Пособие для учащихся "Решение экономических задач"
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва,

кандидат педагогических наук

Готовимся к ЕГЭ

Пособие для учащихся

«Решение экономических задач»

В данных задачах используются  величины: сумма кредита, процентная ставка, периодическая выплата по кредиту, стоимость ценной бумаги и другие. Для успешного решения данных задач необходимо знать последовательность действий.

И, самое главное, соблюдать порядок этих действий!

Алгоритм решения:

1. Взял кредит – сумма на количество лет.
2. Банк начислил проценты
3. Внес периодическую плату по кредиту

          Дальше пункты 2 и 3 могут повторяться в зависимости от количества лет.

4. Внес остаток долга – погасил кредит.

Рассмотрим решения разных типов задач

1.Пусть размер кредита равен S, процент банка p,

а ежегодная выплата по кредиту K.

Формулы для подсчета процентов:

а) если величину S увеличить на p%, получится S∙(1+p/100);

б) если величину S уменьшить на p%, получим S∙(1-p/100);

в) если величину S дважды увеличить на p%, получим S∙(1+p/100)²;

г) если величину S увеличивать на p% не два раза, а три раза, получится S∙(1+p/100)³;

д) если величину Х увеличивать на p% п раз, то степень п S∙(1+p/100)n .

2.Рассмотрим теперь, если заемщик выплачивает сумму K по кредиту.

Тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы K,

размер долга равен S∙(1+p/100)-K.

Так как каждый год сумма будет умножаться на выражение в скобках, введем замену переменных.

Обозначим:

Р =1+p/100,

тогда S∙Р-K.

Через два года размер долга будет выглядеть следующим образом:

(SР-K)∙Р-K;

Через три года: ((SР-K)∙Р-K)∙Р-K;

Через четыре года: (((SР-K)∙Р-K)∙Р-K) Р-K;

Через n лет: SРⁿ-K(Рⁿ+ Рn-1+Рn-2+Р³+Р²+Р+1).

В скобках мы видим геометрическую прогрессию.

Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы Р членов геометрической прогрессии, где В1 равен 1, а q равен Р.

Формула для суммы п членов геометрической прогрессии:

                        Kn=

В нашем случае размер долга через n лет равен:

                        SРⁿ-K

Итак, мы видим в нашей формуле следующие четыре переменные:

• размер денежной суммы  -  S 
• процент банка  - p,
• периодическая выплата банку (транш) – K
• временной период происходящих действий (года, месяцы) - n

В зависимости от того, какая из этих переменных неизвестна, можно выделить типы экономических задач. 

При решении этих типов задач используется описанная в теории модель решения.

Используется одна и та же формула!

Типы экономических задач

Тип 1.

По нашей формуле  - неизвестно n. Так как все остальные величины известны, то необходимо вычислять остаток суммы по кредиту до тех пор, пока он не станет меньше, чем периодическая выплата банку– K.

Пример задачи:

1 января 2016 года Алексей Петрович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Алексей Петрович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Алексей Петрович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

Решение:

S=1100 000; K= 220 000; p=2% Найти n?

1 февраля 2015года: 1100 000 ∙1,02 -220 000 = 902 000.

1 марта 2015года: 902 000∙1,02 -220 000 = 700 040

1 апреля 2015 года: 700 040∙1,02 -220 000 = 494040,8

1 мая 2015 года:  494040,8∙1,02 -220 000  = 283921,6

1 июня 2015 года: 283921,6∙1,02 -220 000  =69 600,05

1 июля 2015 года: 69 600,05∙1,02 = 70 992,05 – остаток суммы долга.

В последний месяц выплата составит менее 220 тыс. руб. Из таблицы видно, что минимальный срок кредита в условиях задачи составляет 6 месяцев.

Ответ: 6.

Тип 2. Вычисление процентной ставки по кредиту.

По нашей формуле – неизвестно p.

Так как известно n, то необходимо начислить на сумму S проценты n раз Составить уравнение, относительно p. И решить это уравнение.

Пример задачи:

Производитель получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год производитель в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение:

Нам неизвестна сумма кредита S – примем ее за 1; n=2; K1 =3/4=0,75; K2=1.21, где K1  и K2  - это первая и вторая выплата банку.

1 год: (1+ 0,01p) – 0,75(1+ 0,01p)

2 год: (1-0,75)(1+0,01р) (1+0,01р)  = 0,25 (1+0,01р)2 = 1,21

Решаем уравнение относительно р:

0,25(1+ 0,01p)2 = 1,21

(1+ 0,01p)2 = 4,84

1+ 0,01p = 2,2

р = 1,2/0,01 = 120%

Ответ: 120%.

Тип 3. Нахождение суммы кредита.

По нашей формуле – неизвестно S. Так как известно n, то необходимо начислить на сумму неизвестного S проценты n раз и решить уравнение, относительно S.

Пример задачи:

31 декабря 2016 года Людмила взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), а затем  Людмила переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взяла Людмила в банке если она выплатила долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение:

р = 14%; n=2; K=4 548 600. Найти S?

Пусть Людмила взяла в банке S рублей. Тогда в конце 1 года сумма долга составит 1,14S.

После первой выплаты долг банку будет составлять 1,14S - 4 548 600.

К концу 2 года после начисления процентов долг банку составит

1,14 (1,14S - 4 548 600) = 1,2996S - 5 185 404.

Так как Людмила выплатила долг двумя равными платежами, то получаем уравнение:

1,2996S - 5 185 404 - 4 548 600 = 0,

1,2996S = 9 734 004,

S = 7 490 000.

Людмила взяла в банке 7 490 000 рублей.

Ответ: 7 490 000.

Тип 4. Нахождение периодической выплаты банку (транша).

По нашей формуле – неизвестно К.

Составить уравнение и решить относительно К.

Пример задачи:

31 декабря 2016 года Антон взял в банке 19 860 000 в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Антон переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Антон выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

S=19 860 000; p=10%; n=3 Найти К?

1 год:  19 860 000 + 0,1 ∙19 860 000 = 1,1∙19 860 000 = 21 846 000.

После того, как Антон перевел в банк K рублей, сумма долга составила

21 846 000 - К.

2 год: 1,1∙(21 846 000 - К).

Антон перевел К рублей в банк и сумма долга стала равна

1,1∙ (21 846 000 - К) - К = 24 030 600 - 2,1К.

3 год - банк начислил проценты и долг составил

1,1∙ (24 030 600 - 2,1К).

Антон выплатил третий платеж и полностью погасил долг

1,1∙ (24 030 600 - 2,1К) - К = 0.

Найдем из этого уравнения X:

26 433 660 - 3,31К = 0,

3,31К = 26 433 660,

К = 7 986 000 рублей.

Ответ: 7 986 000.