НАХОЖДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

Урок НАХОЖДЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ

Цели: выявить особенности использования комбинаторики для подсчета вероятности события; изучить теоремы суммы и произведения вероятности события; рассмотреть теорему Бернулли и её применение для расчета вероятности; рассмотреть понятие геометрической вероятности

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Самостоятельная работа.

Вариант 1

1. Решите уравнение  = 21.

2. Найдите сумму .

Вариант 2

1. Решите уравнение  = 28.

2. Найдите сумму .

III. Объяснение нового материала.

1. Рассматриваем примеры со с. 332–333 учебника. В первом отрабатывается умение применять формулу P (А) + P () = 1, во втором – формулы Р (А + В) = Р (А) + Р (В) и Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С) для попарно несовместных событий.

2. При изучении п. 2 следует обратить внимание на обоснование формулы Р (А + В) + Р (АВ) = Р (А) + Р (В) вероятности суммы двух произвольных событий.

3. Рассматриваем  пример  5  со с. 338 учебника. Затем формулируем теорему  Бернулли  о  вычислении  вероятности  наступления  k  успехов при п независимых повторениях одного и того же испытания с двумя исходами.

На примере 6 со с. 339 учебника  демонстрируем применение теоремы Бернулли при решении конкретных задач.

4. Рассматриваем вероятностную модель с бесконечным числом исходов, для которой классическое определение вероятности неприменимо. Вычисление состоит в нахождении частного , где А – фиксированная часть фигуры х.

Примеры 7 и 8 со с. 341–342 учебника достаточно просты и напоминают материал, изученный в 9 классе.

IV. Формирование умений и навыков.

Так как материал носит факультативный характер, учитель самостоятельно отбирает упражнения для решения в классе.

Рассмотрим решения некоторых из них.

п. 1. Использование комбинаторики для подсчета вероятностей.

№ 54.4.

Решение:

При случайном выборе 6 чисел из 49 возможны  исходов, то есть  наборов по 6 чисел из 49. Поэтому N = .

а) Ни одно из чисел на вашей карточке не совпало с выигрышными числами, если 6 чисел на карточке оказались среди 49 – 6 = 43 невыигрышных чисел. Количество таких исходов равно , то есть количеству наборов по 6 чисел из 43.

Поэтому N (A) =  и Р (А) =
=  ≈ 0,436.

В процентах получается 43,6 %.

б) Единственное выигрышное число можно выбрать из 6 выигрышных шестью способами, а 5 невыигрышных чисел можно выбрать из 43 невыигрышных чисел  способами.

По правилу умножения N (B) = 6 · .

Поэтому Р (B) =
=  · Р (А) ≈ 0,413.

В процентах получается 41,3 %.

в) Два выигрышных числа можно выбрать из 6 выигрышных  способами, а 4 невыигрышных числа можно выбрать из 43 невыигрышных чисел  способами. По правилу умножения N (C) =  · .

Поэтому Р (C) =
=  · Р (B) ≈ 0,132.

В процентах получается 13,2 %.

г) Аналогично пунктам б) и в) получаем

Р (D) =
=  · Р (C) ≈ 0,0176.

В процентах получается 1,77 %.

п. 2. Произведение событий. Вероятность суммы двух событий. Независимость событий.

№ 54.8.

Решение:

а) Р (A + B) = Р (A) + Р (B) – Р (A) Р (B) = 0,5 + 0,5 – 0,5 · 0,5 =
= 1 – 0,25 = 0,75;

б) Р (A + B) = 0,9 + 0,1 – 0,9 · 0,1 = 1 – 0,09 = 0,91;

в) Р (A + B) = 0,9 + 0,9 – 0,9 · 0,9 = 1,8 – 0,81 = 0,99;

г) Р (A + B) = 0,99 + 0,01 – 0,99 · 0,01 = 1 – 0,0099 = 0,9911.

п. 3. Независимые повторения испытаний. Теорема Бернулли и статистическая устойчивость.

