Занятие математической школы Пифагореец по теме : Тождественные выражения 8 класс
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему
Предварительный просмотр:
8-е занятие.
Тема занятия: «Тождественные преобразования», 8 класс. ( 1час 50 мин.)
Лазарян Е.С, Алекаева Н.А,
Теория.
- Тождественное преобразование выражения – это замена исходного выражения на выражение, тождественно равное ему.
Часто в этом словосочетании слово «тождественное» опускается, и говорят просто «преобразование выражения», при этом подразумевают, что речь идет именно о тождественном преобразовании. Приведем пару простых примеров для пояснения сформулированного определения. Например, выражение x+3−2 можно заменить тождественно равным ему выражением x+1, эта замена есть тождественное преобразование выражения x+3−2. Еще пример: замена выражения выражением
также является тождественным преобразованием. А вот переход от выражения x к выражению x2 не является тождественным преобразованием, так как выражения x и x2 не являются тождественно равными.
- Основные тождественные преобразования.
Существует ряд наиболее часто используемых тождественных преобразований, которые проводятся с выражениями различных видов. Их, с Вашего позволения, мы назовем основными.
а) Перестановка местами слагаемых, множителей.
б) Раскрытие скобок.
в) Группировка слагаемых, множителей.
г) Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно.
д) Выполнение действий с числами
е) Вынесение за скобки общего множителя.
ж) Приведение подобных слагаемых.
з) Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями.
и) Прибавление и вычитание одного и того же числа.
3. Одно из самых главных тождественных преобразований выражения заключается в выполнении действий с числами. В результате выполнения действий с числами исходное выражение преобразуется в тождественно равное ему выражение.
Рассмотрим задачи на вычисление значений выражений.
Пример №1:
Вычислите произведение:
(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1).
Решение: Заметим, что значение первой скобки (2 + 1)=3, если умножить первую скобку на выражение (2-1), то получится формула сокращенного умножения разность квадратов и значение будет равно 3. Итак, умножим наше выражение на (2 – 1) и применим формулу разности квадратов 6 раз. Получим:
(2 -1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (28 – 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) = (216 – 1)(216 + 1)(232 + 1) = (232 – 1)(232 + 1) = (264 – 1).
Ответ: (264 – 1).
Пример №2:
Вычислите произведение:
Р = .
Решение:
Упростим это выражение:
Р = =
.
Полученное произведение можно сократить на 2 • З2 • 42 • 52 (n — 1)2 • n.
После этого будем иметь: Р = .
Ответ: Р = .
Пример №3:
Упростите сумму:
1 • 1! + 2 • 2! + 3 • 3! + ... + n• n!
Решение: Вспомним, что такое факториал.
Факториал числа – это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал (!).
Например: 3! = 1
6! =
Запомни факториал 0 и 1 равен 1 (0!=1 и 1!=1).
Итак, прибавим к данной сумме 1 и используем тождество K!+KK! = (K+1)!, а затем вычтем 1.
Получим: 1+1
Вычитая 1 получим: (n+1)! – 1.
Ответ: (n+1)! – 1.
Пример №4:
Вычислите сумму:
S = .
Решение:
Воспользуемся тождеством . Получим:
.
Ответ:
Пример №5:
Вычислите сумму: S= .
Решение:
Приведем сумму к общему знаменателю (a-b)(b-c)(c-a):
S=
Ответ: 0.
Пример №6:
Вычислите сумму: .
Решение:
Приведем сумму к общему знаменателю (a-b)(b-c)(c-a):
Ответ: 0.
Пример №7:
Вычислите сумму: .
Решение:
Заметим, что данное выражение имеет смысл при a≠b, a. Будем проводить преобразования для таких значений переменных. Приведя все дроби к наименьшему общему знаменателю, получим:
Заметив, что b-c=(a-c)-(a-b) , преобразуем числитель следующим образом:
a2(b-c) – b2(a-c)+c2(a-b)=a2(a-c) – a2(a-b) – b2(a-c)+c2(a-b) =(a-c)(a-b)(a+b-c-a) =
(a-b)(b-c)(a-c).
Таким образом, получили: =1
Ответ: 1.
Пример №8:
Вычислите сумму: 1 + 11 + 111 + … + 111...1 (n слагаемых).
Решение: Заметим, что 1=(10-1)/9, 11=(100-1)/9, 111=(1000-1)/9,...11...1(n единиц) =(10n-1)/9,
Тогда искомая сумма S = 1/9(10+100+1000+...+10n - n) = 1/9(Sn - n), где Sn - сумма геометрической прогрессии, b1=10, q=10.
