формулы-подсказки по алгебре.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре на тему
Уже много лет мы сдаем итоговую аттестацию в форме ЕГЭ. При подготовке к экзамену не обойтись без формул по алгебре и геометрии. Данный файл включает в себя все основные формулы, необходимые для работы по подготовке к экзамену.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
formuly_po_algebre.doc | 98 КБ |
Предварительный просмотр:
Все формулы по алгебре и геометрии
Формулы сокр. умножения и разложения на множители :
(a± b)² =a² ± 2ab+b²
(a± b)³ =a³ ± 3a² b+3ab² ± b³
a² -b² =(a+b)(a-b)
a³ ± b³ =(a± b)(a² ∓ab+b² ),
(a+b)³ =a³ +b³ +3ab(a+b)
(a-b)³ =a³ -b³ -3ab(a-b)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a² xn-3+...+an-1)
ax² +bx+c=a(x-x1)(x-x2)
где x1 и x2 — корни уравнения
ax² +bx+c=0
Степени и корни :
ap· ag = ap+g
ap:ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap /bp = (a/b)p
ap⋅ bp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
p√ a =b => bp=a
p√ ap√ b = p√ ab
√ a ; a = 0
Квадратное уравнение
ax² +bx+c=0; (a≠ 0)
x1,2= (-b± √ D)/2a; D=b² -4ac
D>0→ x1≠ x2 ;D=0→ x1=x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x1+x2 = -b/a
x1⋅ x2 = c/a
Приведенное кв. Уравнение:
x² + px+q =0
x1+x2 = -p
x1⋅ x2 = q
Если p=2k (p-четн.)
и x² +2kx+q=0, то x1,2 = -k± √ (k² -q)
Нахождение длинны отр-ка по его координатам
√ ((x2-x1)² -(y2-y1)² )
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0,a≠ 0
a loga x = x, logaa =1; loga 1 = 0
loga x = b; x = ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0,c≠ 1
logbx = (logax)/(logab)
Прогрессии
Арифметическая
an = a1 +d(n-1)
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n
Геометрическая
bn = bn-1 ⋅ q
b2n = bn-1⋅ bn+1
bn = b1⋅ qn-1
Sn = b1 (1- qn)/(1-q)
S= b1/(1-q)
Тригонометрия.
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (π -α ) = sin α
sin (π /2 -α ) = cos α
cos (π /2 -α ) = sin α
cos (α + 2π k) = cos α
sin (α + 2π k) = sin α
tg (α + π k) = tg α
ctg (α + π k) = ctg α
sin² α + cos² α =1
ctg α = cosα / sinα , α ≠ π n, n∈ Z
tgα ⋅ ctgα = 1, α ≠ (π n)/2, n∈ Z
1+tg² α = 1/cos² α , α ≠ π (2n+1)/2
1+ ctg² α =1/sin² α , α ≠ π n
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y ≠ π /2 + π n
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y ≠ π /2 + π n
Формулы двойного аргумента.
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos² α - sin² α = 2 cos² α - 1 =
= 1-2 sin² α
tg 2α = (2 tgα )/ (1-tg² α )
1+ cos α = 2 cos² α /2
1-cosα = 2 sin² α /2
tgα = (2 tg (α /2))/(1-tg² (α /2))
Ф-лы половинного аргумента.
sin² α /2 = (1 - cos α )/2
cos² α /2 = (1 + cosα )/2
tg α /2 = sinα /(1 + cosα ) = (1-cos α )/sin α
α ≠ π + 2π n, n ∈ Z
Ф-лы преобразования суммы в произв.