№ 54.11.

Решение:

Речь идет о четырех независимых повторениях одного и того же испытания: ответа на один из 20 вопросов. При этом вероятность р «успеха» равна  = 0,25, так как каждый из приятелей знает ровно 5 из 20 возможных вопросов. Итак, мы имеем дело со схемой Бернулли, в которой п = 4, р = 0,25, q = 0,75.

а) В этом пункте все 4 раза произошел «успех», то есть k = 4. По формуле Бернулли Pn (k) =  · pk · qn – k получаем P4 (4) =  · p4 · q4 – 4 =
= 0,254 ≈ 0,004.

б) Тут все четыре раза произошла «неудача», то есть k = 0. По формуле Бернулли Pn (k) =  · pk · qn – k получаем P4 (0) =  · p0 · q4 = 0,754 ≈
≈ 0,316.

в) Тут  три  раза  произошла  «неудача»  и  был  один  «успех»,  то есть k = 1. По формуле Бернулли Pn (k) =  · pk · qn – k получаем

P4 (1) =  · p3 · q4 – 3 = 4 · 0,253 · 0,75 = 0,252 · 0,75 ≈ 0,047.

г) Здесь k = 1, k = 2, k = 3 или k = 4. другими словами k ≠ 0. Значит, вероятность равна 1 – P4 (0) ≈ 0,684.

п. 4. Геометрическая вероятность.

№ 54.15.

Решение:

AB =  = 10.

R =  = 5.

SΔABC =  · 6 · 8 = 24.

а) P =  ≈ 0,305577 ≈ 0,306.

б) Радиус r вписанной окружности равен  = 2. Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Значит, вероятность равна  = 0,16.

в) Здесь  надо  найти  вероятность  события,  которое  противоположно  событию  из  пункта  а).  Поэтому  искомая  вероятность  равна  примерно 0,7.

г)  ≈ 0,146.

V. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Для праздника «Последний звонок» купили упаковку, в которой 10 красных, 15 синих, 12 желтых и 18 зеленых шаров. Из упаковки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется красным или желтым?

2. Точка выбрана случайным образом из фигуры, ограниченной параболой y = 4 – x2 и осью абсцисс. Какова вероятность того, что она лежит выше прямой у = 3?

Вариант 2

1. На выпускной вечер купили розы: 20 красных, 15 розовых, 25 белых и 10 желтых. Каждому выпускнику наугад доставали и дарили одну розу. Какова вероятность того, что последняя роза окажется желтой или красной?

2. Точка выбрана случайным образом из фигуры, ограниченной параболой y = 4 – x2 и осью абсцисс. Какова вероятность того, что она лежит выше прямых х = –1 и х = 1?

Вариант 3

1. В одной коробке лежат 12 шаров, три из которых – золотые, в другой коробке лежат 15 шаров, из которых шесть – золотые. Наугад из каждой коробки вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба вынутых шара окажутся золотыми?

2. Точка выбрана случайным образом из фигуры, ограниченной параболой y = 4 – x2 и осью абсцисс. Какова вероятность того, что она лежит ниже прямой у = х + 2?

Вариант 4

1. В одном мешке находятся 4 красных и 5 белых шаров, в другом – 6 красных и 3 белых шара. Из каждого мешка наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

2. Точка выбрана случайным образом из фигуры, ограниченной параболой y = 4 – x2 и осью абсцисс. Какова вероятность того, что она лежит выше прямой у = х + 2?

VI. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какие события называются попарно несовместными?

– Какое событие называют произведением событий? Суммой событий?

– Сформулируйте теоремы о вероятности суммы двух событий.

– Сформулируйте теорему Бернулли. Приведите пример.

– Дайте определение геометрической вероятности. Приведите пример.

Домашнее задание:  повторить  § 50–54;  № 54.3,  № 54.6,  № 54.10, № 54.14, № 54.19.