВС = 10, СМ = 4Ю АМ = 12.

Ответ: 54.

№ 45. В параллелограмме АВСМ АМ = 4,  АМВ = 30⁰, ВМС = 45⁰. Найти длину стороны АВ.

Ответ: 4.

№ 46. Найти площадь параллелограмма МРКЕ, если РКМ = 45⁰, РК = 5 ; РЕ = 26.

Ответ: 170.

№ 47. На диагонали ВМ прямоугольника АВСМ взята точка Е так, что ВЕ  ЕМ = 32. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке О. Найти площадь четырёхугольника АВСЕ, если АС = 10, АОВ = 30⁰.                                                                                                                                                       Ответ: 15.

№ 48. В параллелограмме МЕРК биссектриса угла М пересекает сторону ЕР в точке А так, что         АЕ  АР = 32. Найти длину меньшей стороны параллелограмма, если его периметр равен 48.

Ответ: 9.

№ 49. Основания прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равны 5 и 8. Найти площадь трапеции.

Ответ:  40.

№ 50. Найти площадь параллелограмма АВСМ, если САМ = 30⁰, ВМ = 13, АМ = 5. В ответе укажите значение найденной величины, умноженное на (12-5).

Ответ:  172, 5.

№ 51. Найдите площадь ромба, если его высота равна 12, а меньшая диагональ равна 13.

Ответ: 202,8.

№ 52. Основания равнобедренной трапеции равны 3 и 8, а угол при основании 60⁰. Найти диагональ.

Ответ: 7.

№ 53. Периметр ромба 20 см, сумма длин диагоналей 14 см. Найти площадь ромба.

Ответ: 24 см².

№ 54. Высота ромба 12, а одна из его диагоналей равна 15. Найти площадь ромба.

Ответ: 150.

№ 55. Диагональ равнобедренной трапеции равна 2 , а средняя линия равна 2. Найти площадь трапеции.

Ответ: 8.

Круг, окружность.

№ 1. Две окружности пересекаются в точках А и В. В каждой из данных окружностей проведены хорды АС и АМ так, что хорда одной из окружностей является касательной к другой окружности, причём ВС = а, ВМ = b. Найти АВ.

Решение:

Рассмотрим окружность с центром в точке О₁.                                                                                                  ∠ВСА вписанный  и равен половине дуги АВ.                                                                                                    ∠ВАМ образован хордой АВ и касательной АМ                                                                                                           к этой окружности и, поэтому равен половине                                   А                                                                        той же дуги АВ. Следовательно, ∠ВСА = ∠ВАМ.                                                                                                            Аналогично, ∠ВАС = ∠АМВ. Следовательно,                                                                                                           ΔВСА  ΔВАМ. Из подобия следует                                  С           В                                                                        пропорция  =    =    ⇔ АВ = .

Ответ:  .                 М

№ 2. Дана окружность с диаметром АВ. Вторая окружность с центром в точке А пересекает первую в точках С и К, а диаметр АВ в точке Е. На дуге СЕ, не содержащей точки К, взята точка М, отличная от точек С и Е. Луч ВМ пересекает первую окружность в точке Р, причём РС = 𝑎, РК = b. Найдите МР.

Решение:

        Р        

        А

        С

        М        

        Е

        В

К

Данные окружности симметричны относительно прямой АВ, следовательно дуги СВ и ВК равны. Поэтому вписанные углы СРМ и МРК также равны. Прямая ВС – касательная ко второй окружности, поскольку ∠ВСА = 90⁰, как вписанный угол, опирающийся на диаметр АВ. Следовательно, ∠ВСМ = 0,5 СМ. Вписанный угол СКМ также опирается на дугу СМ, поэтому      ∠СКМ =  ∠ВСМ. Вписанные углы      СВР и СКР, опирающиеся на одну и ту же дугу СР, равны.     ∠СМР – внешний угол ΔВСМ и поэтому ∠СМР = ∠ВСМ + ∠СВМ.                                                                         С другой стороны, ∠МКР = ∠СКМ + ∠СКР. Но ∠СКМ = ∠ВСМ и ∠СВМ = ∠СВР = ∠СКР.               ∠СМР = ∠МКР  ⇒  Δ СРМ ∾ Δ МРК  ⇒                                                                                                                               =   ⇔  =   ⇒                                                                                                                                                               МР =  

Ответ:  .