Sn = (10n+1-10)/9
S = 1/81 ( 10n+1-9n-10)
Ответ: 1/81 ( 10n+1-9n-10)
Пример №9:
Вычислите сумму: S=1-2 + 3-4 + - + (-l)n+1∙n.
Решение: Очевидно, ответ зависит от четности или нечетности n. Поэтому
рассмотрим два случая.
- Пусть n четно. Тогда:
S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + - + (n - 1) - n) = -1 - 1 - ...- 1 = -.
2) Пусть n нечетно. Будем иметь:
S = (1 - 2 + 3 - 4 + …- (n - 1)) + n= .
Ответ: если n четно, то S = -n/2; если n нечетно, то S = (n + 1)/2.
Подумайте: нельзя ли два полученных выражения для S объединить в
одной формуле?
Малая олимпиада
Задача №1.
Вычислите произведение:
Решение: Умножим и разделим данное произведение на .
Получим:
1.
2. .
Ответ: .
Задача №2.
Вычислите сумму:
Решение:
Ответ: 0
Заочная олимпиада
Задача №1.
Вычислите сумму: 220- 219-218 -…- 2-1=
Решение: Воспользуемся тождеством
220- 219-218 -…- 2-1= .
Ответ: 1.
Задача №2.
Вычислите сумму:
Решение: ОДЗ данного выражения является множество {(a,b,c) | a ≠ b, a ≠ c, b ≠ c}. Приводя выражение к общему знаменателю, получим:
Учитывая вид знаменателя, разложим на множители числитель:
a3(c - b) + b3(a - c) + c3(b - a) = c(a3 - b3) + ab(b2 - a2) + c3(b - a) = |
= (a - b)(c(a2 + ab + b2) - ab(a + b) - c3) = (a - b)(c(a2 - c2) + ab(c - a) + b2(c - a)) = |
= (b - c)(a - b)(-a2b - a2c + c2(a + b)) = (a - b)(b - c)(b(c2 - a2) + ac(c - a)) = |
= (a - b)(b - c)(c - a)(ab + bc + ca). |
Следовательно, на ОДЗ исходное выражение тождественно равно ab + bc + ca.
Задача №3.
Вычислите сумму: .
.
Решение: Прибавьте и вычтите .
.
Теперь вычтем .
=
.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. М.И. Калинин
Основные тождественные преобразования. Перестановка местами слагаемых, множителей. Раскрытие скобок. Группировка слагаемых, множителей. Замена разностей суммами, частных произведениями и обратно. Выполнение действий с числами Вынесение за скобки общего множителя. Приведение подобных слагаемых. Замена чисел и выражений тождественно равными им выражениями. Прибавление и вычитание одного и того же числа.
Рассмотрим задачи на вычисление значений выражений . Пример №1: Вычислите произведение: ( 2 + 1)(2 2 + 1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1)(2 32 + 1). Решение: Заметим, что значение первой скобки (2 + 1)=3 , если умножить первую скобку на выражение (2-1) , то получится формула сокращенного умножения разность квадратов и значение будет равно 3 . Итак, умножим наше выражение на (2 – 1) и применим формулу разности квадратов 6 раз. Получим:
(2 -1)(2 + 1)(2 2 + 1)(2 4 + 1)(2 8 + 1) (2 16 + 1)(2 32 + 1) = (2 2 – 1)(2 2 + 1)(2 4 + 1) (2 8 + 1)(2 16 + 1)(2 32 + 1) = (2 4 – 1)(2 4 + 1) (2 8 + 1)(2 16 + 1)(2 32 + 1) = (2 8 – 1)(2 8 + 1) (2 16 + 1)(2 32 + 1) = (2 16 – 1)(2 16 + 1)(2 32 + 1) = (2 32 – 1)(2 32 + 1) = (2 64 – 1). Ответ: (2 64 – 1).
Пример №2: Вычислите произведение : Р = Решение: Упростим это выражение : Р = =
Полученное произведение можно сократить на 2 • З 2 • 4 2 • 5 2 ( n — 1) 2 • n . После этого будем иметь: Р = Ответ:
Пример №3: Упростите сумму: 1 • 1! + 2 • 2! + 3 • 3! + ... + n • n ! Решение: Вспомним, что такое факториал. Факториал числа – это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число). Обозначается факториал (!). Например: 3! = 1∙ 2∙3=6 6! = 1∙2∙3∙4∙5∙6=720 Запомни факториал 0 и 1 равен 1 (0!=1 и 1!=1).