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
Формулы преобр. произв. в сумму
sin x sin y = ½ (cos (x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = ½ (cos (x-y)+ cos (x+y))
sin x cos y = ½ (sin (x-y)+ sin (x+y))
Соотношение между функциями
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)
cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg² x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)
sin² α = 1/(1+ctg² α ) = tg² α /(1+tg² α )
cos² α = 1/(1+tg² α ) = ctg² α / (1+ctg² α )
ctg2α = (ctg² α -1)/ 2ctgα
sin3α = 3sinα -4sin³ α = 3cos² α sinα -sin³ α
cos3α = 4cos³ α -3 cosα= cos³ α -3cosα sin² α
tg3α = (3tgα -tg³ α )/(1-3tg² α )
ctg3α = (ctg³ α -3ctgα )/(3ctg² α -1)
sin α /2 = ± √ ((1-cosα )/2)
cos α /2 = ± √ ((1+cosα )/2)
tgα /2 = ± √ ((1-cosα )/(1+cosα ))=
sinα /(1+cosα )=(1-cosα )/sinα
ctgα /2 = ± √ ((1+cosα )/(1-cosα ))=
sinα /(1-cosα )= (1+cosα )/sinα
sin(arcsin α ) = α
cos( arccos α ) = α
tg ( arctg α ) = α
ctg ( arcctg α ) = α
arcsin (sinα ) = α ; α ∈ [-π /2 ; π /2]
arccos(cos α ) = α ; α ∈ [0 ; π ]
arctg (tg α ) = α ; α ∈ [-π /2 ; π /2]
arcctg (ctg α ) = α ; α ∈ [ 0 ; π ]
arcsin(sinα )=
1)α - 2π k; α ∈ [-π /2 +2π k;π /2+2π k]
2) (2k+1)π - α ; α ∈ [π /2+2π k;3π /2+2π k]
arccos (cosα ) =
1) α -2π k ; α ∈ [2π k;(2k+1)π ]
2) 2π k-α ; α ∈ [(2k-1)π ; 2π k]
arctg(tgα )= α -π k
α ∈ (-π /2 +π k;π /2+π k)
arcctg(ctgα ) = α -π k
α ∈ (π k; (k+1)π )
arcsinα = -arcsin (-α )= π /2-arccosα =
= arctg α /√ (1-α ² )
arccosα = π -arccos(-α )=π /2-arcsin α =
= arc ctgα /√ (1-α ² )
arctgα =-arctg(-α ) = π /2 -arcctgα =
= arcsin α /√ (1+α ² )
arc ctg α = π -arc cctg(-α ) =
= arc cos α /√ (1-α ² )
arctg α = arc ctg1/α =
= arcsin α /√ (1+α ² )= arccos1/√ (1+α ² )
arcsin α + arccos = π /2
arcctg α + arctgα = π /2
Тригонометрические уравнения
sin x = m ; |m| = 1
x = (-1)n arcsin m + π k, k∈ Z
sin x =1 sin x = 0
x = π /2 + 2π k x = π k
sin x = -1
x = -π /2 + 2 π k
cos x = m; |m| = 1
x = ± arccos m + 2π k
cos x = 1 cos x = 0
x = 2π k x = π /2+π k
cos x = -1
x = π + 2π k
tg x = m
x = arctg m + π k
ctg x = m
x = arcctg m +π k
sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg
cos x/2 = (1-t² )/(1+t² )
Показательные уравнения.
Неравенства: Если af(x)>(<) aа(ч)
1) a>1, то знак не меняеться.
2) a<1, то знак меняется.
Логарифмы : неравенства:
logaf(x) >(<) log a ϕ (x)
1. a>1, то : f(x) >0
ϕ (x)>0
f(x)>ϕ (x)
2. 00
ϕ (x)>0
f(x)<ϕ (x)
3. log f(x) ϕ (x) = a
ОДЗ: ϕ (x) > 0
f(x) >0
f(x ) ≠ 1
Тригонометрия:
1. Разложение на множители:
sin 2x - √ 3 cos x = 0
2sin x cos x -√ 3 cos x = 0
cos x(2 sin x - √ 3) = 0
....
2. Решения заменой ....
