Определенный интеграл в физике и математике
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

О.В. Кореневская

Определенный интеграл в физике

                     (11 класс, интегрированный урок по физике и математике)

Цель урока:  1. интеграция математики и физики.

                      2. применения определенного интеграла при решении задач по физике.

                      3. отработка навыков вычисления определенных интегралов.

Форма работы: групповая.

Ход урока:

                  1. Вступление.

Мы познакомились с определенным интегралом, рассмотрев два основных определения:

 Определенный интеграл, как предел интегральных сумм.

 Определенный интеграл, как разность значений первообразной для функции f(x) в точках  b и a.

 Затем мы установили связь между определенным интегралом и первообразной подынтегральной функции с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Эта связь позволила избежать утомительного составления и вычисления интегральных сумм и упростить процедуру нахождения площади фигуры. В геометрии мы использовали определенный интеграл для нахождения длины дуги, площади поверхности тела вращения, его объема. А как же в других науках? Можно ли там использовать этот метод? Есть ли задачи, решаемые с помощью определенного интеграла? Тема нашего сегодняшнего урока: Определенный интеграл в физике.

2.Закон Гука.      

Актуализация знаний учащихся.

    Учитель физики повторяет с учениками закон Гука, вспоминает его формулировку, единицы

    измерения физических величин. Затем предлагает решить задачу:

   Вычислить работу силы упругости при сжатии пружины на  0,04 м, если для ее сжатия на

   0,01 м требуется сила 10 н.

   Учащиеся решают задачу в своих тетрадях и оформляют решение на доске.

Знакомство с новым способом решения

     Учитель математики:

     А теперь попробуем решить эту же задачу с помощью определенного  интеграла.

     Поступим так же,  как в случае вычисления площади фигуры:    предположим,  что

     материальная точка под действием силы F перемещается по направлению этой силы.

     Если F постоянна, а пройденный путь равен S, то  A=F∙S. Пусть F не постоянна. Направим

     ось 0х по направлению движения точки. Пусть точка переместилась из A(a)  в  B(b). Разобьем

     отрезок [a, b] точками хк  на  n–частей. Тогда на каждом таком отрезке силу F можно считать

     постоянной и  Aк =Fк ∙  ∆хк ,  значит  A =   ∑  Fк ∙  ∆хк . Значение будет тем точнее, чем

     короче  ∆хк. Правая часть формулы является интегральной суммой функции F(x) на   [a, b]

     и, следовательно, переходя к пределу,  получим формулу А= ∫ab F(x) dx.

     Воспользуемся этой формулой для решения задачи

     А= ∫00,04 100х dx=500х²|00,04=0,8 (Дж).

                 3. Самостоятельная работа в группах. Решение задач на закон Гука двумя способами.

Задание группам:

Решите предложенные вам задачи. Сравните ответы.

Можно воспользоваться помощью ребят в группе или попросить консультацию  учителя.

                                                                                                                Дополнительный материал

1.Вычислить работу силы упругости при сжатии пружины на 10 см., если для ее сжатия на

   1 см. нужна сила 20 н.                                                                                           Ответ:  10 Дж.

2.Пружина в спокойном состоянии имеет длину 10 см. Сила в 400 н. растягивает ее на 2 см.

   Найти работу, совершаемую при растяжении пружины от 20 см. до 40 см.    Ответ: 800 Дж.

3. Силой 180 н. пружина растягивается на 2 см. Найдите работу, совершаемую при растяжении

   пружины до 25 см., если в спокойном состоянии пружина имеет длину 20 см.

   (запишите решение задачи №3 и ответ на специальном бланке заданий).

                 4. Решение задач на движение.

  учитель физики:

А сейчас рассмотрим задачи тоже хорошо вам известные - задачи о пройденном пути. В курсе физики мы познакомились и изучили такие виды  механического движения, как равномерное прямолинейное движение, прямолинейное равноускоренное движение.

