Решение задач в целых числах.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Решение задач в целых числах.

1. Известно, что a, b, c, d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство  =  ?

б) Может ли дробь  быть в 11 раз меньше, чем сумма   +  ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь , если  a > 3b и c > 6d ? 

2. Известно, что a, b, c, d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство  =  ?

б) Может ли дробь  быть в 11 раз меньше, чем сумма  +  ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  , если a > 3b и с > 2d ?

3. Известно, что a, b, c, d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство  =  ?

б) Может ли дробь  быть в 11 раз меньше, чем сумма  +  ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь , если  a > 5b и c > 8d ? 

4. Известно, что a, b, c, d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство  =  ?

б) Может ли дробь  быть в 11 раз меньше, чем сумма  +  ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь , если  a > 4b и c > 7d ? 

5. Последовательность a1, a2,..., an,... состоит из натуральных чисел, причём an + 2 = an + 1 + an при всех натуральных n.

а) Может ли выполняться равенство 5a5 = 9a4?

б) Может ли выполняться равенство 5a5 = 7a4?

в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство 3nan+1 = (n2 – 1)an ?

6. Последовательность a1, a2,..., an,... состоит из натуральных чисел, причём an + 2 = an + 1 + an при всех натуральных n.

а) Может ли выполняться равенство 4a5 = 7a4?

б) Может ли выполняться равенство 5a5 = 7a4?

в) При каком наибольшем натуральном n может выполняться равенство 6nan+1 = (n2 +24)an ?

7. Последовательность a1, a2,..., an (n ≥ 3) состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из четырёх членов, сумма которых равна 50.

б) Может ли такая последовательность состоять из шести членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 10?

8. Последовательность a1, a2,..., a7 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть Mk — среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-го. Известно, что M1 = 1, M2 = 2.

а) Приведите пример такой последовательности, для которой M3 = 1,5.

б) Существует ли такая последовательность, для которой M3 = 3?

в) Найдите наибольшее возможное значение M3.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9. Возрастающие арифметические прогрессии a1, a2, … , an, …  и b1, b2, … , bn , … состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых a1 b1 + a3b3 = 3a2 b2?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых a1 b1 +2 a4 b4 = 3a3 b3?

в) Какое наибольшее значение может принимать произведение a3b3 , если a1 b1 +2 a4 b4 ≤ 300?

10. Возрастающие арифметические прогрессии a1, a2, … , an, …  и b1, b2, … , bn , … состоят из натуральных чисел.

а) Существуют ли такие прогрессии, для которых  ,  и  - различные натуральные числа?

б) Существуют ли такие прогрессии, для которых   и   - различные натуральные числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  , если известно, что  ,  и  - различные натуральные числа?

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

№ 1

№ 2

№ 3

№ 4

№ 6

№ 5

№ 9

№ 10