Урок: Сумма n первых членов геометрической прогрессии
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ГИМНАЗИЯ №5 г. КЫЗЫЛА

Тема: Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Разработала: учитель математики

                                            Маспык-оол Елена Дум-ооловна

Кызыл – 2012г

Тип урока : урок изучения новой темы

Метод: проблемная ситуация

Оборудование урока: компьютер; оценочный лист; информационная карточка; шахматная доска; карточки индивидуальные; таблица (nN).

Цели урока:

• вывести формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии; учить учащихся применять формулу для нахождения суммы п первых членов геометрической прогрессии;
• способствовать воспитанию у учащихся внимания и аккуратности в применении формулы; вызвать интерес к изучению новой темы;
• способствовать формированию и развитию у учащихся логичных рассуждений и речи.

Ход урока

I.Организационный момент.

Постановка целей урока перед учащимися.

Сегодня, мы изучим и  закрепим тему «Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии». На данном уроке перед вами ставятся задачи:

1) показать, как вы знаете  формулы арифметической прогрессии и умеете их применять  при решении различных задач;

2) показать, как вы усвоили новую тему и показываете применение новой формулы при решении задач.

II. Актуализация знаний

1. Повторение темы «Арифметическая прогрессия».

(фронтальная устная работа по таблице)

2. Проверка домашней работы:

Задание 1. Найдите x при котором числа  x+1, 4 x-1, x 2+3 составляют арифметическую прогрессию.

Задание 2. (№404) Найдите сумму пятидесяти первых членов а. п. первый член которой равен -45,6, а пятнадцатый член равен 2.

(Два ученика  вызываются к доске и проделывают всю работу на доске до начала урока)

3. (ГИА). №1. Какому из чисел равно произведение 0,20,000020,000002 ?

1. 2     2) 8       3) 2         4) 8     Отв: 4)

III. Изучение новой темы

Сегодня мы с вами изучаем новую тему.  Сначала поработаем устно, и назовем нашу новую тему.

Итак, начнем фронтальную работу.

Метод: вопросответ

(Вызывается к компьютеру один учащийся, читает каждое задание  и вписывает устные ответы учащихся в два столбика, а остальные проговаривая вписывают ответы карандашом в свои индивидуальные карточки)

 Учащимся предлагаются  задачи, при решении которой возникает необходимость вводе новой формулы.

Задачи:

Возникает необходимость найти для геометрической прогрессии

Итак, ребята, новая тема наша прямо так и называется…

IV. Изучение нового материала.

Тема не простая, имеет большое историческое значение и практические уходящие в Древнюю Индию…

Первый ученик. Задача №1. (Слайд). Первые представления об арифметической и геометрической прогрессиях были еще у древних народов. В Вавилонских табличках, египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания как их решать. Я вам рассказываю историю о награде изобретателя шахматной игры: «По преданию, индийский принц Сирам, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, привал к себе ее изобретателя, ученого Сету, и сказал ему: «Я желаю достойно наградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я  достаточно богат, что исполнить любое твое желание».  Сета  попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в 2 раза больше, т. е. 2 зерна, на третью еще в 2 раза больше, т. е. 4 зерна, и т. д. до 64-й клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?

Возникает необходимость найти , где =1,  q=2,   n=64.

1; 2; 4; 8; 16; 32; 64;…

=1+2+4+8+16+32+64+…

Учащиеся составили последовательность, которая является геометрической прогрессией, и пытаются найти сумму, и поняли, что это очень сложно и громоздко…

Возникает проблема!

Учитель предлагает еще одну задачу.

  Второй ученик. Задача №2, содержащая такую жизненную ситуацию (Легенда о шахматах) (Слайд)

Задача. Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100000 р. А ты мне в первый день за 100 000 р. Дашь 1 коп., во второй день за 100 000 р. – 2 коп. и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем». Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3000 000 р. На  следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку. Создается проблемная ситуация. Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?

