Урок "Степенные функции, их свойства и графики.
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Открытый урок: Степенные функции, их свойства и графики.  (А-11)

Тип урока:            урок усвоение новых знаний.

Форма урока:       работа в группах.

Цели урока:        1. Сформировать понятие степенных функций.

                        2. Уметь строить и читать графики степенных функций.

                        3. Развитие речи учащихся, обогащение их словарного запаса.

                        4. Развитие логики мышления учащихся.

                        5. Формирование умения работать в коллективе.                                        

 Конспект урока.   

I.   Актуализация знаний.              

     Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением.

       А. Дистервег.

          Как сказал А. Дистервег, человек только сам, только своими усилиями может получить необходимые ему знания. Вот и мы сегодня собственной деятельностью, собственными усилиями будем добывать знания, которые пригодятся нам для восприятия будущего материала и, как программа минимум, помогут вам сдать выпускные экзамены и поступить в ВУЗы.

        Тема сегодняшнего нашего урока Степенные функции, их свойства и графики.

Добывать новые знания мы с вами будем коллективно, помогая друг другу разобраться в том потоке материала, в который мы с вами окунемся. Сегодня мы с вами работаем в группах.

II.   Усвоение новых понятий.              

        Для начала давайте разберемся в том, что собой представляют степенные функции. С каким уже известным нам понятиям связано понятие «степенная» функция? ( С понятием степени). Да, но раз это функция, значит, она должна представлять собой связь двух переменных. Что это за переменные? (Зависимая – функция и независимая - аргумент). Т.е. это зависимость вида у = f(x), где у это…(функция), х это…(аргумент). А теперь давайте вспомним, как записывается степень числа. (аr ). Так, где же должна находиться независимая переменная: в основании степени или в ее показателе? (В основании степени). Верно. Значит, функция какого вида называется степенной? ( Функция вида у = хr). Каким числом может быть показатель степени? (Любым действительным).

Определение. Степенной функцией называется функция вида у = хr, где r- любое действительное число.                

Множество действительных чисел включает в себя рациональные и иррациональные числа. Мы же с вами пока ограничимся изучением степени с рациональным показателем. Итак, основная цель нашего урока: Добиться четкого представления того, как выглядят графики степенных функций у = хr  для любого рационального значения r, умения по графикам функций определять их свойства и использовать эти свойства при выполнении практических заданий. (Прикрепить на доску)

I. Виды функций и их графики.

        Для достижения нашей цели давайте классифицируем графики функций у = хr в зависимости от r. Но сначала надо вспомнить, какие из них мы уже изучали (я просила вас сделать это дома).

(На доске делается краткая запись ответов учащихся, и вывешиваются изображения графиков называемых функций).

1). r = 0, т.е. у = х0 (у = 1). Графиком функции является прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку (0; 1).

2). r = 1, т.е. у = х. Графиком является биссектриса I и III координатных углов.

3). r = 2, т.е. у = х2. Графиком является парабола.

4). r = 3, т.е. у = х3. Графиком является кубическая парабола.

5). r = -1, т.е. у = х-1 (у = ). Графиком является гипербола.

6). r = , т.е. у = . Графики функций с четным показателем похожи на ветвь параболы, ориентированной вправо; графики функций с нечетным показателем похожи на кубическую параболу, расположенную вдоль оси абсцисс.

1. Работа в группах.

        На доске и на столах у каждой группы схемы различных графиков степенных функций. Каждая группа должна объединить эти рисунки в определенные группы по сходственным признакам. Затем, представители от каждой группы выходят к доске и объединяют в такие же группы эскизы, расположенные на доске, и объясняют, почему они таким образом объединили рисунки. Сделайте вывод ( на обратной стороне доски):

1). Каков вид показателей степени функций, входящих в эту группу.

2). На какую линию похожи графики функций, входящих в эту группу.

(На доске размещены эскизы графиков, которые надо объединить в следующие группы:

1).r N, r = 2k (r > 2)  (у = х4,  у = х6,  у = х8) – график похож на параболу.

