Обобщающий урок по алгебре и началам анализа в 11 классе по теме "Различные способы решения тригонометрических уравнений"
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

Урок алгебры и начал анализа, 11-й класс, "Различные методы решения тригонометрических уравнений"

  Фролова Л.Н., учитель математики

МОУ «СОШ р.п. Соколовый Саратовского района Саратовской области»

Цели урока:

1. Образовательные – обеспечить  повторение  и  систематизацию  материала  темы. Создать  условия  контроля  усвоения  знаний  и  умений.
2. Развивающие – способствовать  формированию  умений  применять  приемы:  сравнения,  обобщения,  выявления  главного,  переноса  знаний  в  новую  ситуацию,  развитию  математического  кругозора,  мышления  и  речи,  внимания  и  памяти.
3. Воспитательные – содействовать воспитанию  интереса  к  математике  и  ее  приложениям,  активности,  мобильности,  умения  общаться,  общей  культуры.

Тип урока. Урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Методы  обучения:  частично – поисковый.   Проверка  уровня  знаний,  работа  по  обобщающей  схеме,  решение  познавательных  обобщающих  задач,  системные  обобщения,  самопроверка,  взаимопроверка.

Формы  организации  урока:  индивидуальная,  фронтальная.

Оборудование  и  источники  информации:  Экран;  мультимедийный  проектор.

План  урока:

1. Оргмомент.
2. Проверочная  работа  по  контролю  знаний  по  простейшим  тригонометрическим  уравнениям.
3. Систематизация  теоретического  материала.
4. Самостоятельная  работа.
5. Итог  урока.

1.  Организационный  момент.

Сегодня  у  нас  обобщающий  урок  по  теме  «Решение  тригонометрических  уравнений».  Повторяем,  обобщаем,  приводим  в  систему  изученные  виды,  типы,  методы  и  приемы  решений  тригонометрических  уравнений. Перед  нами  стоит  задача – показать  свои  знания  и   умения  по  решению  тригонометрических  уравнений.

Давайте  сегодня  на  уроке  будем  активны,  внимательны,  будем  поглощать  знания  с  большим  желанием,  ведь  они  пригодятся  вам  в  вашей  дальнейшей  жизни.

2. Проверочная  работа.

   Работа  проводится  в  двух  вариантах.  Вопросы  проецируются  на  экран.

На  экране – Ответы.

3.  Систематизация  теоретического  материала.

1. Найти  ошибку.   (Презентация)

Цель:  повторение  понятий  арксинус,  арккосинус,  арктангенс  и  арккотангенс  числа.

2. Устные  задания  на  определение  вида  простейших тригонометрических  уравнений.

Слайд  Установить  соответствие:   Уравнение Корни.

      3.   Экспресс – опрос  (Презентация. Слайды 12,  13,  14,  15)

Учащимся  предлагается  показать  решение      уравнения  на  тригонометрической  окружности.  Записать  его  корни

 4.  Классификация  тригонометрических  уравнений.

Цель:  привести  в  систему  знания  по  типам  и  методам  решения  тригонометрических   уравнений.

Составление  таблицы  по  методам  решения  тригонометрических  уравнений.

Учащимся  предлагается  решить  уравнения (по вариантам)  предварительно  определив,  что  это  за  уравнение  и  каким  методом  оно  решается.  У  доски  данную  работу  выполняют    ученики (на скрытых досках) – решение  уравнений  одного  варианта.  Учащиеся,  выполняющие  работу  другого  варианта,  решают  уравнение  на  листочках, с последующей проверкой учителем.

5.Повторение методов  решения  тригонометрических  уравнений .

 Цель:   Повторить методы  решения  тригонометрических  уравнений – метод  понижения  степени,  решение уравнений с применением формул тройного аргумента и решение уравнений методом универсальной подстановки.

 а) Если  в  уравнении  имеется  синус  или  косинус  в  четной  степени,  то,  выражая  

            квадраты  синуса  ( )   и  косинуса  ( ) половинного  угла

            через  косинус  угла,  можно  понизить  степень  уравнения

Опираясь  на  формулы  квадрата  половинных  углов,  записываем  формулы  понижения  степени        и       .

Учащимся  предлагается   решить  уравнение, к доске вызывается ученик,  который комментирует свое решение

2sin2x  + cos 4x = 0

Решение:

Ответ:  уравнение  имеет  три  серии  решений:  

.

б)  При решении ряда уравнений наряду с другими существенную роль играют формулы

Пример 1. Решить уравнение

Решение.
Применив формулу (2), получим

Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений и . Откуда и
Ответ: ;

Пример 2. У доски ученик решает уравнение:  

Решение.
Применив формулы понижения степени, уравнение (3) приведем к виду:

В соответствие с формулой (2), получаем равносильное уравнение

откуда имеем совокупность трех уравнений

Следовательно,
Объединив два последних множества решений, получим

Ответ: 

в)  Решение уравнений методом универсальной подстановки.

Тригонометрическое уравнение вида

где R – рациональная функция, , с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументовпосле чего уравнение (1) может быть сведено к рациональному уравнению относительно с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы корнями исходного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение

Решение.
По условию задачи . Применив формулы (2) и сделав замену , получим

откуда t=0 и, следовательно,
Ответ: 

У доски ученик решает уравнение:

Решение.
По условию задачи . Используем формулы (2) и заменим , тогда получим

откуда . Следовательно, .  Заметим, что в данном случае применение подстановки не сужает ОДЗ исходного уравнения.
Ответ: 

4. Самостоятельная  работа .

5.Подведение  итогов  урока.   Рефлексия.

Учитель: Итак, подведем итоги урока.

Какими методами можно решать тригонометрические уравнения?

Рефлексия. Продолжите фразу:

• Самым сложным на уроке было…
• Самым интересным при работе для меня было…
• Самым неожиданным для меня было…

6. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении

Решить уравнение:

• 2 sin2 x + cos 4 x = 0
• sin4 x + cos4 x = cos22 x + ¼
• sin 2 x = cos x - sin x
• √3 cos x + sin x = 2