Консультации
консультация по алгебре (11 класс) по теме

                             ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Lim – сокращение латинского слова limes, обозначающего слово «предел». (сравните слово «лимит»).

Определение предела.

Число b называется пределом функции  f(х)  при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число б, что при всех х не равных а, удовлетворяющих неравенству | х-а  | <б, справедливо неравенство |  f(х)-b|<ε. При этом употребляют запись  = b.

    Практически предел функции в точке находят с помощью теорем о пределах, замечательных пределов, заменой бесконечно малых эквивалентными… Понятие предела функции неотделимо от понятия непрерывности функций. Непрерывная функция… Этот термин рассматриваем, как синоним предложения «график функции есть сплошная линия, которую начертить, не отрывая карандаша от бумаг». А без «портрета» функции, точное определение непрерывной функции:

Функция f(х) называется непрерывной в точке х=х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е = f(х0).

И есть 2 замечательных пределов, первый замечательный и второй замечательный = е, о которых  я рассказывал в прошлом году, где, число е называется пределом последовательности   (при доказательстве второго замечательного предела воспользоваться определением числа е), это число иррациональное и приближенно равно е=2,71828… Кстати, замечу, что логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются  =. При вычислении пределов применяют    следующие формы записи второго замечательного предела:

 = = е

При вычислении пределов имеем неопределенность вида. Необходимо, как говорят, раскрыть эту неопределенность.

Рассмотрим решение пределов с помощью второго замечательного:

1.

  =  =1;

 =  =;

4.  = =;

При замене эквивалентных бесконечно малых приемы подгона под формулы: прибавляем и тут же отнимаем 1, получается пример для упрощения выражения, мне неудобно, когда выделяем целую часть выражения, т.е. числитель делим на знаменатель по теореме Безу деление многочленов; умножаем и сразу же делим на сопряженное выражение данному, при котором получаем  ФСУ а2 – в2 .

При вычислении пределов отношения многочленов, если х стремится к числу а, надо разложить их на множители, чтобы сократились на х-а; когда х стремится к ,- для раскрытия неопределенности вида   числитель и знаменатель дроби надо делить на х в старшей степени. При этом если многочлены одной степени, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если разной степени, то предел равен 0 или

При вычислении пределов корней четной степени выносим за знак корня  |х|, а нечетной степени – х.   От стремления к + получается из  |х|    х или –х.

Рассмотрим примеры:

1. Найти пределы.

1.= + =1+ = 1+0 =1;

2.     = ()   =  = =;

3.  -  ) =    + ) ==  =

4. =  =- = -- 3 =-3= =-3 =

6.== = ;

7.        = = ;

8. = () =  =  =;

9.  = ( ==  =  = 1;

10.  = (5)2     =    =   =-;

   11 .                   =.             =  40;                                                                                                                                                            

12. .     =(         = = 0;

13. = ( =  =-2;

14. (=() =  (= =  =;

15. =() =  = = = ;

16.  = () = =  = =  =  ;

2. Сравнить две бесконечно малые α(х) и β(х) при  х→0, если        

1. α(х)=  ,  β(х) =.

 =  =  = ==    =  

Бесконечно малая функция α(х) имеет более высокий порядок малости по сравнению с  β(х) при х→0, т.к. =0.

3. Для данных бесконечно малых при  х→х0  величин записать эквивалентные в виде А

1.), х0 =0

α(х)=), х0 =0

А= ;

Предел конечен и не равен нулю при k=1, тогда

α(х) А 

А= =1,

И действительно, по таблице эквивалентныхх

2.

α(х)=  х0 =0

А= =   =  ;

 Предел конечен и не равен нулю при k=2, тогда

А= = 9

α(х) А 

3.  -3, х0 =2

 α(х)= -3, х0 =2

А= =  =  =  ;

Предел конечен и не равен нулю при k=1, тогда

А=  = =  =2;

k=1, А=2

α(х) А 

                                         ЛИТЕРАТУРА:

1. В.С. Шипачев. Задачник по высшей математике. М.: «Высшая школа»-2006г.

2. В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. М.:  «Оникс 21 век», 2005г.

3. И. Шарыгин. Математика. Для поступающих в ВУЗы.М.: Дрофа,1999г.

4. К.Э. Каплан. «Практические занятия по высшей математике».

I.Задачи на смеси, сплавы и растворы

Задача 1. Смешали 30% и 50% серной кислоты, получили 45% - й раствор. Найти отношение масс первоначально взятых растворов.

 Дано:                                                                                                                                                 

          х

                    х+у                                                                      

                         m1+m2           

                                                                                                                                                                                                                         Решение:0,3х+ 0,5у=0,45(х +у)  /•100

               30х+50у = 45(х +у)       /:5

                    6х+10у = 9(х+у)

                     10у-9у = 9х-6х

                              у=3х                  

                                =             Ответ: 1 к 3.

 Задача 2. Имеются два сплава алюминия и платины. Содержание платина 11% и 4%. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы получить сплав, содержащий 93% алюминия?          

