Занятие математической школы Пифагореец по теме: Степень числа с натуральным показателем"
методическая разработка по математике (6 класс) на тему

Тема занятия :"Степень с натуральным показателем. Сравнение степеней"

                                                     Алекаева Наталья Александровна,

                               учитель математики

Лазарян Елена Сергеевна, учитель математики

Покуса Тамила Владимировна, учитель математики

Основная цель занятия - продолжить работу по углублению и расширению знаний учащихся по теме “Натуральные числа, степени с натуральным показателем, свойств натуральных чисел” изученных в предыдущем учебном году, развитию познавательного интереса учащихся к изучению темы. Ознакомить учащихся с новыми методами решения задач на сравнение степеней с натуральными показателями, на определение цифры, на которую оканчивается число, рассмотреть задачи на делимость выражений, содержащих степени с натуральным показателем. Продолжить формирование навыков исследовательской, самостоятельной работы.

Изучение данной темы в младших классах способствует лучшему усвоению тем связанных со степенями в старших классах, формирует познавательный

План

1. Лекционное занятие – 1 час 30 мин
2. Малая олимпиада (индивидуальное решение задач) – 30 мин
3. Заочное решение задач (домашнее задание)

Ход занятия

Лекционное занятие с учащимися

Возникновение понятия числа – одно из гениальнейших проявлений человеческого разума. Самые древние по происхождению числа натуральные: 1,2,3,4,5………Обозначаются N.
В прошлом учебном году мы рассматривали ряд задач на натуральные числа. В этом году будем продолжать знакомство со свойствами натуральных чисел.

Сумму нескольких одинаковых слагаемых принято записывать короче – в виде произведения

 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 +5 = 6 • 5.

Произведение одинаковых чисел также записывают также короче:

5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 56.
– Говорят, что это шестая степень числа пять.

Определение 1 .

Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а:

 аⁿ =  а·а·а·…·а;      n раз;. .

         Степенью числа  а с показателем  1  называется само число а :   а¹ = а. Обозначение: аⁿ степень, а - основание степени , n –показатель степени                                

Основание степени 56 равно 5, показатель этой степени равен 6.

 Нахождение значения степени называется возведением в степень. При нахождении значения выражения сначала выполняются действия возведения в степень, затем все остальные действия в известном порядке.
Записываем свойства в тетрадь:

1. anbn=(ab)n.
2. anam=an+m.
3. (an)m=anm.
4. an : am=an-m.

А теперь проверим как вы умеете применять эти формулы при решении.

 1)х5х7;                                 2)  а4а0;        

     3)  к9 : к7;                           4)   rn : r;

5)5 •52;                               6)  (-b)(-b)3(-b);      

7)  с4 : с;                             8)  73 : 49;      

9) у4у6у;                              10)  74 •49 •73;      

          11) 16 : 42;                         12)  64 : 82;  

          13) ссс3;                            14)  а2nan;                    

          15)   х9 : хm;                      16)   уn : у

 « Исключи лишнее»

                            -1                                

Соедините линиями выражения, соответствующие друг другу:

   4⁶ •42                                         36•46        

        46: 42                                         46/56

        (3•4)6                                        4⁶ +2 

        (42 )6                                          46-2 

       (4/5)  6                                         412 

1. Сегодня мы рассмотрим ряд задач на сравнение степеней с натуральными показателями.

Задача 1

Сравнить 3111 и 1714.

Решение:

1. Числа 31 и 17 находятся рядом со степенями числа “2” (32=25, 16=24).
2. 3111<3211= (25)11=255, т.е. 3111< 255.
3. 16<17 ; 1614<1714, (24)14<1714.
4. 3111<255<256<1714 следовательно 3111<1714.

Задача 2

Сравнить 999710 и 1000038.

Решение:

1. 999710<1000010=(104)10=1040.
   999710<1040.
2. 1040=(105)8=1000008/
3. 1000008<1000038.

Значит, 999710<1000038.

Задача 3

Что больше 5300 или 3500?

Решение:

1. 5300=53 100=(53)100=(5 5 5)100=125100.
2. 3500=35 100=(3 3 3 3 3)100=243100.
3. 125<243 следовательно 125100<243100 следовательно 5300<3500.

Ответ: 5300<3500.

2. Задачи на определение цифры, на которую оканчивается число.

Натуральные числа обладают следующим свойством: при умножении ряда чисел, оканчивающихся единицей или “5”, получается число, оканчивающиеся той же цифрой. Например:

22375 • 12735 = ……..5.
281 • 381 = ……….1

58128911=581 581…581 = ………..1.
                    28911 раз

Всякая степень числа оканчивающаяся на “5”, тоже оканчивается на “5”.
Если число оканчивается “6”, то всякая степень числа оканчивается “6”.

2861237 оканчивается “6”.

Если число оканчивается 76, то любая его степень оканчивается “76”.

28764оканчивается 76.

Если число оканчивается 25, то любая его степень оканчивается “25”.

Рассмотрим задачи такого типа.

Задача 1

Какой цифрой оканчивается число 32004?

