Построение графиков функций с модулем
презентация к уроку по алгебре (9 класс) по теме

Слайд 1

Построение графиков функций содержащих знак модуля для учащихся гуманитарного класса. Учитель математики Восточной гимназии Дудрова И. А.

Слайд 2

График функции у = |х| а) Если х≥0, то |х| = х функция у = х, т.е. график совпадает с биссектрисой первого координатного угла. б) Если х<0, то |х| = - х и у = - х. При отрицательных значениях аргумента х график данной функции – прямая у = -х, т.е. биссектриса второго координатного угла. у = |х|

Слайд 3

График функции у = - |х| Получается симметричным отображением графика у = |х| относительно оси х. у = - |х|

Слайд 4

График функции у=|х|+а получается параллельным переносом графика у=|х| в положительном направлении оси у на а единиц отрезка при а>0 и в отрицательном направлении на а единиц при а<0. График функции у = |х| + а у = |х| + а у = |х| - а у = |х|

Слайд 5

График функции у=а|х| получается растяжением графика у=|х| вдоль оси у в а раз при а>1 и сжатием вдоль этой оси в 1\а раз при 0

Слайд 6

График функции у = |x+a| получается параллельным переносом графика y=|x| в отрицательном направлении от оси х на |а| при а>0 и в положительном направлении на |a| при a<0. График функции у = |х+а| - а а у = |х+а| у = |х - а| у = |х|

Слайд 7

Построить график функции у = х ² - 4 | х | + 3. 1 способ. Раскрываем | х | = х при х≥0, получаем график у = х² - 4х + 3. При х < 0 , | х | = - х, получаем график у = х² + 4х + 3. Строим кусочно – заданную функцию по алгоритму: Находим вершину параболы для каждой функции. Находим точки пересечения каждой параболы с осью х. Строим параболы по заданным условиям.

Слайд 9

2 способ. Если рассмотрим график у = х² - 4х + 3 при х≥0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

Слайд 10

Для построения графика функции у = |f(х) | достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс.

Слайд 11

Построить график функции у = | х ² - х -6 | 1.Построим график функции у =х ² - х -6 2 . Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем симметрично относительно оси ОХ.

Слайд 12

Построить график функции у = | х + 3 | + |2x + 1| - x Строить график будем с помощью раскрытия модуля. Алгоритм построения: Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю и находим точки, в которых подмодульные выражения, входящие в уравнение функции меняют знак. Наносим эти точки на ось х и выделяем промежутки, в которых подмодульные выражения сохраняют знак. Раскрываем модуль на каждом промежутке и получаем соответствующие уравнения функции. Строим график на каждом промежутке.

Слайд 13

у = | х + 3 | + |2x + 1| - x Приравниваем каждое подмодульное выражение к нулю и находим точки, в которых происходит смена знака: Наносим точки на ось х:

Слайд 14

3. При

Слайд 16

у = | х + 3 | + |2x + 1| - x

Слайд 17

Построить график функции у = | 2|х | - 3| 1. Построить у = 2|х | - 3 , для 2 |х| - 3 > 0 , | х | >1,5 т.е. х < -1,5 и х > 1,5 а) у = 2х - 3 , для х > 0 б) для х<0, симметрично отра жаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Построить у = - 2 |х| + 3 , для 2|х | - 3 < 0. т.е. -1,5 < х < 1,5 а)у = - 2х + 3 , для х > 0 б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

Слайд 18

у = | 2|х | - 3| 1) Построить у = 2х-3, для х>0. 2) Построить прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ. 3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем симметрично относительно оси ОХ. Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.

Слайд 19

у = | х ² – 5|х| | Построим у = х ² – 5 х, для х>0. Вершина параболы в (2,5; -6,25) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем симметрично относительно оси ОХ. 3. Для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

Слайд 20

Найти корни уравнения ||x-2|-5| = 3. Выполняем построение первого (внутреннего) модуля y = |x-2| Параллельно переносим линии вниз на 5 , чтобы получить график функции y = |x-2|- 5 Отражаем все что находится ниже оси абсцисс. Это и будет искомая функция y=||x-2|-5| . Также выполняем построение прямой у=3

Слайд 21

Найти корни уравнения ||x-2|-5|=3. Нетрудно определить по графику, что решениями уравнения с модулями будут значения x = - 6; x = 0; x = 4; x = 10 .

Слайд 22

Построить график функции у = | (|х| - 2) 2 – 3 | Строим график функции у = (х - 2) 2 – 3 Совершаем преобразование: для этого часть графика, расположенную левее оси оу стираем.

Слайд 23

Построить график функции у = | (|х| - 2) 2 – 3 | Часть графика, расположенную правее оси оу достраиваем симметрично относительно этой оси. Получаем график функции у = (|х| - 2) 2 – 3

Слайд 24

Построить график функции у = | (|х| - 2) 2 – 3 | Часть графика, расположенную ниже оси ох отображаем симметрично относительно этой оси.

Слайд 25

График неравенства | у - 2х -1| + 2|х| ≤ 3 Задача. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства. Раскроем модули. Для этого каждое подмодульное выражение приравняем к нулю: у – 2х – 1 = 0; у = 2х + 1 х = 0 Подмодульные выражения меняют знак при переходе через прямые у = 2х + 1 и х = 0.

Слайд 26

Выводы: Для построения графика функции у = f |(х)|: 1.Построить график функции у = f (х) для х>0; 2.Построить для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. Для построения графика функции у = | f(х) | 1.Построить график функции у = f (х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f (х) <0, строить кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. Для построения графика функции у = | f |(х)| | 1. Построить график функции у = f (х) для х>0. 2. Строим вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражаем относительно ОУ 3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Слайд 27

у = f |(х)| у = | f (х)| у = | f |(х)| | у = f (х), х>0 Построить часть для х<0, симметричную относительно оси ОУ у = f (х) Часть графика, расположенного в нижней полуплоскости симметрично отобразить относительно оси ОХ Построить для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ у = f (х), х>0