Решение уравнений высших степеней
презентация к уроку по алгебре (10, 11 класс) на тему

Слайд 1

Решение уравнений высших степеней Желтова О. Н., учитель МАОУ «Лицей № 6» г. Тамбов

Слайд 2

Уравнение Р( x)=0 , где Р(х) = а 0 х n + а 1 х n - 1 + … + а n , Степенью уравнения Р( х ) = 0 называется степень многочлена Р( х ) стандартного вида, т.е. наибольшая из степеней его членов .

Слайд 3

(х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 х 5 – 2х 3 + 3 = 0 х 3 =10 – х (х-2)(х+1)(х+4)(х+7) = 63 (х 2 -2х-1) 2 + 3(х-1) 2 = 16 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0

Слайд 4

Способы решения уравнений высших степеней Разложение многочлена на множители Функционально-графический метод Метод замены переменн ой

Слайд 5

Решить уравнение: x 3 -2x 2 -6x+4=0 Проблема: Возможно ли многочлен третьей степени x 3 -2x 2 -6x+4 разложить на множители ? №1

Слайд 6

Как разложить на множители многочлен х 2 - 5х - 6? х 2 - 5х - 6 = (х – 6)(х + 1) ‏ ‏ Вывод: Корни трехчлена являются делителями свободного члена . .

Слайд 7

. x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2

Слайд 8

Схема Горнера . x 3 -2x 2 -6x+4 разделим на двучлен х + 2 1 -2 -6 4 1 1 -4 2 0 -2 остаток умножить сложить x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2) ‏ x 3 - 2x 2 - 6x + 4= (x 2 -4x+2)(x+ 2)=

Слайд 9

Значения Схема многочлена Горнер а Р(х)=x 3 -2x 2 -6x+4 Гипотеза: Значение многочлена при х=а равно остатку от деления многочлена на х - а. х Р(х) ‏ 1 -3 -1 7 2 -8 -2 0 4 12 -4 -68 1 -2 -6 4 1 1 -1 -7 -3 -1 1 -3 -3 7 2 1 0 -6 -8 -2 1 -4 2 0 4 1 2 2 12 -4 1 -6 18 -68

Слайд 10

Теорема Безу : Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (x - а) равен Р(а ). Следствие : Для того, чтобы многочлен Р(х) делился нацело на двучлен (х – а), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Р(а) = 0 . О Безу Этьенн БЕЗУ Этьенн Безу (1730 - 1783) ‏

Слайд 11

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на 1 меньше: если Р(а) = 0, то Р(х)= (x - а)∙Q(x), и остается решить уравнение Q(x) = 0 . Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни многочлена. В начало

Слайд 12

Если уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n - 1 + … + а n =0 имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена а n Теорема 1

Слайд 13

х 4 – 4х 3 + 5х 2 -2х – 12 = 0, х = -1 - целый корень уравнения. По схеме Горнера: (х+1)(х 3 - 5х 2 + 10х - 12)=0 х 3 - 5х 2 + 10х – 12=0, х = 3 –целый корень уравнения По схеме Горнера: (х+1)(х – 3)(х 2 -2х + 4) = 0. уравнение х 2 -2х + 4 = 0 корней не имеет. 1 -5 10 -12 3 1 -2 4 0 1 -4 5 -2 -12 -1 1 -5 10 -12 0 Ответ: -1; 3. №2

Слайд 14

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЕ: х 4 - x 3 - 6x 2 - x + 3 = 0 . Ответ: -1; 3; №3

Слайд 15

2 3 5 4 -1 Схема Горнера 2 1 4 0 Найти все значения параметра а, при каждом из которых число р является корнем уравнения. а= -2 а=1 Если а=-2 №4

Слайд 16

При а=1 уравнение принимает вид: 1 -3 -5 -1 -1 1 -4 -1 0 Ответ: -1;

Слайд 17

Для того, чтобы уравнение с целыми коэффициентами а 0 х n + а 1 х n - 1 + … + а n =0 имело рациональный корень р/ q , необходимо и достаточно,чтобы p являлось делителем свободного члена а n , а q являлось делителем старшего коэффициента а 0 . Теорема 2

Слайд 18

№5 12 х 5 - 44 x 4 +23 x 3 +4 x 2 - 3 x = 0 . Делители свободного члена: 1 ,-1,3,-3 Делители старшего коэффициента: 1,2,3,4,6,12 Ожидаемые корни: X=0 12 х 4 - 44 x 3 +23 x 2 +4 x – 3 = 0. Ответ: 0; ½, ½, -1/3, 3.

Слайд 19

№6 12 х 4 - 44 x 3 +39 x 2 +8 x - 12 = 0 . Ответ:-1/2; 2/3; 1,5;2

Слайд 20

№7 Метод неопределенных коэффициентов х 4 - 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2 = 0 . х 4 - 10 x 3 +27 x 2 -14 x + 2= = ( x 2 -4 x + 1) ( x 2 -6 x + 2)

Слайд 21

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0 . Самостоятельная работа Ответ: -2; 1/2; 1/3 2х 4 + х 3 – 6х 2 + х + 2 = 0 Ответ: 1,1,

Слайд 22

Способы решения уравнений высших степеней Разложение на множители Введение новой переменной Фукционально-графический группировка формулы сокращённого умножения понижение степени вынесение за скобки деление «уголком» схема Горнера разложение квадратного трёхчлена на множители Метод неопределенных коэффициентов

Слайд 23

Уравнения для меня важнее, потому что политика — для настоящего, а уравнения — для вечности. Альберт Эйнштейн

Слайд 24

Домашнее задание: §2-6, №304,305,314, 316(1,3),317,319, 321,324(1)