2).r N, r = 2k + 1 (r > 3)  (у = х5,  у = х7,  у = х9) – график похож на кубическую параболу.

3).r Z, r = 2k + 1 (r < 0)  (у = ,  у = ,  у = ) – график похож на гиперболу.

4).r Z, r = 2k (r < 0)  (у = ,  у = ,  у = ) – график похож на ветви гиперболы, расположенные симметрично оси ординат.

5).r = , r > 1 ( у = х, у = х, у = х) – график похож на ветвь параболы, ориентированной вверх.

6).r = , 0 < r < 1 (у = х, у = х, у = х) – график похож на ветвь параболы, ориентированной вправо.

7). r = , r < 0 (у = х, у = х, у = х) – график похож на одну ветвь гиперболы.)

2.После выполнения задания на месте по два человека от группы (поочередно) выходят к доске и собирают по одной группе каждый из эскизов, размещенных на доске, и садятся на место.

        После окончания заданной работы, ученики делают с места необходимый вывод, а учитель на доске под каждой группой вывешивает лист с обобщенным видом показателя степени данных функций и схемой графиков данной группы функций. Учащиеся записывают в тетрадь те выводы, которые учитель повесил на доске        

Вопрос: Что общего можно заметить в графиках этих функций?        (Графики всех функций проходят через точку (1; 1).)

        Теперь разберемся со свойствами этих функций. Вспомним, какие свойства функций мы рассматриваем? ( Ученики называют свойство, учитель вывешивает на доску листок с записанным на нем свойством).

        Свойства функций.

1. Область определения функции.

2. Область значения функции.

3. Периодичность.

4. Четность.

5. Ограниченность.

6. Наибольшее и наименьшее значения функции.

7. Непрерывность.

8. Наличие асимптот.

9. Монотонность.

10.Выпуклость.

        Свойства степенных функций для r Z нам знакомы. Давайте выведем свойства функций для r = (графики вида 5, 6, 7).

3.Работа в группах. (1 группа – для  вида 5, 2 группа – для вида 6, 3 группа – для вида 7)

        Каждая группа обсуждает данное задание, озвучивает его. Другие группы делают замечания и исправляют ошибки.

        Итак, с какими функциями мы сегодня познакомились? Что мы о них узнали?

Теперь мы закрепим полученные знания.

III.   Формирование умений и навыков.

Устно.

№1246, 1247. (Каждая группа обсуждает, к какому виду относится данная функция; какой вид имеет график каждой из данных функций. Ответ дает каждая группа по очереди.)

4.Работа в группах.

I.         №1254(а), 1258(в), 1260(в).

II.        №1255(а), 1258(б), 1260(г).

III.         №1256(б), 1258(г), 1260(б).

№№1254 – 1256: Какого вида функция, ее монотонность, в какой точке данного промежутка находится наименьшее и наибольшее значение функции? Как их найти?

№1260: Как решить графически уравнение? Что является его решением?

№1261: Как решить графически систему уравнений? Что является ее решением?

По одному представителю от группы выходят к доске и объясняют решение задания.

Итак, давайте выясним, кто усвоил сегодняшний материал? Проверим это.

IV.   Проверка степени усвоения полученных знаний.

Проверочная работа.

 На все вопросы ответить «да» или «нет». (На доске висят только схемы графиков.)

Ответы:  

Вариант I

1.  нет.      2.  да.     3.  нет.    4.   да.   5.  нет.      6.    да.

Вариант II

1.  да.      2.  нет.     3.  нет.    4.   да.   5.  нет.      6.    да.

Оценки:

«5» - 6 правильных ответов.

«4» - 5 правильных ответов.

«3» - 4 правильных ответа.

«2» - 3 правильных ответа и менее.

«5» - 6правильных ответов.

V.   Домашнее задание.

         §44, №№1249(а;б), 1250(а;в), 1255, 1260(а), 1261(а).