Практические работы по математике для 2 курса
учебно-методический материал по алгебре (10, 11 класс) на тему

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ОТРАДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИКУМ»

Методические рекомендации

по проведению практического занятия по дисциплине ЕН.01 Математика

Практическое занятие . Матричные уравнения.

Вычисление обратной матрицы.

2014

Практическое занятие №2.

Тема:Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы.

Цель:приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по вычислению обратной матрицы, нахождению алгебраических дополнений, вычислению определителя, решению матричных уравнений. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.

Щипачев В.С.  Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2009 -   480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2008-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Изучить теоретический материал по теме «Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Выполнить самостоятельную работу по вычислению определителей, выполнению действий над матрицами.

› Ответить на контрольные вопросы.

Теоретические сведения и методические рекомендации

 по решению задач.

Обратная матрица.

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

        Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1.

        Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

        Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E ⇒, i=(1,n), j=(1,n),

eij= 0,                      i≠ j,

eij= 1,                       i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

,

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

        Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

Таким образом, А-1=.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

,

где Мji- дополнительный минор элемента аji матрицы А.

        Пример. Дана матрица А = , найти А-1.

det A = 4 - 6 = -2.

M11=4;       M12= 3;        M21= 2;        M22=1

x11= -2;      x12= 1;       x21= 3/2;      x22= -1/2

Таким образом, А-1=.

Свойства  обратных матриц.

        Укажем следующие свойства обратных матриц:

1. (A-1)-1 = A;

2) (AB)-1 = B-1A-1

3) (AT)-1 = (A-1)T.

Пример.  Дана матрица А = , найти А3.

А2 = АА =  = ;            A3 = = .

        Отметим, что матрицы  и  являются перестановочными.

Пример.    Вычислить определитель .

 = -1

 = -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

 = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

=  = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

›Выполнить самостоятельную работу по решению матричных уравнений, вычислению обратной матрицы.

›Контрольные вопросы:

1.Сформулировать свойства определителя.

2.Какую матрицу называют обратной?Условие ее существования.3.Вычисление определителя с использованием метода Гаусса.

4.Построение обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений.

5. Приёмы решения матричных уравнений различных типов.

› Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.