Понятие производной, урок алгебры 11 класс
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

Слайд 2

Тайны планетных орбит. Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси. А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось. Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.

Слайд 3

В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному. В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное. Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.

Слайд 4

Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день. Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений. В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному. Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.

Слайд 5

Дифференциальные исчисления – раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функции.

Слайд 6

1). f(x) = 5x + 3 Найти : f(2) f(a) f(a+2) f(a+2) – f(a)

Слайд 7

Приращение функции и аргумента х = х – х о – приращение аргумента  f (х) = f (х) – f (х о )  f (х) = f (х о + х ) – f (х о ) приращение функции – Найдите  f , если f ( х ) = х 2 , х о = 1, ∆ х = 0,5 Решение: f (х о ) = f (1) = 1 2 = 1, f (х о +  х ) = f (1 + 0,5) = f (1,5) = 1,5 2 = 2,25,  f = 2,25 – 1 = 1,25. Ответ:  f = 1,25 изменение

Слайд 8

Calculis differentialis – исчисление разностей

Слайд 9

Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала движения проходит путь s(t). Рассмотрим промежуток времени от t до t+h , где h – малое число. Путь пройденный за это время s( t+h ) – s(t) .

Слайд 10

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, х – точка этого промежутка и число h ≠ 0 такое, что х+ h также принадлежит данному промежутку. Производной функции f(x) в точке х называется: приращение аргумента приращение функции

Слайд 11

Исаак Ньютон (1643 – 1727) «Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад.» Механический смысл производной.

Слайд 12

у = k х + в у(х о ) = k х о + в, у(х о + ∆х) = k ∙ (х о + ∆х) + в = k х о + + k ∆х + в, ∆у = у(х о + ∆х) – у(х о ) = k х о + k ∆х + + в – k х о – в = k ∆х, ( k х + в)′ = k Ответ: = k ∆х = k. ∆ x ∆ x ∆ y

Слайд 13

у = х 2 у(х о ) = х о 2 , у(х о + ∆ х ) = (х о + ∆ х ) 2 = х о 2 + 2 х о ∆ х + (∆ х ) 2 , ∆у = у (х о + ∆ х ) – у(х о ) = х о 2 + 2 х о ∆ х + + (∆ х ) 2 – х о 2 = 2 х о ∆ х + (∆ х ) 2 = ∆ х (2х о + ∆ х ), ∆у ∆х = ∆х (2х о + ∆х) ∆х = 2х о + ∆х → 2х о при ∆х → 0 Ответ: (х 2 ) ′ = 2х

Слайд 14

у = х 3 у(х о ) = у(х о + ∆х) = = ∆у = у(х о + ∆х) – у(х о ) = = х о 3 ∆х(зх о 2 + зх о ∆х + (∆х) 2 ) х о 3 + зх о 2 ∆х + зх о (∆х) 2 + (∆х) 3 ∆у ∆х зх о 2 → (х 3 ) ′ = 3х 2