№ 3. Две окружности радиусов R и r касаются внешне в точке А. на окружности радиуса r взята точка В, диаметрально противоположная точке А и в точке В проведена касательная t к окружности радиуса r. Найдите радиус окружности, касающейся внешне данных окружностей и прямой t.

Ответ:  .

№ 4. К окружности проведены касательные МА и МВ (А и В – точки касания). Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 20, а расстояние от точки М до хорды АВ равно 9.

Ответ: 24.

№ 5. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания 16, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Найдите радиус окружности, если секущая удалена от её центра на 5.

Ответ: 13.

№ 6. И точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая.Расстояние от точки А до наиболее удалённой от неё точки пересечения секущей с окружностью равно 32. Найдите расстояние от точки А до точки касания , если радиус окружности равен 13, а секущая удалена от центра окружности на 5.

Ответ: 16.

Правильные n – угольники.

№ 1. В окружность с радиусом 10 вписан правильный многоугольник  А₁А₂А₃…. Найдите проекцию для диагонали А₃А₇ на диагональ А₁А₇, если внутренний угол этого многоугольника равен 150⁰.

Ответ: 15.

№ 2. Известно, что угол при вершине В₁ правильного многоугольника В₁В₂В₃… равен 150⁰, а радиус описанной около этого многоугольника окружности равен 8. Найдите высоту В₄Н треугольника В₂В₄В₈.

Ответ: 12.

№ 3. Дан правильный многоугольник  А₁А₂А₃… с углом 135⁰, вписанный в окружность радиуса 4 . Найдите площадь треугольника А₂А₅А₆.

Ответ: 16.

№ 4. В окружность вписан правильный шестиугольник. В ту же окружность вписан правильный девятиугольник А₁А₂А₃…А₉ с диагональю А₁А₄, равной 12. Найдите радиус окружности, вписанной в шестиугольник.

Ответ: 6.

№ 5. Угол правильного многоугольника В₁В₂В₃… равен 140⁰. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из вершины В₁ на диагональ В₄В₇, если радиус описанной около этого многоугольника окружности равен 6.

Ответ: 9.

№ 6. Найдите площадь правильного 12 – угольника АВСМКР…, если длина диагонали АМ равна 4.

Ответ: 24.

№ 7. Внешний угол правильного многоугольника А₁А₂А₃… равен 30⁰. Найдите длину перпендикуляра, опущенного из вершины А₅ на диагональ А₁А₇, если этот многоугольник вписан в круг с радиусом 12.

Ответ: 18.

Литература:

Кочагин В. В. ЕГЭ 2008.Математика. Репетитор. Москва, «Эксмо», 2008.

Денищева Л.О., Рязановский А.Р., ЕГЭ 2008.Математика. Федеральный банк экзаменационных материалов. Москва, «Эксмо», 2008.

Креславская О.А., Крылов В.В. и др. Математика. Сдаём без проблем! Москва, «Эксмо», 2008.

Корешкова Т.А., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ 2008.Математика. Типовые тестовые задания. Москва, «Экзамен», 2008.

Корешкова Т.А., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ 2006.Математика. Типовые тестовые задания. Москва, «Экзамен», 2006.

Корешкова Т.А., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ 2007.Математика. Типовые тестовые задания. Москва, «Экзамен», 2007.

Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. ЕГЭ 2008. Математика. Учебно – тренировочные материалы для подготовки учащихся. Москва, «Интеллект – Центр», 2008.

Рязановский А.Р., Мирошин В.В. Математика. Решение задач повышенной сложности.  Москва, «Интеллект – Центр», 2008.

Лысенко Ф.Ф., Авилов Н.И. и др. Математика. Решебник. ЕГЭ – 2009. Вступительные испытания. Ростов-на-Дону, «Легион – М», 2009.

Гущо  Л.В., Ильина М.С. ЕГЭ. Математика. Москва. «Московский лицей», 2008.

Ковалёва Г.И., Бузулина Т.И. и др. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности для подготовки к ЕГЭ. Волгоград «Учитель», 2009.