Дано:                                                                                                                                      

 х

       х+у

                                                                               
          Решение: 0,11х+0,04у= 0,07(х+у)                     4х=3у                                                    

                        11х+4у=7(х+у)                                             =

                         11х-7х=7у-4у                                    Ответ: 3 к 4.

  Задача 3. Соединив  100г  20%-го раствора кислоты  с  немного 30%- го раствора и 250г воды, получили 400г раствора. Какое процентное содержание нового раствора?    

     Дано:                          

      100г                                                                                                                               

                        400г

Решение: 0,2•100 + 0,3•50= •400

                4х= 20+15

                      х=8,75(%)

Задача 4. Слиток серебра с цинком весом 3,5кг содержал 76% серебра. Его сплавили с другим слитком и получили слиток весом 10,5 кг. Содержание серебра, в котором было 84%. Сколько % серебра содержалось во втором слитке?

Дано:

   3,5кг

             10,5кг

Решение:  0,76•3,5+ •7=0,84•10,5

                266 + 7х = 882

                              7х=616

                                 х=88

                                       Ответ: 88%

Задача 5. При выпаривании 20% соляного раствора получили 1 кг соли10%-й влажности. Сколько кг 20% соляного раствора было взято?

     х

Решение: 0,9•1=0,2х

                 2х=9

                  х=4,5

Задача 6. Сплав магния и алюминия, содержащий магния на 16 кг меньше, чем алюминия, сплавлен с 5 кг алюминия. В результате  содержание  алюминия  в сплаве повысилась на 2%. Сколько алюминия было в сплаве первоначально?

Дано:

Решение. В первом случае процентное содержание алюминия в сплаве было равно:

          •100% =   •100%,                              

     А во втором: •100% = •100%,

  По условию задачи содержание алюминия увеличилось на 2%, имеем уравнение:

                                  •100% + 2% = •100%,

                                   +  = ,

После преобразований получим: х2 – 76х+ 1044 =0,

                                                       х1= 18,  х2= 58,

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

                                      Ответ: либо 18кг, либо 58кг.

Задача7. В сосуде содержится 5л 20%-ного водного раствора кислоты. Сколько воды необходимо добавить  в этот сосуд, чтобы получить  5%-ый раствор кислоты?

Решение. Т.к. 5л раствора содержат 20%  кислоты, то объем кислоты =1л. В раствор добавлен х л воды. Тогда объем кислотыл. Т.к. кислоты в раствор не добавляли, то это тот объем кислоты, который находился в сосуде первоначально. Получаем уравнение:=1 или 5+х=20   и  отсюда х=15.       Ответ: 15л.

                                          II. Содержание влаги

Задача 1. Арбуз весил 20кг и содержал 99% воды, когда он немного усох, то стал содержать 98% воды. Сколько теперь весит арбуз?

Решение. Вес «сухого вещества» в арбузе составляет 100-99=1 (%) или 0,01, т.е. 20•0,1=0,2 (кг). После усыхания арбуза вес «сухого вещества» составляет 100-98=2 (%) или

0,2: 0,02=10 (кг)

Задача 2. В свежих грибах было 90% воды. Когда их подсушили, то они стали легче на 15 кг при влажности 60%. Сколько было свежих грибов?

Задача 3. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22кг свежих?

Решение. В 22кг свежих и в искомом количестве сухих грибов содержится одно и то же количество кг сухого вещества, равное [(1-0,9) • 20= (1- 0,12) • х]  Ответ: 2,5кг.

Задача 4. На овощную базу привезли 10 тонн крыжовника, влажность которого 99%. За время хранения на базе влажность уменьшилась на 1%. Сколько тонн крыжовника теперь хранится на базе? [0,01• 22= 0,88х.]   Ответ:5т.

Задача 5. Перерабатывая цветочный нектар в мед, пчелы освобождают его от значительной части воды. Нектар содержит 70% воды, а мед- 16%. Сколько кг нектара надо переработать для получения 1 кг меда? [0,3х=0,84•1кг] Ответ:2,8кг.    

Задача 6.  Имеется центнер огурцов. Влажность этих огурцов (т.е. количество содержания в них воды) составляет 99%. Полежав на складе, огурцы подсохли. Теперь их влажность составляет 98%. Каким стал вес огурцов? [0,01• 100=0,02х] Ответ: 50кг.

Задача 7. Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды. После некоторого времени он впитывает в себя еще некоторое количество воды и   содержит 12% ее. На сколько увеличится при этом масса добытой тонны только что добытого каменного угля?

Задача 8.  Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит уже   15 % воды. На сколько кг за это время увеличится вес добытого из шахты центнера угля?

Задача 9.  Обращаясь в лед, вода увеличивается в объеме на 9%. На сколько процентов уменьшится в объеме какой–нибудь  кусок льда, когда растает?

