Пределы
методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

Преподаватель: Польне Ольга Юрьевна пределы

Слайд 2

Содержание Определение «предела функции» Истрия Предел функции по Гейне Предел функции по Коши Предел по базе множеств Замечательные пределы Повторный предел Основные эквивалентности при x­>0 Правосторонний, левосторонний и двусторонний пределы Применение

Слайд 3

Определение «предел функции» Предел функции ( предельное значение функции ) в заданной точке,предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Слайд 4

История Это понятие использовалось ещё во второй половине 17 века английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1642 - 1727), а также математиками 18 века - швейцарским, немецким и русским математиком Леонардом Эйлером (1707 - 1783) и французским математиком, астрономом и механиком Джозефом Луи Лагранжем (1736 - 1813). Это было связано с тем, что ученые того времени не ставили перед собой задачу построения теории пределов. Первые строгие определения предела последовательности дали в 1816 году чешский математик, философ, теолог Бернард Больцано (1781 - 1848) и французский математик Огустен Луи Коши (1789 - 1857) в 1821 году.

Слайд 5

Предел функции по Гейне Значение А называется пределом ( предельным значением ) функции ∫( х ) в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к А .

Слайд 6

Предел функции по Коши Значение называется пределом ( предельным значением ) функции ∫( х ) в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа ε найдётся отвечающее ему положительное число δ = δ ( ε ) такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство |∫( X)-A|< ε .

Слайд 7

Предел по базе множеств Наиболее общим определением является определение предела функции по базе (по базису фильтра, по фильтру). Пусть β - некоторая база подмножеств области определения. Тогда: Число A называется пределом функции по (при) базе B , если для всякого ε>0 найдётся такой элемент β базы, что для любого X є β выполнено |∫( X)-A|< ε . Если — предельная точка множества E , то это означает, что каждая проколотая окрестность точки в множестве E не пуста, а, значит, существует база проколотых окрестностей в точке а . Эта база имеет специальное обозначение « x­>a , x є E » и читается «при x , стремящемся a к по множеству Е». Если область определения функции ∫ совпадает с R , то значок множества опускается, тогда база обозначается совсем просто « х - > а» и читается «при х , стремящемся к а».

Слайд 8

При рассмотрении только числовых функций вещественного переменного также рассматриваются и базы односторонних окрестностей. Для этого рассматриваются два множества:

Слайд 9

Замечательные пределы Замечательные пределы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны два предела: первый предел: второй предел:

Слайд 10

Следствия первого замечательного предела:

Слайд 11

Следствия второго замечательного предела:

Слайд 12

Повторный предел Для функции нескольких переменных ∫( x 1 ,…, х d) можно определить понятие предела по одной из переменных x k при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела .

Слайд 13

Бесконечно малые функции Функция называется бесконечно малой функцией при , если Теорема. Функция ∫( x) имеет предел b в точке х 0 тогда и только тогда, когда в окрестности этой точки она может быть представлена в виде суммы числа b и бесконечно малой функции а( х ). То есть ∫( x)= b+a (x)

Слайд 14

Основные эквивалентности при x­>0

Слайд 15

Правосторонний предел функции Рассмотрим базу . предел по этой базе обозначается так:

Слайд 16

Левосторонний предел База состоит из интервалов , , примыкающих к точке слева.

Слайд 17

Двусторонний предел Если функция имеет оба односторонних предела при и эти пределы равны одному и тому же числу , то существует двусторонний предел

Слайд 18

Применение Теория пределов очень активно применяется в экономических расчетах, например, в доказательствах и расчетах, которые связаны с непрерывными процессами; в финансовых рентах. Пределы функции применяются для нахождения асимптот графика функции при ее исследовании.