3.sin² x - sin 2x + 3 cos² x =2
sin² x - 2 sin x cos x + 3 cos ² x = 2 sin² x + cos² x
Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos x = 0,
а такое невозможно, => можно поделить на cos x
Тригонометрические нер-ва :
sin α ≥ m
2π k+α 1 = α = α 2+ 2π k
2π k+α 2 = α = (α 1+2π )+ 2π k
Пример:
I cos (π /8+x) < √ 3/2
π k+ 5π /6< π /8 +x< 7π /6 + 2π k
2π k+ 17π /24 < x< π /24+2π k;;;;
II sin α = 1/2
2π k +5π /6 = α = 13π /6 + 2π k
cos α ≥ (= ) m
2π k + α 1 < α < α 2+2 π k
2π k+α 2< α < (α 1+2π ) + 2π k
cos α ≥ - √ 2/2
2π k+5π /4 = α = 11π /4 +2π k
tg α ≥ (= ) m
π k+ arctg m = α = arctg m + π k
ctg ≥ (= ) m
π k+arcctg m < α < π +π k
Производная:
(xn)’ = n⋅ xn-1
(ax)’ = ax⋅ ln a
(lg ax )’= 1/(x⋅ ln a)
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(tg x)’ = 1/cos² x
(ctg x)’ = - 1/sin² x
(arcsin x)’ = 1/ √ (1-x² )
(arccos x)’ = - 1/ √ (1-x² )
(arctg x)’ = 1/ √ (1+x² )
(arcctg x)’ = - 1/ √ (1+x² )
Св-ва:
(u ⋅ v)’ = u’⋅ v + u⋅ v’
(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v²
Уравнение касательной к граф.
y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)
уравнение к касательной к графику в точке x
1. Найти производную
2. Угловой коофициент k = производная в данной точке x
3. Подставим X0, f(x0), f ‘ (x0), выразим х
Интегралы :
∫ xn dx = xn+1/(n+1) + c
∫ ax dx = ax/ln a + c
∫ ex dx = ex + c
∫ cos x dx = sin x + cos
∫ sin x dx = - cos x + c
∫ 1/x dx = ln|x| + c
∫ 1/cos² x = tg x + c
∫ 1/sin² x = - ctg x + c
∫ 1/√ (1-x² ) dx = arcsin x +c
∫ 1/√ (1-x² ) dx = - arccos x +c
∫ 1/1+ x² dx = arctg x + c
∫ 1/1+ x² dx = - arcctg x + c
Площадь криволенейной трапеции.
Геометрия
Треугольники
α + β + γ =180
Теорема синусов
a² = b² +c² - 2bc cos α
b² = a² +c² - 2ac cos β
c² = a² + b² - 2ab cos γ
Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит
противопол. сторону напополам.
Биссектриса - угол.
Высота падает на пр. сторону
под прямым углом.
Формула Герона :
p=½ (a+b+c)
S = √ p(p-a)(p-b)(p-c)
S = ½ ab sin α
Sравн.=(a² √ 3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr
Трапеция.
S = (a+b)/2⋅ h
Круг
S= π R²
Sсектора=(π R² α )/360
Стереометрия
Параллепипед
V=Sосн⋅ Р
Прямоугольный
V=abc
Пирамида
V =1/3Sосн.⋅ H
Sполн.= Sбок.+ Sосн.
Усеченная :
H .
V = 3 (S1+S2+√ S1S2)
S1 и S2 — площади осн.
Sполн.=Sбок.+S1+S2
Конус
V=1/3 π R² H
Sбок. =π Rl
Sбок.= π R(R+1)
Усеченный
Sбок.= π l(R1+R2)
V=1/3π H(R12+R1R2+R22)
Призма
V=Sосн.⋅ H
прямая: Sбок.=Pосн.⋅ H
Sполн.=Sбок+2Sосн.
наклонная :
Sбок.=Pпс⋅ a
V = Sпс⋅ a, а -бок. ребро.
Pпс — периметр
Sпс — пл. перпенд. сечения
Цилиндр.
V=π R² H ; Sбок.= 2π RH
Sполн.=2π R(H+R)
Sбок.= 2π RH
Сфера и шар .
V = 4/3 π R³ - шар
S = 4π R³ - сфера
Шаровой сектор
V = 2/3 π R³ H
H - высота сегм.