Решение:

• 31=3
  32=9
  33=27
  34=81
  35=243
  36=729.

Заметим, что 31 и35 оканчиваются на одну цифру “3”, 32 и 36 – тоже на одну цифру “9”.
Последняя цифра повторяется через 4, т.е. в общем виде число 34m+nзаканчивается той же цифрой, что и 3n

• 2004=4 х501=2000+4=4 х 500 +4.
• 32004=34 х 500 +4оканчивается той же цифрой, что 34, т.е. на 1.

Ответ: на 1.

Задача 2

На какую цифру оканчивается число 32004+42005?

Решение:

Задачи на делимость

Задача 1

Выяснить, делится ли на 3 число 1+2+22+23+24+…+22003+22004?

Решение:

Сгруппируем слагаемые:

Первое слагаемое делится на 3, второе нет, значит, сумма не делится на 3.

Задача 2

Доказать, что разность 9999931999 – 7777771997 кратна 5.

Решение:

1. Если оканчивается цифрой 3, то степени оканчиваются 3,9,7,1. Повторение через 4. в нашем случае 1999:4=499+3, 1999=4 х 499 +3. Значит число 9999931999 оканчивается на ту же цифру, что число 33, т.е. на 7.
2. Если число оканчивается на 7, то степень числа оканчивается на 7,9,3,1. повторение через 4.

• 71=7
• 72=49
• 73=343
• 74=2401
• 75=16807
• 1997:4=499+4

1997 = 4 х 499+1, значит 7777771997 оканчивается на туже цифру, что и число 71, т.е. на 7.

3. Разность данных чисел оканчивается на 0 (7–7=0), 0:5, следовательно разность кратна “5”.

Задачи для индивидуального решения

Задача 1

Что больше 10020 или 900010?

Решение:

1. 10020=1002 х10=(1002)10=(100 х100)10=100010.
2. 1000<9000 следовательно 1000010<900010 следовательно 10020<900010.

Задача 2

Сравнить 12723 и 51318.

Решение:

1. 127<128; 127<27; 12723<27 х23=2161.
2. 512<513; 29<513; 29 х18<51318; 2162<51318.
3. 12723<2161<2162<51318 следовательно 12723<51318.

Задача 3

Какая цифра будет последней в записи результата 95399999?

Решение:

1. если число оканчивается на 3, то его степень оканчивается на 3, 9, 7, 1. Повторение через 4.
2. 99999:4=24999 +(3 ост.).
   99999=4 х 24999 +3.
   Наше число имеет остаток такой же, что и 9533, т.е. число 7.

Задача 4

776776+777777+778778. Какой цифрой оканчивается сумма и кратна ли она 5.

Решение:

1. 776776 оканчивается 6 (см. пред.задачи).
2. 777777 оканчивается 7. если число оканчивается на 7, то его степени оканчиваются на 7,9,3,1, повторение через 4.
   777=4 х 194+1.
   Значит, 777777 имеет последней ту же цифру, что и 71, т.е. оканчивается на 7.

3. 778778

• 81=8
• 82=64
• 83=512
• 84=4096
• 85=32768 Степени оканчиваются на 8,4,2,6. Повторение через 4. 778778 оканчивается на ту же цифру что и 83, т.е. на 2. 778=4 х 194+3.

4. Наша сумма оканчивается на 5 (6+7+2=15).

Задачи для заочной работы

Задача 1

Какой цифрой оканчивается число ((9999999)99)9 .

Решение:

• 91=9
• 92=81
• 93=729, если степень четная, то число оканчивается на 1, если степень нечетная, то на 9.

3. 999 оканчивается на 9, т.к. 9 – нечетное число
4. число 999 – нечетное, т.к. оканчивается на 9.
5. (99999)9 оканчивается на 9, т.е. оно нечётное.
6. ((999999)99)9 оканчивается на 9, т.к. степень нечетная.

Задача 2

Что больше: 2700или5300? 2300или 3200.

Решение:

1. 2700=(27)100=128100.
2. 5300=(53)100=125100.
3. 128>125 следовательно 128100>125100 следовательно 2700>5300.

1. 2300=8100 3200=9100.
    8100<9100 следовательно 2300<3200.

Задача 3

Найти последнюю цифру числа 82006.

Решение:

1. если число оканчивается на 8, то его степени оканчиваются на 8,4,2,6. Повторение через 4.
2. а4т+п имеет последней ту же цифру, что число ап.
3. 2006=501 х 4 +2.
4. 82006=84 х 501+2, значит это число имеет ту же цифру, что и 82, т.е. оканчивается на 4.

Задача 4

Что больше  или 

Найти несколько способов решения.

Решение:

Литература

1. Гусев В.А. и др. Внеклассная работа по математике в 6–8 классах. М.: Просвещение, 1984.
2. Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. Математическая шкатулка. М.: Просвещение, 1984.
3. Кордемский В.А. Ахадов А.А. Удивительный мир чисел. М.: Просвещение, 1986.
4. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Наука, 1978.
5. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. М.: Просвещение, 1990.
6. Фарков А.В. Математические кружки в школе. М.: Айрис-пресс, 2007.