Итак, прибавим к данной сумме 1 и используем тождество K !+ KK ! = ( K +1)!, а затем вычтем 1 . Получим: 1 +1∙1!+2∙2!+3∙3!+…+ n∙n ! = (1+1)!+2∙2!+3∙3!+…+ n∙n ! = 2!+2∙2!+3∙3!+…+ n∙n ! = (2+1)!+3∙3!+…+ n∙n != 3!+3∙3!+…+ n∙n != (1+3)!+…+ n∙n != 4!+…+ n∙n !=(n+1)! Вычитая 1 получим: ( n +1)! – 1. Ответ: ( n +1)! – 1.
Пример №4: Вычислите сумму: S = . Решение: Воспользуемся тождеством Получим: Ответ:
Пример №5: Вычислите сумму: S = Решение : Приведем сумму к общему знаменателю (a-b)(b-c)(c-a): S= = Ответ: 0.
Пример №6: Вычислите сумму : Решение: Приведем сумму к общему знаменателю ( a-b )( b-c )( c-a ): Ответ: 0.
Пример №7: Вычислите сумму : Решение: Заметим , что данное выражение имеет смысл при a ≠ b , a≠ с, b≠c . Будем проводить преобразования для таких значений переменных. Приведя все дроби к наименьшему общему знаменателю, получим:
Заметив , что b - c =( a - c )-( a - b ) , преобразуем числитель следующим образом: a 2 (b-c ) – b 2 (a-c)+c 2 (a-b)=a 2 (a-c) – a 2 (a-b) – b 2 (a-c)+c 2 (a-b) =(a-c)(a-b)( a+b -c-a) = ( a - b )( b - c )( a - c ). Таким образом, получили : = 1 Ответ: 1.
Пример №8: Вычислите сумму: 1 + 11 + 111 + … + 111...1 ( n слагаемых ). Решение : Заметим , что 1=(10-1)/9, 11=(100-1)/9, 111 = ( 1000-1)/9,...11...1( n единиц) =(10 n -1)/9, Тогда искомая сумма S = 1/9(10+100+1000+...+10 n - n ) = 1/9( Sn - n ), где Sn - сумма геометрической прогрессии, b1=10, q=10. Sn = (10 n +1 -10)/9 S = 1/81 ( 10 n +1 -9 n -10) Ответ: 1/81 ( 10 n +1 -9 n -10)
Пример №9: Вычислите сумму: S =1-2 + 3-4 + - + (- l ) n +1 ∙ n . Решение : Очевидно , ответ зависит от четности или нечетности n . Поэтому рассмотрим два случая. Пусть n четно. Тогда : S = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + - + (n - 1) - n) = -1 - 1 - ...- 1 = -
2) Пусть n нечетно . Будем иметь : S = (1 - 2 + 3 - 4 + …- ( n - 1)) + n = Ответ : если n четно, то S = - n /2; если n нечетно, то S = ( n + 1)/2. Подумайте : нельзя ли два полученных выражения для S объединить в одной формуле ?
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Рабочая программа занятий предметной школы по химии для учащихся 10 классов
Занятия предметной школы «Решение задач по химии повышенного уровня сложности» предназначены для учащихся 10-го класса. Они рассчитаны на 35 часов, по 1 ч в неделю, и носят предметно-ориентированный х...
Занятие математической школы Пифагореец по теме: Делители и остатки. Лекция №1 и №2
Продолжительность лекции 1 час 30 минут...
Занятие математической школы Пифагореец по теме: Степень числа с натуральным показателем"
Основная цель занятия - продолжить работу по углублению и расширению знаний учащихся по теме “Натуральные числа, степени с натуральным показателем, свойств натуральных чисел” изученных в п...
Презентация к занятию математического кружка в 5 классе. Тема занятия "Волшебный мир иллюзий".
Презентация создана с учетом возрастных особенностей и содержит познавательный материал, развивающий интерес к математике учащихся 5 классов....
Занятие математического кружка для учащихся 6 - 8 классов по теме "Математические софизмы"
Математические софизмы могут быть очень полезны. Разбор софизмов развивает логическое мышление, помогает сознательному усвоению обучаемого материала, воспитывает вдумчивость, наблюдательность, критиче...
самостоятельная работа по алгебре 8 класс. Тема "Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни"
самостоятельная работа по алгебре 8 класс. Тема "Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни"...
Технологическая карта урока алгебры в 8 классе по теме "Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни."
Это урок изучения новых знаний и закрепления полученных ранее. Целью данного урока является обеспечение усвоения знаний о тождественных преобразованиях выражений, содержащих квадратные корни....