 Учащиеся определяют, что так, как предыдущее число денег увеличивают в два раза, то мы имеем дело с геометрической прогрессией, у которой  =1, q=2, n=30:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,…

=1+2+4+8+16+32+64+128+…

Учащиеся снова поняли, что ситуация такая же и обращаются к учителю с вопросом: «А может тут нужна будет  формула, как и в случае арифметической прогрессии?».

Учитель: Да, молодцы!

Далее под руководством учителя учащиеся выводят формулу  для геометрической прогрессии ():

    b1; b2; b3; b4;…bn (1).

   Умножим обе части этого равенства на q:

S n q=b1q+b2q+b3q+…+bnq

Учитывая, что

b1q=b2, b2q=b3,….bn-1q=bn, получим:

Snq=b2+b3+b4+….bn-1q (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:

Snq- S n=( b2+b3+b4+….bn-1q)- (b1; b2; b3; b4;…bn)= bnq- b1

S n(q-1)= bnq- b1

S n=;  q1

   При решении многих задач удобно пользоваться формулой, записанной в другом виде:

S n== = = S n=, если q1.

   Вернемся к IIIэтапу урока, найдем

S 100=

S n =;    

Завершение задачи сделки.

S 30==1073741823коп=10737418 руб 23 коп.

-Кто в сделке проиграл?

-Купец.

Запомни:

Vэтап. Осознание и осмысление вывода формулы, и ее применение.

У кого есть вопросы по новому материалу. А теперь применение формулы при решении задач.

Диагностика первоначального усвоения. 

№ 409(а)

() – геометрическая прогрессия

.=3,   = -6. Найти: =?

Решение: S n= ,   q==-2,   S 6===-63.

№409(в)

() – геометрическая прогрессия

.=-32,   = -16. Найти: =?

Решение: S n= ,   q== =        S 6=64( - 10= - 63.

Пример 1. Вернемся к задаче из III этапа урока ( Вызывается к доске один ученик и решает с классом)

Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии  3; 6; 12; 24;….

Найдите =?

S n =,    q===2

S 10= =  = 3 ( 2 10 – 1)=31024-1)=31023=3069.

Пример 2 (Парная работа). Выполняет задание сильный ученик на обратной стороне доски , проверка.

-32; -16; …S 6 =?

S n =

q=  =

S 6 = = ===64(-)=-63.

Пример 3. Работа с учебником.( Разобрать пример 9 на стр 165).

VI  этап. Самостоятельная работа. (Слайд)

Заданы 3 задания разного уровня (дифф. задания). Дети выбирают задание и выполняют.

1-е задание на оценку «3».

Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии: 3; 6;…, если =3, q=2, =?

Решение:

=; =189.

2-е задание на оценку «4».

Первый член геометрической прогрессии ) равен -2, а знаменатель 3. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии.

Решение: =-2, q=3, =?

=;     =-728.

3-е задание на оценку «5».

  Дана геометрическая прогрессия . Известно, что =2, q=3,n=5.

 Найти: a) сумму членов прогрессии; б) сумму квадратов ее членов.

Решение:

=;     =242;

б) ==29524,5

Взаимопроверка. (Слайд)

VII этап. Итог урока

Домашнее задание

Цель: Обеспечение понимания домашнего задания

1.   п. 18 – повторить, п. 19 – изучить; №410, 242, стр 106;
2. Пример 9 на стр 165 (задачу разобрали устно на уроке)

VIII этап. Рефлексия

Цель: заключительная беседа

Учащиеся высказывают свое мнение к поставленным вопросам по теме урока:

1. Урок понравился тебе?
2. Хорошо ли ты запомнил формулу суммы п первых членов геометрической прогрессии?
3. Применение формулы?
4. Ваше настроение?

Литература:

1. Алгебра. 9 класс, В 2ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 12-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2010.- 224 с. : ил.

ISBN 978-5-346-01420-1

2. «Математика в школе», июнь 1988г.;
3. «Живая математика». Я. И. Перельман