Задача 10.  В траве вода составляет 70% от общей массы, а в сене 40%. Сколько нужно скосить травы, чтобы получить 5 т сена?   [30%• х=60%•5т] Ответ:10т.

Задача 11.   Руда содержит 40% примеси, а выплавленный из нее металл содержит 4% примеси. Сколько получится металла из 24т руды? [24•60%= х•96%] Ответ: 15т.

   Примечание. Можно составлять задачи  с «виноград- изюм», «абрикос- курага»,

 « свежая трава- сено», «свежие фрукты - сухофрукты» и  т. д.

          III. Решение показательных и логарифмических неравенств

1.Решить неравенство: 9х-0,5 -3х-1log2 56 +log2 7≤0

                                         32х-1 – 3х-1(log2 7+3) +log2 7≤0

                                        32х-1 – 3х-1•log2 7 -3х-1•3 +log2 7≤0

                                                                         3х

                                     3х (3х-1-1) - log2 7 (3х-1-1) ≤0

                                          (3х-1-1) ( 3х- log2 7) ≤ 0  решаем методом интервалов

                       3х-1-1=0                                        3х- log2 7=0

                      3х-1=1 =30                                       3х = log2 7

                        х=1                                             х= log3 log2 7

                                                                            2< log2 7<3

                                                                          03 log2 7<1

                     +                                                                +                             х

                        log3 log2 7       _                     1

                                                 Ответ:  [ log3 log2 7; 1]                                

  2.Решить неравенство:•≥

1. ОДЗ.  1)         х-2>0                 х>2                                                                                                              

                          х-2≠1                 х≠3                          2º  //////////////////////// 3º  /////            

               2)              >0           х<5                        

                               ≠1            х≠1                  //// 1º  //////////////////////// 5º                          

               3)     6х-х2 >0                                       0º  //////////////////////// 6º                          

               4)  3х2 -10х + 15 >0     при любом х из R.

        ОДЗ: (2:3) U (3:5).

2.   •≥

   Используя свойство логарифмов  получаем:  ≥

При ОДЗ основание логарифма 0<<1, логарифмическая  функция убывает, знак неравенства меняется на противоположный:

6х-х2 ≤3х2,

 3х2 6х-х2,

3х2 6х+ х2  0,

     4х2 – 16х +150,                                   4х2 – 16х +150,                              

   4(х - )(х- ) 0,                                 D= 162 – 4•4•5= 16(16-15) =16,  =4

(2х-5)(2х-3) 0,                                    х1  =  = =  ;      х2  =  = =  ;  

                                                           2 º                 ///////////// 3º ////////////// 5 º         х

                            Ответ: [ :3) U (3;5).

Метод рационализации (декомпозиции ).

3.Решить неравенство:       >1                          (h(х) -1)g(х)>0,

Это неравенство относится к  типу:  -1>0                h(х)>0

Получаем :                                                                                

                           (|х-3| -1)•   >0.

                                |х-3|    >0.

Модуль  |х-3|    >0 число неотрицательное, кроме х=3 – это точка, где модуль нулевой.

                 (|х-3| -1)•   >0.

                    х≠3

по определению модуля имеем: |х-3| =х-3, если х>3,

                                                       |х-3| = -(х-3) = 3-х, если х<3

(х-4)•   >0.    (1)

  х>3

 (2-х)•   >0.   (2)                 х-2= - (2-х)      

  х<3

  х≠3

 (х-2)(х-3) (х-4)(х-5) >0.   (1)

  х>3

 (х-3)(х-5)  <0,х≠2                           выражения (х-2) и (2-х) различаются только знаком,

  х<3                             (2)               сокращая на это выражение получаем -1, меняем знак                                                                                                                                                                                                            

х≠3                                                   неравенства и учтем условие х≠2  

Получаем в решении неравенства (1): (3;4)U(5; ∞), в решении неравенства (2): нет р-й>

Решением   совокупности неравенств   и   самой системы, учитывая  что х≠3 является решение системы (1) : (3;4)U(5;+ ∞)

                         Ответ: (3;4)U(5;+ ∞)                                              

4 основных приема решения показательных неравенств.

1. Если неравенство имеет вид  >, то работаем с основаниями: преобразовываем их к такому виду, чтобы они являлись степенями одного и того же числа a=  b=  >.
2. Разложение на множители
3. Замена переменной. Неравенство сводим к более простому виду: например, к квадратному, затем решаем это неравенство и делаем обратную замену.
4. Анализ монотонности функции.
5. Показательное неравенство – степень, и например, линейное выражение:≥1-х

 – возрастающая, 1-х- убывающая, отсюда неравенство имеет единственное решение х=0

6. Метод декомпозиции

Применяется при решении показательных неравенств с переменным основанием.

1.   -1>0                            (h(х) -1)g(х)>0,

                                                       h(х)>0

2.                                   (h(х) -1)(f(х)- g(х))≤0,

                                                                      h(х)>0

                                                                           (f(х) – g(х)) h(х) <0

  3.                                        f(х)>0

                                                                          g(х)>0