Вспомнить равномерное прямолинейное движение (примеры).

Прямолинейное равноускоренное движение (примеры).

А если v = 12t-3t²?  Как в этом случае найти S? При таком виде движения скорость связана квадратичной зависимостью со временем. И задачи такого типа на уроках физики мы с вами уже не решали.

Учитель математики:

Поступим аналогично: пусть требуется вычислить путь, который пройдет точка за отрезок времени  [a, b] (самостоятельно разобрать теорию в группах, предложенную в печатном виде, записать основные моменты и конечную формулу).

С учетом этой формулы можно решать достаточно большое количество самых разнообразных задач. Остановимся на некоторых из них:

а). Скорость движения тела задана уравнением v = 12t-3t² (м/с). Найти путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

1).Найдем остановки тела: v =0; 12t-3t²=0;   t=0, t=4

2).Найдем пройденный путь S =  ∫04 (12t-3t²)dt=(6t²-t³)|04=32 (м)  

б). Две точки движутся по одной прямой в одном и том же направлении: одна со скоростью

 v = 2t+3t² (м/с), а другая со скоростью v = 8t+10 (м/с). Предполагая, что в начальный момент времени они были вместе, найти, когда и на каком расстоянии от начала движения они снова окажутся вместе.

S1 =  ∫0т (2t+3t²)dt=Т²+Т³          S2 =  ∫0т(8t+10)dt=4Т²+10Т

Так как по условию S1 =S2,  то    Т²+Т³ = 4Т²+10Т   и    Т=-2;0;5;      

Значит, движущиеся точки окажутся вместе через 5 секунд, при этом  каждая пройдет путь 4∙25+50=150 (м).

                 5. Самостоятельная работа в группах. Решение задач на движение.

Задание группам:

Решите предложенные вам задачи. Сравните ответы.

Можно воспользоваться помощью ребят в группе или попросить консультацию  учителя.

                                                                                                                    Дополнительный материал

   1. Найти длину пути, пройденного телом от начала движения до остановки, если его скорость

       изменяется по закону   v = 4t-t²  (м/с).                     Ответ: 2/3 м.

    2.Скорость прямолинейного движения определяется формулой   v = 4t³ +3t² +2 (м/с).

        Какой путь прошло тело а) за 4 секунды от начала движения?               Ответ: 328 м.

                                    б) за четвертую секунду после начала движения?        Ответ: 214 м.

     3.два тела начинают движение одновременно из одной и той же точки по одной и

       той же прямой в одном и том же направлении:    одно - со скоростью   v = 2t³ (м/с),

       другое - со скоростью  v = 3t² +8 (м/с). На каком расстоянии они окажутся друг   от друга

      через 10 секунд? (запишите решение задачи №3 и ответ на специальном бланке заданий).

                        6.Задачи на определение центра тяжести ( с практической работой).            

Учитель математики дает определение центра тяжести для однородной системы материальных точек и выводит формулы для расчета координат центра тяжести масс.

Ученики записывают в тетрадь алгоритм нахождения  центра масс для плоской фигуры

и вместе с учителем рассчитывают координаты центра масс для одной из фигур:

 Найти центр масс фигуры, представляющей собой часть параболы  у = х²    при -2 ≤ х ≤ 2.

                 7. Самостоятельная работа в группах.

Задание группам: у вас на столах лежат различные фигуры. С помощью шаблонов определите пределы интегрирования, уравнение линии. Затем рассчитайте центр масс выбранной вами фигуры по формулам и проверьте свои вычисления опытным путем. Если фигура находится в равновесии, то запишите координаты центра масс для вашей фигуры в лист опроса.

Домашнее задание: Найти работу, требуемую для запуска ракеты массой М с Земли на высоту  h вертикально вверх (сопротивлением воздуха пренебречь). Определить, при какой начальной скорости   ракета способна выйти из притяжения Земли и уйти в космическое пространство?