Шаровой сегмент
V=π H² (R-H/3)
S=2π RH
Табличные данные
град |
|
|
|
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° |
| 180° |
α | -π /2 | -π /3 | -π /4 | -π /6 | 0 | π /6 | π /4 | π /3 | π /2 | 2π /3 | 3π /4 | 3π /6 | π |
sinα | -1 | -√ 3/2 | -√ 2/2 | - ½ | 0 | ½ | √ 2/2 | √ 3/2 | 1 |
|
| - ½ | 0 |
cosα |
|
|
|
| 1 | √ 3/2 | √ 2/2 | ½ | 0 | - ½ | -√ 2/2 | - √ 3/2 | -1 |
tgα | ∉ | -√ 3 | -1 | -1/√ 3 | 0 | 1/√ 3 | 1 | √ 3 | ∈ | -√ 3 | -1 |
| 0 |
ctgα |
|
|
|
| --- | √ 3 | 1 | 1/√ 3 | 0 | -1/√ 3 | -1 |
| -- |
n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
2 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
3 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 |
4 | 16 | 81 | 256 | 625 | 1296 | 2401 | 4096 | 6561 |
5 | 32 | 243 | 1024 | 3125 | 7776 | 16807 | 32768 | 59049 |
6 | 64 | 729 | 4096 | 15625 | 46656 | |||
7 | 128 | 2181 | ||||||
8 | 256 | 6561 |
| -α | π -α | π +α | π /2-α | π /2+α | 3π /2 - α | 3π /2+α |
sin | -sinα | sinα | -sinα | cosα | cosα | -cosα | -cosα |
cos | cosα | -cosα | -cosα | sinα | -sinα | -sinα | sinα |
tg | -tgα | -tgα | tgα | ctgα | -ctgα | ctgα | -ctgα |
ctg | -ctgα | -ctgα | ctgα | tgα | -tgα | tgα | -tgα |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация к урокам алгебры. "Итоговое повторение курса алгебры за 8 класс"
На последних уроках в конце учебного года, как правило, рассматриваются вопросы повторения тем, изученных в течении года. Цель ресурса – повторить материал прошедшего учебного года. Презентация предпо...
Презентация к уроку алгебры. "Повторение курса алгебры за 7 класс"
Цель ресурса – повторить материал изученный в течении учебного года. Презентация предполагает фронтальную работу в классе плюс решение одного и того же примера выполняют два ученика. Бывае...
Открытый урок по алгебре в 7 классе «А» тема: «Уравнения с одной переменной». Открытый урок по алгебре в 7 классе «А» тема: «Уравнения с одной переменной».
Открытый урок по алгебре в 7 классе «А»тема: «Уравнения с одной переменной».презентация по данной теме...
Рабочая программа по алгебре к учебнику Муравин Г.К., Муравин К.С., Муравина О.В. Алгебра. 7 кл
Рабочая программа...
Рабочая программа по алгебре 8-9 классы (базовый уровень) к УМК Алгебра 8. Алгебра 9. Макарычев Ю. Н., Миндюк Н.Г. и др
Содержание рабочей программы: Пояснительная записка. Содержание курса. Тематический план. Ожидаемые результаты. Календарно-тематическое планирование. Рабочая программа составлена на основе: - Феде...
Аннотация к рабочей программе по математике (алгебре и началам анализа), 11 класс , профильный уровень; рабочая программа по алгебре и началам анализа профильного уровня 11 класс и рабочая программа по алгебре и началам анализа базового уровня 11 класс
Аннотация к рабочей программе по МАТЕМАТИКЕ (алгебре и началам анализа) Класс: 11 .Уровень изучения учебного материала: профильный.Программа по алгебре и началам анализа для 11 класса составлена на ос...
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПО ПРЕДМЕТУ «Алгебра» 10 класс(Изучение алгебры и начал анализа проводится по учебникам «Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы», базовый уровень, Алимов А.Ш, Колягин Ю.М. и др.: Просвещение, 2017)
Данная рабочая программа учебного курса 10 класса разработана на основе примерной программы среднего (полного) общего образования по математике в соответствии с федеральным компонентом государст...